Задача Валлиса

[vlsh23]

Покажите, что среди прямоугольников равного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

(Мною было найдено крайне простое решение, но у меня насчёт него есть некоторые сомнения, впрочем эта задача довольно проста и дискуссировать долго не придётся)

[drzewo]

Ну так выкладывайте свое решение

[vlsh23]

b+c=2a
Несложно заметить что если b+c=2a, то
b = a + x
c = a - x (посмотрев на прямоугольник и сравнив его с квадратом, это очевидно)
a+x + a-x = 2a
Площадь квадрата = a²
Площадь прямоугольника = a²-x²
Отсюда следует что площадь прямоугольника точно меньше
Это можно подтвердить если посмотреть на ряд чисел.
Чисел - слагаемых, например со суммой = 10 = P/2 = 2a
9+1
8+2
7+3
6+4
5+5

[EUgeneUS]

Мысль понятна.
Но оформлена крайне безобразно.

[Ende]

vlsh23
Пожалуйста, используйте $\TeX$ для записи формул и обозначений. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

[vlsh23]

Хорошо, поработаю над оформлением и прочим

[Dendr]

А в чем олимпиадность, тем более, если ответ "очевиден"?

А так... алгеброй это уже техника, все само собой получается, а ведь можно объяснить и пятилетнему ребенку. То есть переход к пониманию.

Итак. Сказать, что "квадрат имеет самую большую площадь среди прямоугольников того же периметра" - все равно, что сказать: "Если я сложил квадрат из палочек и уложил внутрь квадратные листики того же размера, что и палочки, а потом переложил палочки по-другому, то когда я буду перекладывать листики внутрь новой фигуры, у меня останутся лишние".

И рисуем такую картинку (нет удачного редактора под рукой, поэтому все на одном изображении; с реальным ребенком все равно это будут палочки и листочки)

Толстый "пунктир" - это исходные палочки, красные и голубые. Квадратики придется вообразить, но 5 важных красных я оставил.
Теперь перемещаем голубые палочки вправо, там где на рисунке зеленые. Периметр теперь разорван, перемещаем 5 "верхних" и 4 "правых" палочки как единое целове на место тонких красных (соответственно, ниже и правее).
Осталось переместить листочки, но в новую фигуру (теперь они синие) поместятся только 4, так что один лишний.

Собственно, в этом примере этот квадратик и есть

$$x^2=1^2$$

.

[EUgeneUS]

Dendr в сообщении #1672708 писал(а):

А в чем олимпиадность, тем более, если ответ "очевиден"?

Смотря для какого класса олимпиада.

[vlsh23]

Ну эту задачу один мой знакомый студент решил только с помощью математического анализа

[EUgeneUS]

Студенту - можно. Поэтому для студентов эта задача не олимпиадная, а тривиальная.

[wrest]

vlsh23 в сообщении #1672716 писал(а):

Ну эту задачу один мой знакомый студент решил только с помощью математического анализа

Ну правильно, ищется максимум функции $f(x)=a^2-x^2$ в диапазоне $x \in [0;a]$
Максимум этот единственный и равен $a^2$ при $x=0$
Это решение (будучи оформленным) не требует рукомахания навроде "Это можно подтвердить если посмотреть на ряд чисел."

[vlsh23]

ну на числа вполне можно и не смотреть

[wrest]

vlsh23 в сообщении #1672736 писал(а):

ну на числа вполне можно и не смотреть

Да, но вами не дано доказательства. Нет рассуждений.
То что наибольшей площадью среди четырехугольников будет квадрат -- и так все образованные люди знают.
Среди всех треугольников наибольший будет равносторонний. А среди всех выпуклых фигур (а не только треугольников и прямоугольников) - круг. Вот докажите теперь и это при помощи "достаточно посмотреть"

[sergey zhukov]

Можно показать, что функция периметра прямоугольника при фиксированной площади имеет один минимум. Из соображений симметрии он должен приходиться на квадрат.

[juna]

Берем нитку длины $L=2\pi, R=1$. Убеждаемся, что круг площадью $\pi$ покрывает большую площадь при заданной длине нитки, чем любой прямоугольник. Действительно, если $L=2(a+b)$, т.е. $\pi=a+b$, то пусть $ab\geq\pi$. Выражая одно через другое, приходим к $a^2-a\pi+\pi\leq 0$, $D=\pi^2-4\pi<0$. Квадрат, среди всех прямоугольников больше всего похож на круг.