Импликация

[epros]

Mihr в сообщении #1642853 писал(а):

Что в такой ситуации значит "дефект"? Просто нет в двузначной логике функции с подходящими свойствами. Это нужно просто принять.

Разумеется в двузначной логике это остаётся только принять. Но речь о том, что если никакая функция $B^2 \mapsto B$ не выражает логического следования, то это - врождённый дефект любой двузначной логики.

Mihr в сообщении #1642853 писал(а):

"На фига нужны" конъюнкция и дизъюнкция, штрих Шеффера или стрелка Пирса? Вопрос о пользе импликации здесь ничем не выделяется, по-моему.

Штрих Шеффера и стрелка Пирса редко используются как собственно логические связки. Они интересны только тем, кто исследует именно алгебру двузначной логики. С конъюнкцией и дизъюнкцией интереснее: Они используются достаточно широко именно потому что в рамках исчисления высказываний могут здорово упростить многие предолжения языка чисто импликативной логики. Но по-сути расширение импликативной логики конъюнкцией и дизъюнкцией является консервативным. В исчислении же предикатов конъюнкция и дизъюнкция расширяются до кванторов (всеобщности и существования сооответственно) и поэтому приобретают важное значение.

Но импликация изначально стоит в стороне от любых других логических связок именно потому что её изначальное предназначение - выражать логическое следование. И это предназначение у неё никто не отнимал несмотря на все "парадоксы". Просто классической логике пришлось признать, что логическое следование - это "не то же самое", что выводимость.

Mihr в сообщении #1642853 писал(а):

Если есть в рамках алгебры логики (теории булевых функций) какая-то более тонкая модель следования, обрисуйте, пожалуйста. Мне тоже интересно. В данный момент я полагаю, что её просто нет.

Речь не о более тонкой модели следования в рамках классической алгебры логики, а о том, что логика в целом должна быть (по крайней мере в идеале) такой, чтобы логическое следование соответствовало выводимости.

В классической логике это однозначно не так. Продемонстрирую почему. Vladimir Pliassov, это ответ и на вот этот Ваш вопрос (если Вы готовы его воспринимать):

Vladimir Pliassov в сообщении #1642981 писал(а):

Можете объяснить, в чем именно этот дефект?

В классической логике есть тавтология: $(A \to (B \lor C)) \to ((A \to B) \lor (A \to C))$. Если интерпретировать импликацию (т.е. логическое следование) как выводимость, то это означает, что если из аксиоматики $A$ выводится дизъюнкция $B \lor C$, то из этой аксиоматики выводится либо $B$, либо $C$. Но на самом деле это не так! Теорема Гёделя о неполноте говорит нам, что достаточно содержательная непротиворечивая аксиоматика обязательно неполна, т.е. в ней есть недоказуемые и неопровержимые высказывания. Но при этом закон исключённого третьего позволяет вывести дизъюнкцию: что данное высказывание либо истинно, либо ложно. Т.е. дизъюнкция выводится, но ни один из её аргументов - нет.

Таким образом, классическая логика заведомо не может провести знак равенства между логическим следованием и выводимостью: Обязательно будут какие-то невыводимые следствия, что очень странно.

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1643098 писал(а):

Но по-сути расширение импликативной логики конъюнкцией и дизъюнкцией является консервативным.

В интуиционистской логике не является (то есть там конъюнкция и дизъюнкция не выражаются через импликацию). Можно вообще рассматривать логики без импликации, но, скажем, с естественным выводом с правилом сечения.

epros в сообщении #1643098 писал(а):

Если интерпретировать импликацию (т.е. логическое следование) как выводимость, то это означает, что если из аксиоматики $A$ выводится дизъюнкция $B \lor C$, то из этой аксиоматики выводится либо $B$, либо $C$.

А в классической логике её не интерпретируют как выводимость. Утверждение $A \to B$ истинно, если в предположении $A$ заключение $B$ обязательно является истинным. Если мы предположим, что $A \to B \vee C$, то при условии $A$ у нас хотя бы одно из $B$, $C$ будет истинным, что и требуется. Вся классическая логика основана на том, что у нас есть некая математическая действительность и про неё все утверждения истинны или ложны.

