Телесный угол направлен от источника или к источнику ?

[Cosmochelik]

Пусть например, есть диск заданной яркости L, который излучает как Ламбертовский источник
Пусть на каком то расстоянии от диска вдоль его оси есть точка А, в которой нужно найти освещенность
Интегрирование ведем по кольцу $2 \pi r dr$.
Вопрос такой: по идее правильным будет, что бы телесный угол был направлен от каждого элемента кольца в точку А, и опирался бы на площадку $dA$. А в каких случаях можно вычислять ровно наоброт - считать что телесный угол выходит из точки А и опирается на элемент кольца $2 \pi r dr$ ?
Физическое содержание задачи можно менять как хочется - считать что через диск исходят частицы и т.п. Вопрос скорее математического характера

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1676437 писал(а):

Вопрос такой: по идее правильным будет, что бы телесный угол был направлен от каждого элемента кольца в точку А, и опирался бы на площадку $dA$.

По какой "идее"?

1. Физическая модель: с каждой площадки источника $dS$ улетают $N$ фотонов в секунду. Направления фотонов равномерно распределены по полупространству ("Ламбертов источник"). Вопрос: сколько фотонов попадет на единицу площади в окрестности точки $A$.

2. Берем и считаем. Или фотоумножителем, или интегрированием (тогда появилась математическая модель).

[Cosmochelik]

EUgeneUS

EUgeneUS в сообщении #1676442 писал(а):

По какой "идее"?

1. Физическая модель: с каждой площадки источника $dS$ улетают $N$ фотонов в секунду.

По идее = по логике, телесный угол должен быть направлен от точки из которой испускаються частицы, в точку(опираться на площадку), где мы их считаем, а не наоборот.
Мой вопрос в том, когда можно делать наоборот?

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1676665 писал(а):

По идее = по логике, телесный угол должен быть направлен от точки из которой испускаються частицы, в точку(опираться на площадку), где мы их считаем, а не наоборот.

Уверяю Вас, логика тут не при чём.

Cosmochelik в сообщении #1676665 писал(а):

Мой вопрос в том, когда можно делать наоборот?

Когда математическая модель остаётся адекватной физической модели (решаемой задаче).

Если Вам удобнее, то можете представлять так:
С каждой элементарной площадкой источника связан маленький элементарный телесный угол, в котором испущенные фотоны попадают в малую окрестность точки $A$. А теперь, для нахождения освещенности в точке $A$ нужно просуммировать по всем этим элементарным телесным углам, связанным с элементарными площадками источника, и поделить на площадь окрестности точки $A$
После этого Вы делаете два предельных перехода:
1. От конечной суммы к интегралу.
2. И от количества фотонов на малой, но конечной окрестности точки $A$ к освещенности в точке $A$.
И получите, то, с чего начали.

[Mihr]

Извините, что вмешиваюсь.
Cosmochelik, вопрос к Вам, как к ТС: что вообще означает вопрос о направлении скалярной величины? Для меня "направление скаляра" выглядит как оксюморон.

[Cosmochelik]

EUgeneUS в сообщении #1676679 писал(а):

Если Вам удобнее, то можете представлять так:
С каждой элементарной площадкой источника связан маленький элементарный телесный угол, в котором испущенные фотоны попадают в малую окрестность точки $A$. А теперь, для нахождения освещенности в точке $A$ нужно просуммировать по всем этим элементарным телесным углам, связанным с элементарными площадками источника, и поделить на площадь окрестности точки $A$
После этого Вы делаете два предельных перехода:
1. От конечной суммы к интегралу.
2. И от количества фотонов на малой, но конечной окрестности точки $A$ к освещенности в точке $A$.

Это все понятно, наверное я конкретно на рисунке проилюстрирую что имею ввиду.

[Cosmochelik]

EUgeneUS

Задача та же. Нужно найти освещенность в вершине условного конуса. Можно ли его вычислять, интегрируя по телесному углу, выходящим из вершины конуса, который опирается на кольцо диска ? (как на рисунке). Если можно, то когда ? Когда диск находиться далеко от вершины конуса ? или вообще всегда ?
То как описали Вы, и то как должно быть правильным, это интегрировать по телесному углу, выходящему из элемента диска, и опирающийся на малую площадку в вершине конуса (рисунка не нашел, но понятно что имеется ввиду)
Когда можно использовать первый вариант ? Ведь это вообще говоря, другая физическая задача, как буд-то бы источник света находиться в вершине конуса, а найти нужно освещенность диска.

