Корень из двух не от противного иррациональность

[Утундрий]

Cnupm в сообщении #1647447 писал(а):

внутреннюю сущность доказываемого

Ещё один мифический зверь...

[drzewo]

(Оффтоп)

У людей, занимающихся самообразованием, иногда складывается совершенно иное представление о предмете в целом. Изнутри этого представления они задают частные вопросы и ожидают получить ответ в той же парадигме, в которой находятся сами.
С какой стати надо играть по их правилам, мне непонятно.

[maxmatem]

drzewo

(Оффтоп)

согласен полностью

-- Пт июл 26, 2024 22:29:49 --

кстати ну не хочет тс доказательство от противного, ну пусть посмотрит геометрические доказательства.(хотя там тоже скорее тоже от противного)))))

-- Пт июл 26, 2024 22:36:32 --

Cnupm

Цитата:

Там кстати пытаются доказать цепной дробью. И пишут контрпример в виде разложения 2 в бесконечную цепную дробь. На что кто-то отвечает, что корень из 2 раскладывается в правильную цепную дробь, а 2 в неправильную. В чём принципиальная разница?

там в цепную дробь раскладывают $1+\sqrt2$

[dgwuqtj]

Если к этому серьёзно подходить, то надо зафиксировать логику и теорию, в рамках которых ищется доказательство. Скажем, можно взять логику первого порядка с естественным выводом и аксиомы Пеано, зафиксировать для удобства кучу теорем (типа свойств чётности), и думать про выводимость иррациональности из всего этого без использования конкретного правила вывода. Только тогда иррациональных чисел не будет, а то, что вообще можно сформулировать в арифметике ($\neg \exists m, n \enskip m^2 = n^2 + n^2 \wedge ( m \neq 0 \vee n \neq 0)$) доказывается без "от противного", как уже несколько раз упоминалось.

[Cnupm]

Ещё избавиться от доказательств по индукции было б хорошо. Доказательство по индукции, как и от противного, требует заранее знать результат. А откуда его взять?

[dgwuqtj]

Cnupm в сообщении #1647495 писал(а):

Доказательство по индукции, как и от противного, требует заранее знать результат. А откуда его взять?

Я вас, наверное, расстрою, но те формальные системы, где не надо ничего придумывать (то есть которые алгоритмически разрешимы), слишком слабые.

[mihaild]

Cnupm в сообщении #1647495 писал(а):

Ещё избавиться от доказательств по индукции было б хорошо

Предлагаю еще modus ponens запретить. Там тоже нужно знать заключение (как часть импликации) прежде чем его доказывать.
Ну и конечно избавиться от аксиом, это с какого-то потолка взятые утверждения, где доказательство что они такие?
Останется не очень полезная, зато очень простая система, к которой никто не подкопается.

[iifat]

Cnupm в сообщении #1647452 писал(а):

В чём принципиальная разница?

Принципиальная разница в том, что обобщённая (generalized) цепная дробь не есть уникальный способ представить значение. В отличие от.

[epros]

Cnupm в сообщении #1647447 писал(а):

Мне в принципе не нравится что в математике столько доказательств от противного

Я так и не услышал, как Вы определяете доказательство "от противного". Если Вы имеете в виду доказательство отрицания через приведение утверждения к противоречию, то это не называется доказательством от противного, потому что это просто следует определению отрицания в логике. Как ещё выводить отрицание, кроме как по определению?

[Booker48]

В общем-то, действительно, как ещё можно доказать несуществование чего-либо?
Доказать существование можно конструктивно, просто построив такой объект.
А как доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен $2$?
Только предположить обратное и прийти к противоречию, не?

[Cnupm]

Доказать, что алгоритм вычисления корня из двух не выводит периодическую дробь. Доказать, корень из двух это несократимая дробь а числитель и знаменатель бесконечны.

[dgwuqtj]

Cnupm в сообщении #1647540 писал(а):

Доказать, что алгоритм вычисления корня из двух не выводит периодическую дробь.

Это звучит намного сложнее, чем просто иррациональность. Какой алгоритм хоть, который в столбик? Я бы не захотел так доказывать даже рациональность $\sqrt{0{,}(1)}$.

[TOTAL]

Cnupm в сообщении #1647540 писал(а):

Доказать, корень из двух это несократимая дробь а числитель и знаменатель бесконечны.

Приведите пример двух бесконечных натуральных чисел с общим множителем. И без общего множителя.

[epros]

Cnupm в сообщении #1647540 писал(а):

Доказать, что алгоритм вычисления корня из двух не выводит периодическую дробь

Это доказано тем, что не существует $m$ и $n$ таких, что $m^2=2n^2$.

[Cnupm]

Определим:

Рациональные 1 рода - числа вида a/b, a и b конечны
Рациональные 2 рода - числа вида a/b, a и b бесконечны
Иррациональные - все остальные числа

Классическое доказательство от противного записывает рациональные 2 рода в иррациональные.