[epros]

dgwuqtj в сообщении #1643107 писал(а):

epros в сообщении #1643098 писал(а):

Но по-сути расширение импликативной логики конъюнкцией и дизъюнкцией является консервативным.

В интуиционистской логике не является (то есть там конъюнкция и дизъюнкция не выражаются через импликацию).

Спасибо, это ценное замечание. Собственно, я не рискну утверждать, что определение конъюнкции и дизъюнкции консервативно расширяет любую логику. В частности, в интуиционистской логике есть много чего такого, что не содержит символов конъюнкции и дизъюнкции, например, $\bot \to A$.

Но вот интересно, если мы рассмотрим некое "минимальное" исчисление высказываний, содержащее только две аксиомы:
1) $A \to (B \to A)$,
2) $(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))$,
т.е. нет не только конъюнкции и дизъюнкции, но и символа отрицания, но есть символ абсурда $\bot$, что позволяет использовать выражение $A \to \bot$ как синоним отрицания $A$.
Так вот, будет ли консервативным расширение этой системы определением конъюнкции аксиомами:
3) $(A \land B) \to A$,
4) $(A \land B) \to B$,
5) $A \to (B \to (A \land B))$,
а также определением дизъюнкции аксиомами:
6) $A \to (A \lor B)$,
7) $B \to (A \lor B)$,
8) $(A \to C) \to ((B \to C) \to ((A \lor B) \to C))$?
Если нет, то можно ли привести пример тавтологии, записанной с использованием только символов импликации и абсурда, которая доказуема в расширенной аксиоматике, но недоказуема в аксиоматике 1-2?

dgwuqtj в сообщении #1643107 писал(а):

Можно вообще рассматривать логики без импликации, но, скажем, с естественным выводом с правилом сечения.

Честно говоря, я не уверен, что системы естественного вывода вообще правомерно относить к "логике". Дело в том, что символ выводимости ($\vdash$ или что-то его заменяющее) - метатеоретический, т.е. его нельзя использовать в языке прикладной теории (в отличии от импликации, конъюнкции, дизъюнкции и всего прочего). Фактически мы на метаязыке формулируем какие-то правила вывода, и при этом сталкиваемся с кучей проблем типа необходимости согласования "порядка применимости" этих правил.

dgwuqtj в сообщении #1643107 писал(а):

epros в сообщении #1643098 писал(а):

Если интерпретировать импликацию (т.е. логическое следование) как выводимость, то это означает, что если из аксиоматики $A$ выводится дизъюнкция $B \lor C$, то из этой аксиоматики выводится либо $B$, либо $C$.

А в классической логике её не интерпретируют как выводимость.

Да, это я и считаю дефектом.

dgwuqtj в сообщении #1643107 писал(а):

Утверждение $A \to B$ истинно, если в предположении $A$ заключение $B$ обязательно является истинным. Если мы предположим, что $A \to B \vee C$, то при условии $A$ у нас хотя бы одно из $B$, $C$ будет истинным, что и требуется.

Угу, "хотя бы одно из них будет истинным", но какое именно - установить невозможно. Из закона исключённого третьего следует, что гипотеза континуума либо истинна, либо ложна. Это как бы подразумевает, что есть некая неизвестная нам "объективная" истина. И это означает, что если я приму гипотезу континуума за аксиому, то могу "угадать" или "ошибиться".

А я вот предпочитаю считать, что множества - это продукт нашего воображения, так что как мы вообразим, так и будет "на самом деле". Т.е. если мы примем гипотезу континуума за аксиому, то уже никто не будет вправе нам сказать, что мы "ошиблись": так мы определили для себя понятие множества и всё тут, и не бывает у них промежуточных кардинальностей "по определению".

dgwuqtj в сообщении #1643107 писал(а):

Вся классическая логика основана на том, что у нас есть некая математическая действительность и про неё все утверждения истинны или ложны.

Да, я был в шоке, когда классические логики мне прояснили свою позицию в отношении гипотезы континуума ссылкой на эту самую неизвестную никому "математическую действительность".

