Почему по графику получается НЕ среднее значение?

[Phys-stud]

Вопрос по книге МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ПРИМЕРАХ (https://library.voenmeh.ru/cnau/elr03020.pdf)

В таблице 1 (стр 25) даны значения измеренных величин (p, V) и константа ($C=pV$). Арифметическое сред: 6,87 Дж. Это понятно.


Но если построить график p=f(V) и автоматический определить уравнение, то получаем:

Согласна им C=7.9.
Если построить график lg(p) = f(lg V), то C=7,2:
$lgp=-n lgV+lgC$ (формула-1)


Вопрос-1: Я думал ариф. сред. и значение, определенное по графику значение С примерно должны быть равны. В чем я не прав?
Вопрос-1.1: У них разный смысл получается?

В книге по формуле-1 вычислена n (показатель политропы) и его погрешность n=(1,07±0,04).
Вопрос-2. Как была вычислена погрешность? (в книге не объясняют)

[alisa-lebovski]

Когда подбирается кривая с варьируемой степенью $x$ и с фиксированной, то коэффициенты, конечно, могут получиться разными. И до и после логарифмирования тоже.

[amon]

Phys-stud в сообщении #1641503 писал(а):

Но если построить график p=f(V) и автоматический определить уравнение, то получаем:

Здесь ключевое слово - "автоматически определить". Как это происходило - бог весть. Если в качестве подгоночной функции взять полином, то можно подгоночную кривую провести так, что погрешность вообще будет ноль. Фокус в том, что в формуле $PV=C$ всего один подгоночный параметр, в формуле $PV^n=c$ - два, а в формуле $P=\sum\limits_{n=0}^{5} C_n V^n$ - шесть, и в последнем случае кривую можно точно провести через шесть точек. Как говорил кто-то из великих, с четырьмя свободными параметрами я могу на графике нарисовать слона, а с шестью он будет махать ушами.

В Вашем пособии объясняется, что в эксперименте, видимо, была систематическая ошибка, связанная с непостоянством температуры. В логарифмических осях график - почти прямая, поэтому можно попробовать подогнать данные графиком $PV^n=c.$ Величина $c$ при этом будет отличаться от $C$ при подгонке формулой $PV=C.$

Что касается погрешности $n,$ то Вам либо надо разбираться с методом наименьших квадратов (это полезно, если Вы собираетесь когда-нибудь заниматься обработкой результатов эксперимента), либо для грубой оценки воспользоваться методом парных точек для графика в дважды логарифмическом масштабе, описанном ниже в пособии.

[GAA]

Присоединяюсь к предыдущему участнику обсуждения. Что здесь есть "автоматически определить"?

Я работу установки не разбирал, но в таблице 1 приведены значения $V^{-1}$. Будем считать, что $V^{-1}=x$ не имеют погрешностей, а $p$ — имеют независимые и одинаково распределённые погрешности с нулевым ожиданием, $\varepsilon_i$. Тогда методом наименьших квадратов можно найти значение параметра $C$ модели $p_i = C^* x_i +\varepsilon_i$.
Формула для оценки параметра $C$: $ C^* = \frac {\sum_1^m p_i x_i} {\sum_1^m x_i^2}$, где $ m $ — количество измерений.
Допустим, Вы будете реализовывать вычисления в Excel. Занесём в первый столбец значения $x$, а во второй значения $p$. Далее создадим точечную диаграмму и на неё добавим линейный тренд. Так как в нашей модели нет аддитивного параметра, то в окне «Формат линии тренда» на вкладке «Параметры» поставим галочку в «пересечение кривой с осью Y в точке 0». Найденная этим методом оценка $C$ приблизительно равна $6.89$.

Вложение:

Regr.PNG

В случае с моделью $p = Cx^n$, в книге предлагается логарифмировать без указания предположений о распределении погрешностей. Формальное логарифмирование даёт $\ln p_i = n \ln x_i +\ln C$. Это простейшая линейная модель. Методом наименьших квадратов можно формально найти оценки параметров $n^* = 1.0625$, $\ln^*C = 1.3438$. Потенцируя, получим $C^* \approx 3.8$.

Можно, конечно, рассмотреть и нелинейную модель, но без сведений о распределении ошибок измерений это бессмысленная трата времени.