кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1648478 писал(а):

Yadryara в сообщении #1648472 писал(а):

Являются ли простые числа случайной величиной?

Не стоит его поднимать ещё и здесь, где-то в соседних математических темах по vicvolf уже не однажды проходились катком что он неправомерно применяет теоремы о случайных числах к простым числам (которые очевидно не случайны, хотя в пределах ведут себя похоже). Его не убедили. Потому я с осторожностью отношусь к его формулам и особенно названиям/терминам - например совершенно не уверен что формула 4.10 даёт именно СКО, а не что-то совсем другое, ведь квадратов разностей отклонений в ней нет, а смысла вычитать из вероятности примерно её же квадрат я не понимаю, даже размерности результата.
Но в чисто практическом плане да, простые числа (и соответственно кортежи из них) очень похожи на случайные с известным распределением.

Но Вы же используете для прогноза количества простых кортежей на интервале первую гипотезу Харди-Литтлвуда, которая основывается на вероятностных предпосылках, квк Вы сами заметили.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1648481 писал(а):

Но Вы же используете для прогноза количества простых кортежей на интервале первую гипотезу Харди-Литтлвуда, которая основывается на вероятностных предпосылках, квк Вы сами заметили.

К счастью её вывели и доказали не Вы. И она даёт вменяемые предсказания (после коррекции нижней границы интеграла!), а как проверить вашу формулу 4.10 и с чём её сравнивать я вообще без понятия. Не математические выкладки, а именно что реальные данные где взять.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1648478 писал(а):

Yadryara в сообщении #1648472 писал(а):

Кстати, возможно именно поэтому Дмитрий может предполагать, что 1-й чистый кортеж встречается раньше чем в среднем.

Не поэтому, а исходя из известных фактов о других найденных кортежах.

Так одно с другим связано. Если Вы прям уверены в случайном распределении первых кортежей, то Вы и не будете никак принимать во внимание другие первые кортежи.

Если я прям уверен, что монета честная и испытания проводятся честно, то я буду считать равновероятным выпадение орла или решки, даже если перед этим 10 раз подряд был орёл.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1648483 писал(а):

а как проверить вашу формулу 4.10 и с чём её сравнивать я вообще без понятия.

Попробую проcто пояснить эту формулу.
Пусть имеется случайная величина $z=\sum_{i=1}^n{x_i}$, где $x_i$ - независимые случайные величины.
Случайная величина $x_i$ принимает значение 1 с вероятностью $p_i$, а значение 0 с вероятностью $1-p_i$.

Поэтому среднее значение $x_i$ равно:
$E[x_i]=1 \cdot p_i+0 \cdot (1-p_i)=p_i$. (1)

Дисперсия $x_i$ на основании (1) равна:
$D[x_i]=E[x^2_i]-E^2[x_i]=1 \cdot p_i+0 \cdot (1-p_i)-p^2_i=p_i-p^2_i$. (2)

Среднее значение для $z=\sum_{i=1}^n{x_i}$, где $x_i$ - независимые случайные величины, на основании (1) равно:
$E[z]=E[\sum_{i=1}^n{x_i}]=\sum_{i=1}^n {E[x_i]}=\sum_{i=1}^n {p_i}$. (3)

Дисперсия для $z=\sum_{i=1}^n{x_i}$, где $x_i$ - независимые случайные величины, на основании (2) равна:
$D[z]=D[\sum_{i=1}^n{x_i}]=\sum_{i=1}^n {D[x_i]}=\sum_{i=1}^n {p_i}-\sum_{i=1}^n {p^2_i}$. (4)

Теперь предположим $p_i=C/\ln^k(i)$ - вероятность появления простого кортежа, где $k$ -длина кортежа из простых чисел, а $C$ - постоянная, зависящая от структуры кортежа.
Второе предположение, что $k$ - кортежи из простых чисел появляются независимо друг от друга.
Оба предположения соответствуют гипотезе Харди-Литтлвуда о простых $k$ - кортежах.