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1643130 писал(а):

Если нет, то можно ли привести пример тавтологии, записанной с использованием только символов импликации и абсурда, которая доказуема в расширенной аксиоматике, но недоказуема в аксиоматике 1-2?

Это я с терминологией напутал. Консервативность для чистой импликации точно есть, для импликации и $\bot$ не знаю, но скорее всего тоже есть.

epros в сообщении #1643130 писал(а):

А я вот предпочитаю считать, что множества - это продукт нашего воображения, так что как мы вообразим, так и будет "на самом деле".

Тут у разных математиков может быть разное мнение... Лично мне достаточно, чтобы на самом деле существовало что-то в духе арифметики второго порядка или предикативной теории множеств, а остальное было непротиворечивой надстройкой для упрощения доказательств.

[Vladimir Pliassov]

epros в сообщении #1643098 писал(а):

В классической логике есть тавтология: $(A \to (B \lor C)) \to ((A \to B) \lor (A \to C))$. Если интерпретировать импликацию (т.е. логическое следование) как выводимость, то это означает, что если из аксиоматики $A$ выводится дизъюнкция $B \lor C$, то из этой аксиоматики выводится либо $B$, либо $C$. Но на самом деле это не так! Теорема Гёделя о неполноте говорит нам, что достаточно содержательная непротиворечивая аксиоматика обязательно неполна, т.е. в ней есть недоказуемые и неопровержимые высказывания. Но при этом закон исключённого третьего позволяет вывести дизъюнкцию: что данное высказывание либо истинно, либо ложно. Т.е. дизъюнкция выводится, но ни один из её аргументов - нет.

Таким образом, классическая логика заведомо не может провести знак равенства между логическим следованием и выводимостью: Обязательно будут какие-то невыводимые следствия, что очень странно.

Начал разбирать первую теорему Гёделя, но так сразу разобраться в ней не могу.

Но вот простой пример, который, как мне кажется, иллюстрирует то, что Вы говорите.

Снова приведу первую цитату темы topic157093.html:

Цитата:

Единственное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом $\varnothing$. Для каждого $x$

$$x\notin \varnothing,$$

или

$$(x\in \varnothing)\equiv F.$$

Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого $x$ верна импликация $x\in \varnothing \to x\in A$, откуда

$$\varnothing\subset A.$$

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

(в оригинале пустое множество обозначено $0$), --

и еще одну цитату:

Mikhail_K в сообщении #1632690 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1632688 писал(а):

доказаны ... два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$. Или нет?

Нет.
Доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$.

то есть доказано, что обе эти импликации истинные (доказательство в том, что у них у обеих ложная посылка)

Mikhail_K в сообщении #1632690 писал(а):

Если бы было доказано ещё, что $x\in\varnothing$, то отсюда можно было бы вывести два противоречащих друг другу утверждения: $x\in A$ и $x\notin A$.
Но так как не доказано (и не может быть доказано), что $x\in\varnothing$, то ни $x\in A$, ни $x\notin A$ вывести не получится.

-- 13.03.2024, 15:55 --

А утверждения $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$ не противоречат друг другу.

По-моему, в той теме мы не довели обсуждение этого примера до конца: мы остановились на том, что, в самом деле, $(x\in\varnothing\to x\in A)\to (\varnothing \subset A)$, то есть из формулы $x\in \varnothing$ следует -- выводится -- формула $\varnothing \subset A$:

Цитата:

$x\in \varnothing \to x\in A$, откуда

$$\varnothing\subset A.$$

https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf, стр. 18, 19

Однако, поскольку импликация $x\in\varnothing\to x\notin A$ тоже имеет ложную посылку, она тоже истинна, и поэтому $(x\in\varnothing\to x\notin A)\to (\varnothing\not \subset A)$, то есть из формулы $x\in \varnothing$ выводится также формула $\varnothing \not \subset A$.

Таким образом, в одной и той же теории $L$ (то есть в логике высказываний?) делается два противоречащих друг другу вывода: $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \subset A)$ и $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \not \subset A)$.

$\varnothing \subset A$ и $\varnothing \not \subset A$ это те самые недоказуемые и неопровержимые высказывания, о которых говорит Гёдель (как это доказать?).

