Полная группа событий и пространство элементарных событий

[Elijah96]

Здравствуйте,помогите пожалуйста разобраться в определениях:

Пространство элементарных событий - это множество всех различных исходов случайного эксперимента.
Пример:
Бросок игральной кости:
Исход:Выпадение грани 1
Исход:Выпадение грани 2
Исход:Выпадение грани 3
Исход:Выпадение грани 4
Исход:Выпадение грани 5
Исход:Выпадение грани 6
Тогда пространством элементарных событий будет совокупность всех исходов(то есть выпадение грани 1...выпадение грани 6).

Полная группа событий - это совокупность такая совокупность событий,что в результате эксперимента произойдет только одно из них.
Пример:
Бросок игральной кости:
Событие:Выпадение грани 1
Событие:Выпадение грани 2
Событие:Выпадение грани 3
Событие:Выпадение грани 4
Событие:Выпадение грани 5
Событие:Выпадение грани 6
Тогда полной группой событий будет совокупность всех событий(то есть выпадение грани 1...выпадение грани 6).

Объясните в чем разница?
То есть полная группа событий образует пространство элементарных событий?

[Anton_Peplov]

Elijah96 в сообщении #1647534 писал(а):

Пространство элементарных событий - это множество всех различных исходов случайного эксперимента

Равновозможных исходов. Это важно.

Elijah96 в сообщении #1647534 писал(а):

Полная группа событий - это совокупность такая совокупность событий,что в результате эксперимента произойдет только одно из них

Ровно одно. Не больше и не меньше.

Пространство элементарных исходов образует полную группу. Но это не единственная полная группа. События "выпадет число 6" и "выпадет число меньше 6" образуют полную группу, но не являются элементарными исходами.

[ozheredov]

Elijah96

Выпадение чётной грани;
Выпадение нечётной грани.

Пойдет?

-- 27.07.2024, 15:22 --

Anton_Peplov в сообщении #1647535 писал(а):

События "выпадет число 6" и "выпадет число меньше 6" образуют полную группу, но не являются элементарными исходами.

Почему, если экспериментатор не намерен их различать? Так-то можно в элементарные исходы записать

Выпал 1, но кубик упал под стол
Выпал 1, кубик подпрыгнул два раза, но удержался на столе

[Elijah96]

Anton_Peplov в сообщении #1647535 писал(а):

Пространство элементарных исходов образует полную группу.

То есть пространство элементарных событий это всевозможные исходы случайного эксперимента,а полная группа событий это совокупность этих самых исходов.
Так?

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1647534 писал(а):

Объясните в чем разница?
То есть полная группа событий образует пространство элементарных событий?

Событие — это некоторое подмножество пространства элементарных событий $\Omega$. Полная группа событий — это разбиение $\Omega$ на подмножества. Не обязательно одноэлементные, вам уже привели пример.

[Mikhail_K]

Elijah96 в сообщении #1647534 писал(а):

Пространство элементарных событий - это множество всех различных исходов случайного эксперимента.

Anton_Peplov в сообщении #1647535 писал(а):

Равновозможных исходов. Это важно.

Вообще-то, не обязательно. Это нигде не требуется. Важна лишь "атомарность" этих исходов в рамках данной задачи.

Elijah96 в сообщении #1647534 писал(а):

Полная группа событий - это совокупность такая совокупность событий,что в результате эксперимента произойдет только одно из них.
Пример:
Бросок игральной кости:
Событие:Выпадение грани 1
Событие:Выпадение грани 2
Событие:Выпадение грани 3
Событие:Выпадение грани 4
Событие:Выпадение грани 5
Событие:Выпадение грани 6
Тогда полной группой событий будет совокупность всех событий(то есть выпадение грани 1...выпадение грани 6).

Объясните в чем разница?
То есть полная группа событий образует пространство элементарных событий?

Как верно было написано выше, есть и другие "полные группы событий": например, "выпало чётное число" и "выпало нечётное число". Или: "выпало число $1$ или $3$", "выпало число $2$ или $4$", "выпало число $5$ или $6$". Но эти события не элементарные.

Пространство элементарных событий задаётся один раз, а затем можно рассматривать разные полные группы событий.

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1647542 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647534 писал(а):

Объясните в чем разница?
То есть полная группа событий образует пространство элементарных событий?

Событие — это некоторое подмножество пространства элементарных событий $\Omega$. Полная группа событий — это разбиение $\Omega$ на подмножества. Не обязательно одноэлементные, вам уже привели пример.

