Геометрия, практический аспект, помогите разобраться

[Grab485]

Как часть более обширной работы, возникла вот такая геометрическая задача:

Есть стационарная трехмерная система координат М c осями (Xm,Ym,Zm). В ней задан вектор F с началом в начале координат и концом в некоторой точке с координатами (Xmf,0,Zmf). Модуль |F| известен, его проекции на оси известны (к оси Y он ортогонален). Соответственно известен угол между F и осями Xm, Zm. Тут никаких сюрпризов.
Есть еще одна система координат N c осями (Xn,Yn,Zn). Начала координат систем M и N совпадают. Система N может вращаться относительно системы M вокруг каждой из ее осей (Xm,Ym,Zm), сохраняя общее начало координат. Соответственно, проекции (Xnf,Ynf,Znf) вектора F на оси (Xn,Yn,Zn) будут меняться.
Ну а теперь вопрос:
Можно ли, зная ТОЛЬКО проекции (Xnf,Ynf,Znf), однозначно определить положение системы координат N относительно системы координат М ? Интересуют углы поворота осей.

На самом деле речь идет о векторе магнитного поля Земли с известными модулем, направлением и склонением. Есть трехмерный магнитометр. Можно ли основываясь на показаниях магнитометра определить тангаж, крен и азимут аппарата, на котором этот магнитометр установлен? Будет ли такое определение однозначным?

Поломал всю голову. Не могу доказать возможность решения. И опровергнуть не могу.
Попрошу сильно не пинать, от математики я достаточно далек.

[zoo]

Grab485 в сообщении #166013 писал(а):

Можно ли, зная ТОЛЬКО проекции (Xnf,Ynf,Znf), однозначно определить положение системы координат N относительно системы координат М ? Интересуют углы поворота осей.

нет нельзя модуль вектора в процессе поворота остается постоянным, поэтому набор (Xnf,Ynf,Znf) реально дает Вам только 2 параметра, а группа вращений трехмерна

[Grab485]

Хорошо. А если азимут не нужен (отклонение вокруг оси Z)? Мне достаточно знать только углы отклонение вокруг двух осей - X и Y.

[TOTAL]

Если зафиксированы только координаты вектора в той и другой системе координат, то относительное положение систем координат задано с точностью до вращения их вокруг этого вектора (такие вращения не меняют координы вектора). То есть в общем случае никаких углов не узнаете.

[Grab485]

TOTAL писал(а):

Если зафиксированы только координаты вектора в той и другой системе координат, то относительное положение систем координат задано с точностью до вращения их вокруг этого вектора (такие вращения не меняют координы вектора). То есть в общем случае никаких углов не узнаете.

Есть условие - начала координат обеих систем совпадают.

Но ведь компас работает... Имея только две проекции (на оси X и Y) я могу вычислить азимут даже не зная модуля вектора.

Азимут= arctan(X / Y)
азимут - это угол поворота вокруг оси Z

Это работает, проверено.

[Архипов]

Grab485 в сообщении #166013 писал(а):

На самом деле речь идет о векторе магнитного поля Земли с известными модулем, направлением и склонением. Есть трехмерный магнитометр. Можно ли основываясь на показаниях магнитометра определить тангаж, крен и азимут аппарата, на котором этот магнитометр установлен? Будет ли такое определение однозначным?

Если аппарат движется с постоянной скоростью, например 20 км/ч, по прямолинейной траектории, то обыкновенный грузик на ниточке покажет угол крена и угол тангажа, а обыкновенный магнитный компас покажет направление на магнитный полюс Земли с некоторой погрешностью, которую нужно учесть (магн. склонение, магнитная девиация).

[TOTAL]

Grab485 писал(а):

Но ведь ...

При вращении системы координат вокруг вектора F координаты вектора не меняются в этой системе. Согласны?

[Grab485]

Архипов писал(а):

Grab485 в сообщении #166013 писал(а):

На самом деле речь идет о векторе магнитного поля Земли с известными модулем, направлением и склонением. Есть трехмерный магнитометр. Можно ли основываясь на показаниях магнитометра определить тангаж, крен и азимут аппарата, на котором этот магнитометр установлен? Будет ли такое определение однозначным?

