Задача Дирихле для круга.

[V.V.]

Brukvalub, тут уже не огород, а переписанная с помощью как раз формулы Коши формула Пуассона для решения Лапласа в круге.

Вывод этой формулы, например, на стр. 42-43 http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.pdf

[Brukvalub]

V.V. в сообщении #164664 писал(а):

Brukvalub, тут уже не огород, а переписанная с помощью как раз формулы Коши формула Пуассона для решения Лапласа в круге.

Я это знаю. Давайте лучше почитаем самого аффтара:

Draeden в сообщении #164629 писал(а):

Как я понимаю, формула:

$f(z)=\frac 1 {2\pi i} \int_{|v|=a}g(v)\frac{v+z}{v-z}\frac{dv}{v}$

Как раз восстанавливает значения всей голоморфной функции $f$ внутри окружности $|z|=a$ зная лишь её значения на этой самой окружности (эти значения задаются функцией $g(z)$).

Разве он пишет о решении задачи Дирихле? Нет, он пишет о восстановлении в круге голоморфной функции по ее значениям на границе круга. Вот я ему и ответил, что такую задачу решают иначе.

[Draeden]

А вдруг Вам нужно найти голоморфную функцию зная её значения на кривой ? Как Вы запишете условия ? Разве не так:

$f_{xx}+f_{yy}=0 \\ f(\phi(t))=g(t)$

Здесь ещё добавить конформное преобразование, чтобы привести кривую к окружности и получится задача Дирихле

[Draeden]

И ещё один момент. Уравнению Лапласа удовлетворяют только голоморфные функции. В задаче Дирихле ставят также условия на границе, скажем на квадрате. Но почему нельзя ограничиться только одной стороной квадрата, т.е. задавать граничное условие на отрезке, ведь голоморфная функция однозначно определяется своими значениями на отрезке ?

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #164800 писал(а):

Уравнению Лапласа удовлетворяют только голоморфные функции

Это неверно. Функция

\[ u(z) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) \]

не является голоморфной, хотя и удовлетворяет ур. Лапласа.

[Draeden]

Да, я забыл сказать, что рассматриваются только функции вида
$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$
$f(x+i y)=u(x+i y)+i v(x + i y)$

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #164806 писал(а):

Да, я забыл сказать, что рассматриваются только функции вида
$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$
$f(x+i y)=u(x+i y)+i v(x + i y)$

А я забыл ответить, что рассмотрел именно такую функцию:

Brukvalub в сообщении #164803 писал(а):

Функция

\[ u(z) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) \]

не является голоморфной, хотя и удовлетворяет ур. Лапласа.

[Draeden]

А если попробовать решить задачу с помощью разложения функции в ряд Лорана ?
Допустим надо решить задачу:

$u:\mathbb{C}\to\mathbb{R}\\u_{xx}+u_{yy}=0\\u(a e^{i \phi})=g(a e^{i \phi})\\u(b e^{i \phi})=h(b e^{i \phi})$

Из условия следует, что $u$ - гармоническая функция, а любую гармоническую функцию можно представить как действительную часть голоморфной функции:

$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$

$u(x,y)=Re(f(x,y))$

Считая, что функция $f$ дифференцируема в кольце $a<|z|<b$, её можно разложить в ряд Лорана:

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n z^n$

Далее подставляя в этот ряд граничные условия при $|z|=a,|z|=b$ можно найти коэффициенты $c_n$.
Однако попробуем решить задачу при постоянных граничных условиях:

$u(a e^{i \phi})=A\\u(b e^{i \phi})=B$

При таких условиях нельзя найти коээфициенты разложения функции в ряд Лорана. Тем не менее задача имеет решение: $u(r e^{i \phi})=c+d \ln r$ где коэффициенты однозначно вычисляются. Здесь я столкнулся с такой проблемой: функция $u(r e^{i \phi})=\ln r$ - гармоническая, а соотоветсвующая комплексная функция равна $f(z)=\ln z$. Попробуем разложить логарифм в ряд Лорана в нуле:

$\ln z=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n z^n\\c_n=\frac 1{2 \pi i} \int_{|z|=a}\frac{\ln z}{z^{n+1}}dz$.

Если считать, что $\ln(r e^{i \phi})=\ln r + i \phi$ то при обходе по окружности $|z|=a$ мы придём из точки $\ln a$ в точку $\ln a + 2\pi i$, т.е. функция разрывная. Это значит, что нельзя вычислить интеграл по окружности и нельзя разложить такой логарифм в ряд Лорана. Что делать ?

[Brukvalub]

Draeden в сообщении #165108 писал(а):

Что делать ?

Brukvalub в сообщении #164544 писал(а):

Мой Вам совет - бросайте маяться ерундой и переходите к изучению реальных методов.

[Draeden]

Это слишком просто и неинтересно