То есть полная группа событий это совокупность подмножеств случайных событий?

Пример:
Бросок игральной кости:
Исход:Выпадение грани 1
Исход:Выпадение грани 2
Исход:Выпадение грани 3
Исход:Выпадение грани 4
Исход:Выпадение грани 5
Исход:Выпадение грани 6

Тогда элементарных событий(исходов) будет 6(по одной для каждой грани)
Это пространство элементарных событий(исходов)(так как произойти может один из них)

Далее:
Есть события:
Событие А - Выпадение четного числа
Событие В - Выпадение нечетного числа
Событие С - Выпадение значения от 1 до 3
Событие D - Выпадение значения от 4 до 6

Тогда полной группой событий будет совокупность событий A,B,C,D?

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1647548 писал(а):

Тогда полной группой событий будет совокупность событий A,B,C,D?

Нет. Вот $\{A, B\} = \{\{2, 4, 6\}, \{1, 3, 5\}\}$ и $\{C, D\} = \{\{1, 2, 3\}, \{4, 5, 6\}\}$ по отдельности — будут. Должно быть разбиение пространства $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, а не просто его покрытие подмножествами.

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1647550 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647548 писал(а):

Тогда полной группой событий будет совокупность событий A,B,C,D?

Нет. Вот $\{A, B\} = \{\{2, 4, 6\}, \{1, 3, 5\}\}$ и $\{C, D\} = \{\{1, 2, 3\}, \{4, 5, 6\}\}$ по отдельности — будут. Должно быть разбиение пространства $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, а не просто его покрытие подмножествами.

То есть должно быть разбиение $\Omega$ на непересекающиеся непустые подмножества,которые в совокупности и дадут само $\Omega$?
Иными словами все элементарные исходы разбиваются на непересекающиеся подмножества?

[ozheredov]

Anton_Peplov в сообщении #1647535 писал(а):

Равновозможных исходов.

Sorry, сперва не обратил внимание - Вы имели в виду равновероятных или равновозможных? Это разные вещи, см. https://en.wikipedia.org/wiki/Possibility_theory

(En vs Rus Wiki)

P.S. Любопытно, что русская и английская версия статьи радикально отличаются включением и исключением профессора Пытьева (Pytiev, Yu.P.), довольно многоГО достигшего на данном поприще.

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1647551 писал(а):

То есть должно быть разбиение $\Omega$ на непересекающиеся непустые подмножества,которые в совокупности и дадут само $\Omega$?
Иными словами все элементарные исходы разбиваются на непересекающиеся подмножества?

Именно.

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1647555 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647551 писал(а):

То есть должно быть разбиение $\Omega$ на непересекающиеся непустые подмножества,которые в совокупности и дадут само $\Omega$?
Иными словами все элементарные исходы разбиваются на непересекающиеся подмножества?

Именно.

Пример:
Стрелок стреляет в круглую в мишень с 10-ю секторами
Стрелок 100% попадет в мишень
Тогда:
Исход:Попадание в сектор 1
Исход:Попадание в сектор 2
Исход:Попадание в сектор 3
Исход:Попадание в сектор 4
Исход:Попадание в сектор 5
Исход:Попадание в сектор 6
Исход:Попадание в сектор 7
Исход:Попадание в сектор 8
Исход:Попадание в сектор 9
Исход:Попадание в сектор 10
Это пространство элементарных исходов

События:
A - Попадание в сектор 1 или 2
B - Попадание в сектор 3 или 4
C - Попадание в сектор 5 или 6
D - Попадание в сектор 7 или 8
E - Попадание в сектор 9 или 10
Тогда события A,B,C,D,E это полная группа событий?

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1647557 писал(а):

Тогда события A,B,C,D,E это полная группа событий?

Да. Одна из возможных полных групп.

[Elijah96]

Mihr в сообщении #1647567 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1647557 писал(а):

Тогда события A,B,C,D,E это полная группа событий?

Да. Одна из возможных полных групп.

А любые два подмножества(например А и С или B и D)будут неполной группой?

[Mihr]

Elijah96 в сообщении #1647582 писал(а):

А любые два подмножества(например А и С или B и D)будут неполной группой?

Не будут полной группой. Можно, наверно, говорить "неполная группа событий", но я такого выражения как-то не встречал. Полагаю, потому, что какими-либо полезными свойствами такие наборы не обладают, и придумывать для них специальные названия нет смысла.