Ортогональность и нормировка собств. ф-й непр. спектра

[PhysicsEnjoyer]

Блохинцев, "Основы квантовой механики", Дополнение 3
Там используется обозначения

$$ \Delta \psi(x,L) = \int\limits_{L + \Delta L}^{L} \psi(x,L) dL$$

$$ \Delta \psi(x,L') = \int\limits_{L' + \Delta L'}^{L'} \psi(x,L') dL'$$

Это так называемые собственные дифференциалы



Там доказывается что

$$\int dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \Delta \psi(x,L) = 0 $$

Для случая если интервалы $\Delta L$ и $\Delta L'$ не перекрываются.
Далее я приведу цитату, относительно которой у меня вопрос:

товарищ Блохинцев писал(а):

Если $\Delta L$ и $ \Delta L'$ совпадают, то интеграл

$$\int dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \Delta \psi(x,L) $$

не равен нулю. Нетрудно показать, что он будет первого порядка малости относительно $\Delta L$. В самом деле, интеграл
$I = \int dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \Delta \psi(x,L)$
можно заменить интегралом
$I' = \int dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \int\limits_{L_1}^{L_2} \psi(x,L) dL$
причем $L_1$ и $L_ 2$ выбраны так что участок $(L,L+\Delta L)$ лежит внутри участка $(L_1,L_2)$. В силу ортогональности собственных дифференциалов интеграл по участкам $(L_1,L)$ и $(L+\Delta L,L_2)$ ничего не добавит к интегралу $I$. Поэтому интегралы $I$ и $I'$ равны. Но при $\Delta L \to 0$ у нас $I'$ стремиться к 0 как $\Delta L$. Поэтому выбирая подходящий нормировочный множитель всегда можно сделать так, что бы
$\lim\limits_{\Delta L \to 0} \frac{I}{\Delta L} = 1$
т.е.
$\int dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \Delta \psi(x,L) =\Delta L $
при $\Delta L \to 0$

1) Не могу понять это доказательство.
2) Не понял почему там говорится что интеграл стремиться к нулю как $\Delta L$ в случае если интервалы совпадают, а равен он нулю если интервалы не пересекаются. А что в промежуточном случае ?

[drzewo]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1655183 писал(а):

Там используется обозначения

$$ \Delta \psi(x,L) = \int\limits_{L + \Delta L}^{L} \psi(x,L) dL$$

$$ \Delta \psi(x,L') = \int\limits_{L' + \Delta L'}^{L'} \psi(x,L') dL'$$

я в квантовой механике не разбираюсь, но точно знаю, что если в книге предел интегрирования обозначен той же буквой, что и переменная интегрирования , то место этой книги в помойке

[PhysicsEnjoyer]

drzewo
Я отмечу тут что при наборе формулы я перепутал пределы интегрирования..
Должно быть

$$ \Delta \psi(x,L) = \int\limits_{L}^{L + \Delta L} \psi(x,L) dL$$

$$ \Delta \psi(x,L') = \int\limits_{L'}^{L' + \Delta L'} \psi(x,L') dL'$$

Насчет некорректности таких обозначений соглашусь, но физики и не такое используют

[drzewo]

(Оффтоп)

Я вообще не понимаю зачем нужны все эти тексты 70-х годов прошлого века, когда первое же гугление... Особенно, если на английском языке гуглить...

-- 17.09.2024, 23:33 --

PhysicsEnjoyer в сообщении #1655191 писал(а):

физики и не такое используют

Физики разные бывают. Бывают теоретики, которые своими руками решают задачи -- они понимают, что такие обозначения являются источником лютой путаницы, а были еще при СССРе всякие начальники отделов, которые ковали ядерный щит родины с помощью разведки -- этим по барабану вообще все. Зачем учиться именно у них -- для меня загадка.

[realeugene]

(Оффтоп)

Да ладно вам, обычное сокрытие глобальной переменной локальной с тем же именем.

[PhysicsEnjoyer]

drzewo

Цитата:

Я вообще не понимаю зачем нужны все эти тексты 70-х годов прошлого века, когда первое же гугление... Особенно, если на английском языке гуглить...

Если Вы смогли нагуглить ответы на мои вопросы, то буду благодарен если скинете ссылки)

(Оффтоп)

Моя попытка нагуглить привело меня к книге 60-х годов..

[drzewo]

Если бы вы сформулировали задачу чисто математически то уверен ответить было легко. Попробую угадать. Имеется семейство функций $\psi(x,s)$ такое, что

$$\int_{\mathbb{R}}\psi(x,s)\overline{\psi(x,s')}dx=(\psi(\cdot,s),\psi(\cdot,s'))_{L^2}=0\Longleftrightarrow s\ne s'$$

Строим функцию

$$w(x,I)=\int_I\psi(x,s)ds,\quad I=[a,b].$$

Надо показать, что

$$(w(\cdot,I),w(\cdot,J))_{L^2}=0\Longleftrightarrow I\cap J=\emptyset$$

я правильно понял?

-- 18.09.2024, 12:34 --

видимо, неправильно понял, потому, что такое утверждение неверно

[Red_Herring]

Непрерывные спектры разные бывают: абсолютно непрерывные и сингулярные непрерывные, причем последние возникают даже в физически осмысленных задачах. Но даже для абсолютно непрерывных спектров интеграл по маленькому промежутку только стремится к 0, но вовсе необязан иметь первого порядка малости (а может быть гораздо больше). Воспринимайте это так: для рассмотренного примера абсолютно непрерывного спектра интеграл имеет первый порядок малости.