Тогда на основании (3) и указанных предположений для $n=x$ получим среднее количество простых $k$-кортежей на интервале:
$\sum_{i=2}^x {C/\ln^k(i)} \sim C \int_2^x{\frac{dt}{\ln^k(t)}}$, (5)

что соответствует гипотезе Харди-Литтлвуда о простых $k$ - кортежах.

На основании (4) и указанных предположений для $n=x$ получим дисперсию количества простых $k$-кортежей на интервале::
$\sum_{i=2}^x {C/\ln^k(i)}-\sum_{i=2}^x {C^2/\ln^{2k}(i)} \sim C\int_2^x{\frac{dt}{\ln^k(t)}}-C^2\int_2^x{\frac{dt}{\ln^{2k}(t)}}$, (6)

что соответствует формуле (4.10), если учесть, что $\sigma[z]=\sqrt{D[z]}$.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1648529 писал(а):

Попробую проcто пояснить эту формулу.

Если мне, то зря: уже в формуле (2) не вижу куда делся квадрат из $x_i^2$, т.е. почему вышло что $E[x_i^2]=E[x_i]$.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1648578 писал(а):

vicvolf в сообщении #1648529 писал(а):

Попробую проcто пояснить эту формулу.

Если мне, то зря: уже в формуле (2) не вижу куда делся квадрат из $x_i^2$, т.е. почему вышло что $E[x_i^2]=E[x_i]$.

Случайная величина $x_i$ принимает два значения 1 и 0. Значит и квадрат случайной величины $x^2_i$ также принимает значения 1 и 0 с теми же вероятностями, поэтому $E[x_i^2]=E[x_i]$.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1648587 писал(а):

Случайная величина $x_i$ принимает два значения 1 и 0. Значит и квадрат случайной величины $x^2_i$ также принимает значения 1 и 0 с теми же вероятностями, поэтому $E[x_i^2]=E[x_i]$.

А если я назову события/значения не 1 и 0, а например +5 и -7, что совершенно ничего не меняет в сути происходящего, то что станет с формулами?! Как-то у Вас оно очень смахивает на артефакт выбора "удобных" величин.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1648622 писал(а):

А если я назову события/значения не 1 и 0, а например +5 и -7, что совершенно ничего не меняет в сути происходящего, то что станет с формулами?! Как-то у Вас оно очень смахивает на артефакт выбора "удобных" величин.

Это распределение Бернулли, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы при заранее известной вероятности успеха или неудачи. В нашем случае успехом является появления простого кортежа в точке $i$ с вероятностью $p_i=C/\ln^k(i)$ в соответствии с гипотезой Харди-Литтлвуда.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0 ... 0%BB%D0%B8

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1648629 писал(а):

в точке $i$ с вероятностью $p_i=C/\ln^k(i)$ в соответствии с гипотезой Харди-Литтлвуда.

А вот мне известно что никакие вероятности никогда не должны быть больше 1 ... Но для $i<22$ для 19-252 указанная вероятность больше 1. Значит или гипотеза не про вероятности, или $p_i$ не вероятность, или формула неправильная, или справедлива только для достаточно больших $i$, или ещё что-то не так.

-- 06.08.2024, 12:59 --

Плюс тогда перестал понимать с чего бы распределение кортежей нормальное, раз каждое простое распределено по Бернулли (хотя бы как кортеж длины 1), а их сумма даёт биномиальное распределение.

(PS.)

И кстати выходит что та ваша статейка в архиве.орг тоже сборник банальностей, прямо следующих из гипотезы Харди-Литтлвуда и моментов распределения Бернулли.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1648634 писал(а):

А вот мне известно что никакие вероятности никогда не должны быть больше 1 ... Но для $i<22$ для 19-252 указанная вероятность больше 1. Значит или гипотеза не про вероятности, или $p_i$ не вероятность, или формула неправильная, или справедлива только для достаточно больших $i$, или ещё что-то не так.

Формула асимптотическая, поэтому справедлива для больших $i$.

