Мотивация к введению релятивистского импульса

[fizGSE]

Специальная теория относительности, как я понимаю, строится на предположениях о том, что:
1) Все ИСО равноправны.
2) Существует максимальная скорость распространения взаимодействий.
Из этих постулатов выводится кинематика СТО, однако, при переходе к динамике СТО определяют релятивистский импульс, и я не совсем понимаю, каким образом из постулатов выше следует необходимость модификации классического определения.

Так, в одной из книг, необходимость введения нового определения импульса мотивировалась "данными эксперимента". В другой же было показано получение его формулы через введение 4-вектора импульса с последующим проецированием на трехмерное пространство. Там же было сказано, что такое введение релятивистского импульса (через 4-векторы) необходимо для того, чтобы во всех ИСО законы физики имели одинаковый вид, но я не понимаю, как это связано.

[Anton_Peplov]

fizGSE
Возьмите классическую формулу для импульса и подействуйте на тело массой 1 кг силой 1 Н в течение года. Начальная скорость нулевая. Какой скорости достигнет это тело?

[мат-ламер]

fizGSE
Возьмите первый том Ландау и Лифшица (Механика) и прочитайте параграф 7 про импульс. Он там выводится, исходя из однородности пространства. А затем повторите вычисления, заменяя классическую кинетическую энергию на её релятивистский вариант.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1674672 писал(а):

А затем повторите вычисления, заменяя классическую кинетическую энергию на её релятивистский вариант.

Точнее говоря - не кинетическую энергию, а лагранжиан, поскольку понятие кинетической энергии ещё не определено (а потенциальной энергии у нас нет - частица движется свободно). А релятивистский лагранжиан рассмотрен у тех же авторов во втором томе (пар.8 и в пар.9 - импульс).

-- Чт фев 13, 2025 21:23:03 --

drzewo в сообщении #1674675 писал(а):

такое ощущение, что на Ландау наука остановилась. Лет 50-60 назад.

Ради интереса открыл книгу Гальцова Д.Б. "Теоретическая физика для студентов-математиков". В параграфе 7.2 разъясняется лагранжиан. Импульс пока не нашёл. Но в качестве импульса можно взять градиент лагранжиана как функции от вектор-скорости (то, что в формуле присутствует только модуль скорости, не должно смущать).

[sergey zhukov]

fizGSE
Можно еще заметить, что формула импульса тела остается классической, если только под скоростью тела понимать его скорость, измеренную по часам неподвижного наблюдателя, но с использованием метра движущегося тела (количество пройденных собственных длин в секунду). Такая скорость равна $u^\prime=\gamma u$, и она растет неограничено при приближении $u$ к $c$.

[мат-ламер]

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

Мотивация к введению релятивистского импульса

Так вам нужен импульс или 4-импульс? Из стартового сообщения как-то неясно.

-- Чт фев 13, 2025 21:53:28 --

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

Мотивация к введению релятивистского импульса

В учебнике Гальцова под релятивистским импульсом понимают 3-вектор. Затем вводят 4-импульс, просто добавляя к 3-импульсу первую координату $\mathcal{E}/c$ . Оправданием видимо служит то, что при таком определении 4-импульс можно выразить через 4-скорость классическим образом. А у Ландау и Лифшица (т.2, пар.9) есть строгий вывод для 4-импульса.

-- Чт фев 13, 2025 22:12:45 --

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

Там же было сказано, что такое введение релятивистского импульса (через 4-векторы) необходимо для того, чтобы во всех ИСО законы физики имели одинаковый вид, но я не понимаю, как это связано.

С привлечением 4-векторов некоторые законы релятивисткой механики выглядят также, как и классические. Почему так происходит, не знаю. Для меня это мистика какая-то. Если кто-то внесёт ясность в эту тему, буду благодарен. И вообще, надо ли всегда задаваться вопросом "почему"? Может просто принять этот момент как данное?