[drzewo]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1655183 писал(а):

то

$$\int dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \Delta \psi(x,L) = 0 $$

Для случая если интервалы $\Delta L$ и $\Delta L'$ не перекрываются.

я правильно понимаю, что

$$(\psi(\cdot,s),\psi(\cdot,s'))_{L^2}=\delta(s-s')$$

[/quote]
?

-- 18.09.2024, 13:32 --

если это верно, то

$$(w(\cdot,I),w(\cdot,J))_{L^2}=\mbox{длина интервала}\,I\cap J$$

[PhysicsEnjoyer]

drzewo
К сожалению, не могу Вам ответить, ибо Вы используете крутые обозначения (вероятно, из функционального анализа) которыми я не владею(

Мне просто хотелось бы что-бы кто то почитал это доказательство, и написал бы словами некий поясняющий комментарий к нему

Цитата:

причем $L_1$ и $L_ 2$ выбраны так что участок $(L,L+\Delta L)$ лежит внутри участка $(L_1,L_2)$.

Например я не понимаю вот этот трюк, зачем нам нужно брать какой то другой интервал, содержащиий исходный. Возможно, это тривиально, но я несколько раз перечитал и так и не понял.

-- 18.09.2024, 12:50 --

Если говорить чисто на математическом языке, то нужно доказать что
$\lim\limits_{\Delta L \to 0} \frac{I}{\Delta L} = 1$
Где $I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx \Delta \psi^{*}(x,L' ) \Delta \psi(x,L)$
Для случая, если интервалы $(L',L' + \Delta L' )$ и $(L,L + \Delta L)$ совпадают.
Где под $ \Delta \psi(x,L)$ и $\Delta \psi(x,L')$ понимается

$$ \Delta \psi(x,L) = \int\limits_{L}^{L + \Delta L} \psi(x,\xi ) d\xi$$

$$ \Delta \psi(x,L') = \int\limits_{L'}^{L' + \Delta L'} \psi(x,\eta) d\eta $$

Ну и второй вопрос:
Я знаю что для случая если интервалы не пересекаются то $ I = 0$
Там доказывается что $\lim\limits_{\Delta L \to 0} \frac{I}{\Delta L} = 1$ если интервалы совпадают
А если какой-то промежуточный вариант ?

[drzewo]

(Оффтоп)

PhysicsEnjoyer в сообщении #1655230 писал(а):

Если Вы смогли нагуглить ответы на мои вопросы

гуглить надо не ответы на вопросы по плохому учебнику, гуглить надо хороший учебник:)

[Cos(x-pi/2)]

PhysicsEnjoyer
Нет идеальной во всех отношениях книги по квантовой механике: в каждой книге есть свои корявости, в том числе и в книге Блохинцева.

Поэтому, обнаружив в книге что-либо для себя непонятное, не тормозитесь надолго на этом, а просто посмотрите, о чём самом главном идёт речь дальше. И как о том же самом главном рассказывается в других учебниках. В данном сюжете речь идёт о том, что (по терминологии, привычной физикам) собственные функции непрерывного спектра могут быть нормированы на дельта-функцию; в том месте в книге Блохинцева эта нормировка выражена равенством (14), и этим же равенством выражается взаимная ортогональность функций с $L'\neq L:$

$$\int dx\,\psi^*(x,L' )\,\psi(x,L) = \delta (L'-L) $$

Блохинцев замахнулся там на две не самые простые задачи одновременно: 1) ввести в рассмотрение новое для его читателей понятие "дельта-функция Дирака" и 2) обосновать указанное условие ортонормировки волновых функций. Вы дополнительно усложнили себе задачу: 3) понять всё именно в том виде, в каком оно написано Блохинцевым.

Лучше про дельта-функцию почитать отдельно в разных учебниках; математики могут подсказать соответствующие книги или разделы. Затем - порешать задачи на применение дельта-функции в квантовой механике. (Тогда, может быть, станет понятнее, за что и как боролся Блохинцев в своём тексте.)

[PhysicsEnjoyer]

Cos(x-pi/2)

Цитата:

Поэтому, обнаружив в книге что-либо для себя непонятное

Бегу спрашивать на форум))

Где можно еще почитать вывод этих утверждений ?

[amon]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1655183 писал(а):

1) Не могу понять это доказательство.

И правильно не можете. Оно ошибочное насквозь. Возьмем самое начало. Автор предлагает проинтегрировать уравнение Шредингера по спектральному параметру. Получится

$$\int\limits_{L}^{L+\Delta L}\hat L \Psi(x,l)dl=\int\limits_{L}^{L+\Delta L}l \Psi(x,l)dl.$$

После этого он ловко выносит оператор из правой части и говорит, что

$$\int\limits_{L}^{L+\Delta L}\hat L \Psi(x,l)dl=\hat L \int\limits_{L}^{L+\Delta L}\Psi(x,l)dl. $$

Это действо требует хоть какого обоснования. Поменяйте учебник!

[Утундрий]

amon в сообщении #1655277 писал(а):

Это действо требует хоть какого обоснования.

Оператор действует только на $x$.