Это, между прочим, означает, что Куратовский, Мостовский не доказали, что $\varnothing \subset A$ (то есть что пустое множество входит в любое множество).

Верно?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1643261 писал(а):

делается два противоречащих друг другу вывода: $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \subset A)$ и $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \not \subset A)$.

Да. Это неудивительно: если что-то выведено из заведомо неверного утверждения $x\in\varnothing$, то вывод может быть как верным, так и неверным.

Vladimir Pliassov в сообщении #1643261 писал(а):

Это, между прочим, означает, что Куратовский, Мостовский не доказали, что $\varnothing \subset A$

Нет, доказали. Они доказали, что верно $\forall x,\,x\in \varnothing \to x\in A$, а это и значит, что верно $\varnothing \subset A$ (по определению подмножества).

Здесь есть такая тонкость: верность $x\in \varnothing \to x\in A$ ничего не говорит о том, верно ли $x\in A$ (потому что этот вывод делается из неверного утверждения).
Аналогично, верность $x\in \varnothing \to \varnothing\subset A$ ничего не говорит о том, верно ли $\varnothing\subset A$.
Вместе с тем, верность $\forall x,\,x\in \varnothing \to x\in A$ совершенно определённо говорит о том, что верно $\varnothing\subset A$. Просто потому, что $B\subset A$ - это и значит, что $\forall x,\,x\in B\to x\in A$.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1643276 писал(а):

если что-то выведено из заведомо неверного утверждения $x\in\varnothing$, то вывод может быть как верным, так и неверным.

Вы имеете в виду, что вывод $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \not \subset A)$ неверен?

Что это значит? Что из утверждения $\forall x\; (x\in\varnothing\to x\notin A)$ не следует $\varnothing\not \subset A$?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1643306 писал(а):

Вы имеете в виду, что вывод $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \not \subset A)$ неверен?

Этот вывод справедлив, но при этом $\varnothing \not \subset A$ неверно. Этот вывод бесполезен (из $x\in\varnothing$ следует что угодно - и верное и неверное). Ровно так же, как бесполезен вывод $(x\in\varnothing)\vdash (\varnothing \subset A)$. А вот что небесполезно: справедливость утверждения $\forall x\;(x\in\varnothing\to x\in A)$. Это верное утверждение равносильно тому, что $\varnothing\subset A$ (уже безо всякой посылки $x\in\varnothing$) - и, таким образом, $\varnothing\subset A$ верно (а не просто выведено из $x\in\varnothing$).

Vladimir Pliassov в сообщении #1643306 писал(а):

Что это значит? Что из утверждения $\forall x\; (x\in\varnothing\to x\notin A)$ не следует $\varnothing\not \subset A$?

Да, не следует. А как оно могло бы следовать?

По определению, $B\subset A$ означает $\forall x\; (x\in B\to x\in A)$.
Но $\forall x\; (x\in B\to x\notin A)$ - вовсе не то же самое, что $B\not\subset A$.
Потому что утверждения $\forall x\; (x\in B\to x\in A)$ и $\forall x\; (x\in B\to x\notin A)$ не являются отрицаниями друг друга.
Это очень легко понять. Представьте два пересекающихся множества $A$ и $B$ (так что ни одно из них не является подмножеством другого). Тогда для них неверно $\forall x\; (x\in B\to x\in A)$, но неверно и $\forall x\; (x\in B\to x\notin A)$ (потому что некоторые точки из $B$ лежат в $A$, а некоторые не лежат). Так что это не противоположные друг другу утверждения, из них не обязательно одно верно а другое неверно.

На самом деле, утверждению $\forall x\; (x\in B\to x\notin A)$ можно придать смысл: оно означает просто, что множества $A$ и $B$ не пересекаются. А вовсе не то, что $B\not\subset A$.
Таким образом, верное утверждение $\forall x\; (x\in\varnothing\to x\notin A)$ означает, что $\varnothing$ не пересекается ни с каким множеством. Но это совсем не мешает пустому множеству быть подмножеством любого множества.

