Нильпотентная матрица

[Padawan]

Пусть для квадратных матриц $A,B$ выполняется равенство $AB-BA=B$. Докажите, что $B^m=0$ для любого натурального $m$ такого, что $m>2r(A)$, где $r(A)$ -- спектральный радиус матрицы $A$ (максимум абсолютных величин собственных чисел $A$). В частности, $B=0$, если $r(A) <1/2$.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1686018 писал(а):

В частности, $B=0$, если $r(A) <1$.

контрпример

$$ A=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0&-1 \end{bmatrix},\quad B= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0&0 \end{bmatrix},\quad r(A)=1/2 $$

[Padawan]

Да, я ошибся. Должно быть такое условие: если $\lambda\in\sigma(A) $, то $\lambda+m\not\in\sigma (A) $. В частности, такое будет, если $r(A) <1/2$.

[Padawan]

Сформулируем задачу так: Пусть для квадратных матриц $A,B$ выполняется равенство $AB-BA=B$. Докажите, что если натуральное число $m\not\in \sigma(A)-\sigma(A)=\{\lambda-\mu\mid\lambda,\mu\in\sigma(A)\}$, то $B^m=0$.

[drzewo]

Есть такой общий факт: уравнение $AB-BA=\lambda B$ имеет (относительно $B$) нетривиальное решение тогда и только тогда, когда $\lambda$ является разностью собственных чисел матрицы $A$. [Ланкастер Теория матриц]
Далее легко видеть, что если $AB-BA=B$ то $AB^m-B^mA=mB^m$

[drzewo]

Аналогично, в силу указанной теоремы, утверждение стартового поста естественным образом обобщается до следующего.
Пусть $AB-BA=\lambda B$ с некоторым $\lambda\in\mathbb{C}$. Тогда если для некоторого натурального $m$ величина $m\lambda$ не является разностью собственных чисел матрицы $A$, то $B^m=0$.