-- Чт фев 13, 2025 22:14:20 --

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

В другой же было показано получение его формулы через введение 4-вектора импульса

Эта фраза говорит, что под релятивистским импульсом ТС понимает в стартовом посту всё же 3-вектор.

[fizGSE]

Anton_Peplov в сообщении #1674667 писал(а):

fizGSE
Возьмите классическую формулу для импульса и подействуйте на тело массой 1 кг силой 1 Н в течение года. Начальная скорость нулевая. Какой скорости достигнет это тело?

Ладно, именно с мотивацией теперь вопросов нет - классическая формула и впрямь ведь даёт возможность достичь сколь угодно больших скоростей.

мат-ламер в сообщении #1674676 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1674672 писал(а):

А затем повторите вычисления, заменяя классическую кинетическую энергию на её релятивистский вариант.

Точнее говоря - не кинетическую энергию, а лагранжиан, поскольку понятие кинетической энергии ещё не определено (а потенциальной энергии у нас нет - частица движется свободно). А релятивистский лагранжиан рассмотрен у тех же авторов во втором томе (пар.8 и в пар.9 - импульс).

Спасибо, с такой стороны не пробовал подходить. Тем не менее, мне все ещё интересна связь рассуждений через 4-векторы и постулата об одинаковой форме законов в разных ИСО.

мат-ламер в сообщении #1674681 писал(а):

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

Мотивация к введению релятивистского импульса

И вообще, надо ли всегда задаваться вопросом "почему"? Может просто принять этот момент как данное?

Ну, всё-таки такая радикальная вещь, как модификация одного из важнейших физических законов, в моем понимании, должна как-то следовать из постулатов теории (которые уже как раз и можно считать "данными")

[amon]

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

Из этих постулатов выводится кинематика СТО, однако, при переходе к динамике СТО определяют релятивистский импульс, и я не совсем понимаю, каким образом из постулатов выше следует необходимость модификации классического определения.

Никаким. Кинематика не определяет динамики. Для того, чтобы ввести импульс, надо иметь хоть какие уравнения движения. Тогда сохранение импульса будет в классической механике следствием однородности пространства (независимости уравнений движения от выбора начала отсчета координат), а сохранение энергии - следствием однородности времени. В СТО координата и время перестают быть независимыми переменными, поэтому энергия и импульс должны перепутываться при преобразованиях Лоренца. Чтобы понять как, можно рассмотреть свободное движение некой частицы. Траектория такой частицы - "прямая" (это - еще один постулат). Причем, "прямая в 4-х мерном пространстве-времени". "Прямая" - "кратчайшее расстояние" (кавычки потому, что и прямая и расстояние задано в пространстве Минковского, а не в обычном евклидовом пространстве). Условием минимальности будет условие минимальности функционала (множитель $-mc$ ни на что не влияет, и введен чтобы при $c\to\infty$ результат совпал бы с классическим).

$$S=-mc\int\limits_{a}^{b}ds=-mc^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{\mathbf{v}^2(t)}{c^2}}dt.$$

Теперь сдвинем начало координат:

$$t\to t+\delta t,\,\mathbf{r}\to \mathbf{r}+\delta\mathbf{r}$$

Из однородности пространства ничего поменяться не должно. С другой стороны, вариация функционала, согласно общей форме первой вариации (см. В.И. Смирнов, т.4 ч.1 п.85), выдаст внеинтегральный член

$$\left.-\left(\sum\limits_{i=1}^{3} v_i\frac{\partial L}{\partial v_i}-L\right)\delta t+\sum\limits_{i=1}^{3}\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta r_i\right\rvert_{t_1}^{t_2}$$

Поскольку можно выбрать любые $t_1$ и $t_2,$ а $\delta t$ и $\delta\mathbf{r}$ от $t$ не зависят, то четыре величины
$\sum\limits_{i=1}^{3} v_i\frac{\partial L}{\partial v_i}-L$ и $\frac{\partial L}{\partial v_i}$ должны сохраняться в силу произвольности дельт.