А как записать утверждение $B\not\subset A$? Например, так: $\exists x\; (x\in B\,{\textrm{и}}\,x\notin A)$ (в множестве $B$ есть точка, не принадлежащая $A$). Для пустого множества в качестве $B$ это очевидно неверно: в нём нет точки, не принадлежащей $A$. Поэтому неверно, что $\varnothing\not\subset A$.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1643261 писал(а):

epros в сообщении #1643098 писал(а):

В классической логике есть тавтология: $(A \to (B \lor C)) \to ((A \to B) \lor (A \to C))$. Если интерпретировать импликацию (т.е. логическое следование) как выводимость, то это означает, что если из аксиоматики $A$ выводится дизъюнкция $B \lor C$, то из этой аксиоматики выводится либо $B$, либо $C$. Но на самом деле это не так! Теорема Гёделя о неполноте говорит нам, что достаточно содержательная непротиворечивая аксиоматика обязательно неполна, т.е. в ней есть недоказуемые и неопровержимые высказывания. Но при этом закон исключённого третьего позволяет вывести дизъюнкцию: что данное высказывание либо истинно, либо ложно. Т.е. дизъюнкция выводится, но ни один из её аргументов - нет.

Таким образом, классическая логика заведомо не может провести знак равенства между логическим следованием и выводимостью: Обязательно будут какие-то невыводимые следствия, что очень странно.

Начал разбирать первую теорему Гёделя, но так сразу разобраться в ней не могу.

Но вот простой пример, который, как мне кажется, иллюстрирует то, что Вы говорите.

Теорема Гёделя о неполноте и то, о чём я говорю, не имеют никакого отношения к ex falso quodlibet, согласно которому из ложного утверждения следует что угодно.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1643310 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1643306 писал(а):

из утверждения $\forall x\; (x\in\varnothing\to x\notin A)$ не следует $\varnothing\not \subset A$?

Да, не следует. А как оно могло бы следовать?
...

На самом деле, утверждению $\forall x\; (x\in B\to x\notin A)$ можно придать смысл: оно означает просто, что множества $A$ и $B$ не пересекаются. А вовсе не то, что $B\not\subset A$.

Но если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то $B\not\subset A$, так что из утверждения $\forall x\; (x\in B\to x\notin A)$ следует $B\not\subset A$,

соответственно, из утверждения $\forall x\; (x\in\varnothing\to x\notin A)$ следует $\varnothing\not \subset A$, разве нет?

epros в сообщении #1643333 писал(а):

Теорема Гёделя о неполноте и то, о чём я говорю, не имеют никакого отношения к ex falso quodlibet, согласно которому из ложного утверждения следует что угодно.

Спасибо, понятно. У Гёделя две импликации "из истины следует истина", и эти импликации противоречат друг другу?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1643470 писал(а):

Но если множества $A$ и $B$ не пересекаются, то $B\not\subset A$

Нет, такого утверждения сделать нельзя. Просто из первого второе никак по законам логики не следует (хотя и звучит очень правдоподобно).
Вот если потребовать ещё $B\neq\varnothing$, тогда это получится доказать. Например, так:

Так как $B\neq\varnothing$, рассмотрим произвольный элемент $x\in B$ (он существует, раз множество непустое).
$A$ и $B$ не пересекаются, поэтому $x\notin A$.
Значит, неверно, что $\forall x\;(x\in B\to x\in A)$ - ведь мы знаем элемент $x$, лежащий в $B$, но не в $A$.
Значит, неверно, что $B\subset A$. Другими словами, $B\not\subset A$.

Но в этом доказательстве мы использовали, что $B\neq\varnothing$. Если же $B=\varnothing$, то из того, что $A$ и $B$ не пересекаются, не удаётся вывести, что $B\not\subset A$.
Более того, верно обратное: пустое множество не пересекается ни с одним множеством, и вместе с тем является подмножеством любого множества.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1643470 писал(а):

У Гёделя две импликации "из истины следует истина", и эти импликации противоречат друг другу?

У Гёделя невыводимое истинное утверждение. Поскольку оно истинное, значит с точки зрения классической логики оно "следует из аксиоматики", а поскольку оно невыводимое, значит имеем утверждение, которое следует, но не выводится из аксиоматики.