Mihr
Вопрос крайне странный, тут телесный угол понимается не как скаляр а как геометрическая фигура. Так же как например можно понимать угол между двумя прямыми на плоскости. Если угодно можно под телесным углом понимать некий вектор $\mathbf{\Omega}$ заданного направления, величина модуля которого равна телесному углу.

[Mihr]

Cosmochelik в сообщении #1676713 писал(а):

Вопрос крайне странный, тут телесный угол понимается не как скаляр а как геометрическая фигура.

Тогда Вы можете жёстко связать с этой фигурой пару неколлинеарных векторов и описывать их положение в пространстве. Описать это положение одним вектором, абсолютная величина которого равна телесному углу, не получится, по-моему. Однако каких-либо общепринятых соглашений на этот счёт я не видел. Описывайте "направление телесного угла" так, как Вам нравится. Лишь бы это описание было полным и однозначным.

[Geen]

Cosmochelik в сообщении #1676713 писал(а):

Если угодно можно под телесным углом понимать некий вектор $\mathbf{\Omega}$ заданного направления, величина модуля которого равна телесному углу.

И что делать если этот угол $4\pi$?

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1676713 писал(а):

Ведь это вообще говоря, другая физическая задача, как буд-то бы источник света находиться в вершине конуса, а найти нужно освещенность диска.

Вы путаете физическую модель (собственно физическую задачу) и математическую модель.
Вообще говоря, что математическая модель (в данном случае - интегрирование по телесному углу, опирающемуся на точку с приёмником) адекватна физической, нужно обосновывать\доказывать.
Но тут всё настолько очевидно, что даже не знаю как Вам объяснить.
Пробуйте всё таки использовать вот эти рекомендации из этого поста, но рисуйте (для себя) на бумажке каждый шаг.

-- 27.02.2025, 07:57 --

Можно ещё так:
1. Элементарная площадка источника $dS$ излучает фотоны равномерно в полупространство.
2. Но нас интересуют только те, которые прилетят в точку $A$.
3. Рисуем элементарный телесный угол $d\Omega$, опирающийся на площадку $dS$ с вершиной в точке $A$.
4. Для Вашего понимания, можете внутри этого телесного угла нарисовать фотоны или лучи от источника к приёмнику
5. Далее нужно просуммировать по всем площадкам $dS$, а это сводится к суммированию по всем $d\Omega$.
6. Стираем лучики, нарисованные в пункте 4. Вуаля! Получили рисунок, который Вы предоставили

И ещё, почему Вы решили, что лучи, которые образуют телесный угол выходят из вершины конуса? Нарисуйте их так, чтобы они входили в вершину конуса

[Cosmochelik]

EUgeneUS

EUgeneUS в сообщении #1676734 писал(а):

Но тут всё настолько очевидно

А мне нет!)
Пусть площадка источника dS, приемник находиться в точке А, его площадь dA
Для удобства все изображения будут плоскими
Для меня действительно очевидно что вот такая математическая модель корректна:

Тут источник есть площадка dS, находящаяся в точке S. Телесный угол опираеться на площадку приемника dA, которая находиться в точке А. Т.е. это угол, в который вылетают частицы которые попадут в приемник.
Но совершенно не очевидна корректность такой модели (о которой Вы говорили в последнем сообщении)

Тут телесный угол, выходящий из точки A приемника, опирается на площадку dS, из которой испускаются частицы.

Обе эти модели верны ?

[EUgeneUS]

Cosmochelik в сообщении #1676790 писал(а):

Тут источник есть площадка dS, находящаяся в точке S

очевидно, что построения, содержащие подобные формулировки не могут быть адекватной математической моделью чего либо. Ибо не могут быть математической моделью.
Площадка, сколь угодно малая, не может находиться в точке.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Площадка которая содержит точку, уж не помню как это строго формулируеться в матанализе

[EUgeneUS]

Cosmochelik
А нарисовано у Вас, что излучает не вся плащадка $dS$, а только одна точка $S$.

[Cosmochelik]

EUgeneUS
Согласен

Но у Сивухина тоже так. Думаю что в пределе $dS \to 0 $ так можно делать