Цитата:

Плюс тогда перестал понимать с чего бы распределение кортежей нормальное, раз каждое простое распределено по Бернулли (хотя бы как кортеж длины 1), а их сумма даёт биномиальное распределение.

Нормальным является предельное распределение при возрастании интервала. К нормальному распределению сходятся в пределе многие распределения, в том числе и биномиальное. Но данное распределение не является биномиальным, так как все $p_i$ разные.

Цитата:

И кстати выходит что та ваша статейка в архиве.орг тоже сборник банальностей, прямо следующих из гипотезы Харди-Литтлвуда и моментов распределения Бернулли.

Я пытаюсь объяснить здесь на пальцах только одну формулу, хотя все не так просто. Например, в статье доказывается, почему предельное распределение является нормальным.

[Dmitriy40]

В итоге мы ходим по кругу: раз асимптотическая, то верна лишь на бесконечности, во всех других точках надо учитывать её погрешность, которую непонятно как считать (и она вообще говоря может быть достаточно любой), и соответственно распределения тоже могут быть достаточно произвольными, и значит формулами пользоваться нельзя (пока не указано как считать их погрешность). Так что я ничего не понял. Но полученный результат по HL-1 меня устраивает (по совпадению с практикой), а дисперсии и СКО сами считайте (тем более что там оказывается второй интеграл вообще не нужен, достаточно замены $\sqrt{p-p^2}=\sqrt{p(1-p)}$).

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1648647 писал(а):

В итоге мы ходим по кругу: раз асимптотическая, то верна лишь на бесконечности, во всех других точках надо учитывать её погрешность, которую непонятно как считать (и она вообще говоря может быть достаточно любой), и соответственно распределения тоже могут быть достаточно произвольными, и значит формулами пользоваться нельзя (пока не указано как считать их погрешность).

Я просто хотел пояснить формулу. Она асимптотическая, поскольку сама HL-1 асимптотическая. В случаях, когда основная (немодифицированная) формула дает необходимую точность, то и моя формула дает необходимую точность, поскольку они основаны на одинаковых предпосылках.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1648673 писал(а):

В случаях, когда основная (немодифицированная) формула дает необходимую точность,

И когда же наступает этот счастливый момент, необходимой точности? Для доли чистых 19-252, т.е. с учётом констант C,C1-C10? Последняя из которых равна 139968081763087868053405.50716615643237 и соответственно даёт огромную погрешность вплоть до аж $10^{60}$, когда нам надо до $10^{25...26}$.

[Yadryara]

Меня возможный разброс (СКО, флуктуации) и раньше почти не интересовал, посему участия в нынешнем разговоре не принимаю.

Если кто-то всё ещё не понял: значения в таблице посчитаны по HL-1.

Согласно расчётам, ожидается 8.7 всех кортежей с valids=19 до 1е25. Если меня спросили бы раньше, а сколько их там на самом деле, сказал бы: от 0 до 20-ти.

Сейчас, когда 2 кортежа уже найдены усилиями Dmitriy40, скажу: от 2-х до 20-ти.

А почему до 20-ти, что больше быть не может? Может. Разброс может быть весьма большим, это и без вычислений понятно.

Есть ещё несколько второстепенных вопросов, о них, видимо, позже.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1648734 писал(а):

Меня возможный разброс (СКО, флуктуации) и раньше почти не интересовал, посему участия в нынешнем разговоре не принимаю.

А с другой стороны Вы пишите

Цитата:

Если меня спросили бы раньше, а сколько их там на самом деле, сказал бы: от 0 до 20-ти.

Вот тут как раз для обоснования нужно СКО.

Цитата:

А почему до 20-ти, что больше быть не может? Может. Разброс может быть весьма большим, это и без вычислений понятно.

А вот здесь для обоснования нужна вероятность, определяемая по неравенству Чебышева. Тогда бы сказали от 0 до 20 с такой-то вероятностью.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0 ... 0%B2%D0%B0