Мы ни в чём не уверены?

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1684668 писал(а):

Похоже там надо дополнительно требовать еще какие-то условия, типа существования каких-нибудь больших кардиналов.

Похоже. Открыл Википедию . В разделе о больших кардиналах пишут:

Цитата:

Непротиворечивость аксиомы детерминированности тесно связана с вопросом о непротиворечивости больших кардинальных аксиом. По теореме Вудина непротиворечивость теории множеств Цермело–Френкеля без выбора (ZF) вместе с аксиомой детерминированности эквивалентна непротиворечивости теории множеств Цермело–Френкеля с выбором (ZFC) вместе с существованием бесконечного числа кардиналов Вудина .

[mihaild]

dgwuqtj в сообщении #1684666 писал(а):

Пространство непрерывных функций сильно меньше

А интегрируемых по Риману уже такое же (хотя конечно не факт, что кто-то до Кантора думал о нём как о пространстве).

[pppppppo_98]

mihaild в сообщении #1684638 писал(а):

Так что странного в том, что бывают разные множества натуральных чисел

А разве множество натуральных чисел находится не в в той части ZF, в которой совпадают и модели основанные, на аксиоме выбора , и на аксиоме детерминированности. Ну то есть модель натуральных чисел будет одной и той же в этих расширениях

[EminentVictorians]

pppppppo_98
Так можно же выписать конкретный полином (от не очень большого числа переменных), такой что утверждение о существовании его решения (в натуральных числах) будет ни доказуемо, ни опровержимо в ZFC (если она непротиворечива).

[mihaild]

pppppppo_98 в сообщении #1685597 писал(а):

А разве множество натуральных чисел находится не в в той части ZF, в которой совпадают и модели основанные, на аксиоме выбора , и на аксиоме детерминированности

Поскольку бывают модели ZFC с неизоморфными $\mathbb N$, то нет.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1685599 писал(а):

Так можно же выписать конкретный полином (от не очень большого числа переменных), такой что утверждение о существовании его решения (в натуральных числах) будет ни доказуемо, ни опровержимо в ZFC (если она непротиворечива).

Кстати ZFC и ZF доказывают одни и те же арифметические утверждения. А вот ZF+AD больше (например утверждение о непротиворечивости ZF).