Если аппарат движется с постоянной скоростью, например 20 км/ч, по прямолинейной траектории, то обыкновенный грузик на ниточке покажет угол крена и угол тангажа, а обыкновенный магнитный компас покажет направление на магнитный полюс Земли с некоторой погрешностью, которую нужно учесть (магн. склонение, магнитная девиация).

Все это пройдено уже. Трехосевой акселерометр работает прекрасно. Пока нету перегрузок (на виражах). Но еще хуже частичная невесомость - когда объект достаточно быстро соскальзывает к земле под углом к горизонту. Акселерометр честно показывает "всё по нулям", и за ТРИ секунды такого состояния ложно корректирует гироскопы к тому же нулевому уровню. Встреча с Землей неизбежна...

Добавлено спустя 10 минут 17 секунд:

TOTAL писал(а):

Grab485 писал(а):

Но ведь ...

При вращении системы координат вокруг вектора F координаты вектора не меняются в этой системе. Согласны?

Конечно согласен. Как и с тем, что в таком сосоянии система может находится только в трех случаях из бесконечного количества других положений.

Перефразируем: если я гарантирую несовпадение ни одной моей оси с вектором магнитного поля, могу я получить искомое по трем проекциям?

[TOTAL]

Grab485 писал(а):

Перефразируем:

Не перефразируем, а точно повторим условие.
Заданы координаты вектора F в первой и второй системах координат.
Найти ориентацию осей второй системы координат относительно осей первой системы координат.
Согласны, что Вы так сформулировали задачу?

[Grab485]

TOTAL писал(а):

Grab485 писал(а):

Перефразируем:

Не перефразируем, а точно повторим условие.
Заданы координаты вектора F в первой и второй системах координат.
Найти ориентацию осей второй системы координат относительно осей первой системы координат.
Согласны, что Вы так сформулировали задачу?

Да, да, со всем согласен, только не бейте...

Выше высказались, что это невозможно (пока без доказательств).

Вот я и упрощаю задачу. А не передергиваю на ходу.

[TOTAL]

Grab485 писал(а):

Выше высказались, что это невозможно (пока без доказательств).

Неправда, с несколькими доказательствами. Вращение системы координат вокруг вектора F не меняет координаты вектора, но меняет взаимное расположение систем координат. Это и есть доказательство невозможности однозначно определить взаимное положение систем координат.

Grab485 писал(а):

Вот я и упрощаю задачу. А не передергиваю на ходу.

Какая новая задача?

[Grab485]

TOTAL писал(а):

Grab485 писал(а):

Вот я и упрощаю задачу. А не передергиваю на ходу.

Какая новая задача?

Да все та же. Только не рассматривать случаи, когда какая-либо координатная ось совпадает с вектором. Ну как в функции Y=1/X не рассматривать X=0.

[TOTAL]

Grab485 писал(а):

Да все та же.

Какая именно? Сформулируйте полностью здесь.

[Grab485]

TOTAL писал(а):

Grab485 писал(а):

Да все та же.

Какая именно? Сформулируйте полностью здесь.

Хорошо. Но поскольку тут математик Вы, а не я, я во избежание недоразумений сформулирую прикладную задачу.

Дано:
Планета Земля и ее магнитное поле. Магнитное поле представлено вектором F с модулем 600 мГс и углом к горизонтали (магнитное склонение) порядка 50 градусов (зависит от координат местности). Горизонтальная составляющая этого поля указывает на Север.

Есть в наличии прибор - трехосевой магнитометр, позволяющий измерять напряженность магнитного поля в трех ортогональных осях.

Дополнительное условие: для облегчения жизни полагаем, что вектор напряженности поля не совпадает ни с одной из осей.

Нужно:
Доказать или опровергнуть возможность определения положения прибора в пространстве (крен по осям X и Y, возможно но необязательно азимут) имея только показания прибора.

В том случае, если вышеуказанное доказано, то неплохо бы иметь расчетные формулы, связывающие показания прибора с его положением.

Понятие "крен по оси X " нуждается в пояснениях?

[Someone]

Grab485 в сообщении #166081 писал(а):

Доказать или опровергнуть возможность определения положения прибора в пространстве (крен по осям X и Y, возможно но необязательно азимут) имея только показания прибора.

Вам же уже опровергли такую возможность: вращение системы координат вокруг заданного вектора не меняет его координат в этой системе, но изменяет взаимное расположение двух систем координат. Здесь совершенно неважно, совпадает вектор с какой-нибудь из осей или не совпадает.