Теперь повернем (по Лорецу) координаты. Такой поворот перемешает $\delta t$ и $\delta\mathbf{r}.$ Однако, в новых координатах мы можем проделать тоже самое, и получить аналогичный результат. Закон преобразования сохраняющихся величин легко восстановить, если заметить, что
$-\left(\sum\limits_{i=1}^{3} v_i\frac{\partial L}{\partial v_i}-L\right)\delta t+\sum\limits_{i=1}^{3}\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta r_i=(P_\alpha,x_\alpha)$ - скалярное произведение в пространстве Минковского. Значит, величина
$P=\left(\sum\limits_{i=1}^{3} v_i\frac{\partial L}{\partial v_i}-L,-\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}\right)$
является 4-вектором, именуемым 4-импульсом.

(Оффтоп)

В ЛЛ в этом месте очень мутно написано.

[мат-ламер]

fizGSE в сообщении #1674665 писал(а):

Мотивация к введению релятивистского импульса

fizGSE в сообщении #1674685 писал(а):

Ну, всё-таки такая радикальная вещь, как модификация одного из важнейших физических законов, в моем понимании, должна как-то следовать из постулатов теории (которые уже как раз и можно считать "данными")

Мотивация - это одно, а вывод из постулатов - это другое. Мы вообще в качестве базового определения для 3-импульса взять формулу: $\mathbf{p}=m_0\mathbf{v}/\sqrt{1-v^2/c^2}$ . (Здесь $m_0$ - масса тела). Но, устроит ли вас такое определение? Мотивацией тут может служить то, что это определение хорошо ложится в общую теорию.

Введя вспомогательную величину $m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$ , мы можем формулу для импульса записать в виде: $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$ . И эта формула будет внешне похожа на классическую. Но я сомневаюсь, чтобы это могло служить какой-то мотивацией определения импульса.

Теперь введём 4-импульс формулой $\boldsymbol{P}=\{ \mathcal{E}/c,\mathbf{p}\}$, где $\mathcal{E}$ - энергия тела, $\mathbf{p}$ - его 3-импульс. Теперь квадрат модуля этого вектора будет 4-инвариантом. Будет ли это мотивацией для нашего определения? Наверное, да. Но строго вывода формулы тут пока нет.

[Ascold]

Если лагранжев формализм и 4-векторы при первом прочтении кажутся формальными, то посмотрите Иродова("Основные законы механики"). Там релятивистская формула для импульса строится так, чтобы при столкновениях частиц во всех ИСО имел место закон его сохранения.

[Ende]

Выделена тема «Курс Ландау-Лифшица сегодня»

[fizGSE]

amon в сообщении #1674691 писал(а):

Никаким. Кинематика не определяет динамики. Для того, чтобы ввести импульс, надо иметь хоть какие уравнения движения. Тогда сохранение импульса будет в классической механике следствием однородности пространства (независимости уравнений движения от выбора начала отсчета координат), а сохранение энергии - следствием однородности времени...

Спасибо за объяснение!

Ascold в сообщении #1674762 писал(а):

Если лагранжев формализм и 4-векторы при первом прочтении кажутся формальными, то посмотрите Иродова("Основные законы механики"). Там релятивистская формула для импульса строится так, чтобы при столкновениях частиц во всех ИСО имел место закон его сохранения.

Хорошо, спасибо, тоже гляну.

[pppppppo_98]

мат-ламер в сообщении #1674681 писал(а):

Почему так происходит, не знаю. Для меня это мистика какая-то. Если кто-то внесёт ясность в эту тему, буду благодарен.

Ну наверное за счёт привлечения тензорного анализа...не?

[chislo_avogadro]

Может быть, будет полезным более общий взгляд на дело. Раз уж ${\displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz)}$ вектор, таким же образом надо строить и другие величины, необходимость модификации следует уже отсюда. А имея вектор, сразу можно определить значения его компонент в различных системах отсчёта. Очень удобная штука. Примеры 4-векторов хорошо известны - четырёхимпульс, о котором речь, плотность тока, волновой 4-вектор, электромагнитный потенциал...