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1643483 писал(а):

Поскольку оно истинное, значит с точки зрения классической логики оно "следует из аксиоматики"

В том-то и дело, что нет. Истинность значит, что оно верно для настоящих натуральных чисел. А невыводимость означает (точнее, из невыводимости следует по теореме полноты), что есть нестандартные модели у формальной аксиоматики, где аксиомы выполнены, а гёделевское утверждение - нет. Другими словами, аксиомы всё не описывают.

[epros]

dgwuqtj в сообщении #1643485 писал(а):

epros в сообщении #1643483 писал(а):

Поскольку оно истинное, значит с точки зрения классической логики оно "следует из аксиоматики"

В том-то и дело, что нет.

Это была буквальная декларация первой Гильбертовской аксиомы исчисления высказываний:
$A \to (B \to A)$.
На естественном языке:
"Истинное высказывание следует из чего угодно".

dgwuqtj в сообщении #1643485 писал(а):

Истинность значит, что оно верно для настоящих натуральных чисел. А невыводимость означает (точнее, из невыводимости следует по теореме полноты), что есть нестандартные модели у формальной аксиоматики, где аксиомы выполнены, а гёделевское утверждение - нет. Другими словами, аксиомы всё не описывают.

Это вопрос определения - какие натуральные числа являются "настоящими". Понятно, что мы можем определить нестандартную модель арифметики Пеано, в которой теорема Гудстейна будет ложной. Гёдель же, когда формулировал свою теорему о неполноте и говорил об "истинности" своего утверждения, имел в виду истинность не в какой-то из моделей, а доказанное утверждение метатеории. Ибо именно метатеория доказывает, что если арифметика Пеано непротиворечива, то Гёделевское утверждение истинно.

Забавно, что противоположное тому, что я сказал вот здесь:

epros в сообщении #1643483 писал(а):

имеем утверждение, которое следует, но не выводится из аксиоматики

, звучит вот так: "Любое следствие выводится из своей предпосылки" и формально может быть записано вот так:
$(\mathcal T \vdash A \to B) \vdash (\mathcal T, A \vdash B)$.

И это метаправило, в некотором смысле обратное к утверждению теоремы дедукции $(\mathcal T, A \vdash B) \vdash (\mathcal T \vdash A \to B)$, очевидным образом выводится из modus ponens: $A, A \to B \vdash B$.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1632690 писал(а):

Доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\in A$ и доказано, что $x\in\varnothing\,\to\,x\notin A$.

А уверены ли мы в том, что импликации $x\in\varnothing\to x\in A$ и $x\in\varnothing\to x\notin A$ существуют?

Возьмем два высказывания: $p=$"$x\in \varnothing$", $q=$"$x\in A$", --

и к ним контрвысказывания: $\neg p=$"$x\notin \varnothing$", $\neg q=$"$x\notin A$".

Составим четыре конъюнкции:

$$\begin {matrix} 1.&\neg p\wedge \neg q,\\ \\ 2.&\neg p\wedge q,\\ \\ 3.&p\wedge \neg q,\\ \\ 4.&p\wedge q. \end {matrix} \eqno (1)$$

Из них можно составить разные дизъюнкции, например, дизъюнкцию

$$(\neg p\wedge \neg q)\vee (\neg p\wedge q)\vee (p\wedge \neg q)\vee (p\wedge q) \eqno (2)$$

Импликация $x\in\varnothing\to x\in A$ возникает, когда из дизъюнкции (2) исключается конъюнкция $p\wedge \neg q$ и при этом не исключается конъюнкция $p\wedge q$, а импликация $x\in\varnothing\to x\notin A$ возникает, когда из дизъюнкции (2) исключается конъюнкция $p\wedge q$ и при этом не исключается конъюнкция $p\wedge \neg q$.

Как я понимаю, в поисках истины надо отбрасывать ложные предположения (высказывания), поэтому обе конъюнкции $p\wedge q$ и $p\wedge \neg q$ должны быть исключены как не соответствующие действительности.

Но если исключаются обе эти конъюнкции, то ни одна из импликаций $x\in\varnothing\to x\in A$ и $x\in\varnothing\to x\notin A$ не возникает.