Диофантово уравнение 1 + x^2 + x^3 + y^2 = 9xyz

[Dmitriy40]

За 15ч проверил до $|y|<10^9$, подходящих $z$ не нашёл.

worm2 в сообщении #1633115 писал(а):

Выглядит привлекательной идея вести перебор по $x$. В этом случае наиболее затратной операцией является факторизация $A=1+x^2+x^3$.

Так порядок роста будет $O(x^3)$, это не есть хорошо, я выше привёл алгоритм с ростом $O(x^2)$. Собственно как показывает указанное мною время уже нет разницы по $y$ или по $x$ (точнее по $D$) вести перебор, основное время занимает перебор делителей (ну и вероятно разложение на множители для него).

С какой скоростью можно искать квадратичные вычеты для составных чисел $x$ и будет ли это быстрее факторизации (перебора делителей) я пока не в курсе, похоже придётся делать факторизацию $x$ и искать вычеты по каждому простому в разложении. Впрочем вычисление символа Лежандра вроде бы быстрее разложения на множители, а китайская теорема об остатках (для получения полного списка вычетов) и проверка делителей довольно быстрые ...

[mathpath]

x=-362
y=-6879
При этом правая часть делится на левую без остатка, z = 1

x=-65
y=-520
Здесь в левой части вообще получается 1
А надо, чтобы 0 получился, тогда и z = 0

[Dmitriy40]

mathpath в сообщении #1633166 писал(а):

x=-65
y=-520
Здесь в левой части вообще получается 1

И чему же равно целое $z$ из уравнения $1=9(-65)(-520)z$?
Аналогично и остальные ваши примеры, левая часть даже на 9 не делится.

-- 17.03.2024, 18:34 --

mathpath в сообщении #1633166 писал(а):

При этом правая часть делится на левую без остатка,

А должно быть наоборот, левая делиться на часть правой $9xy$.

[End1]

maxal, откройте, пожалуйста, одну букву.

[Vadim32]

maxal
Пожалуйста, не открывайте ни одной буквы, иначе не интересно решать, а задача ведь хорошая. Возможно кто-то решает и найдёт оригинальный ответ, и ему будет обидно потратить время впустую. Если захотите открыть ответ, хотя бы назначьте дату открытия, чтобы можно было планировать - стоит или не стоит заниматься решением этой задачи.

[Shadow]

worm2 в сообщении #1633115 писал(а):

Можно показать, что остаток от деления $x$ на $27$ равен 4 либо 13. Это, конечно, даёт сокращение перебора на порядок, но такое сокращение я не назову радикальным.

Учитывая еще, что $x \mid y^2+1$ (тоесть у $|x|$ нет делителей $-1 \pmod 4$),можно сказать, что либо $|x|=2(4k+1)$, либо $8k+1$, либо $8k+5$ и ограничиться шестью случаями по модулю $216$, что тоже радикально ничего не меняет...

[mathpath]

Много вариантов, где сумма слева отличается от суммы справа на единицу, при этом z=1 :
x=-287 y=-6314
x=-221 y=-4420
x=-53 y=-689
x=-11 y=-110
x=-1 y=-9
x=-113 y=791
x=-163 y=1467
x=-253 y=3036
x=-71 y=355
x=-91 y=546
x=-221 y=2431
x=-37 y=111
x=-137 y=1096
x=-53 y=212
x=-191 y=1910

Не вижу никакой закономерности, вернее, игрек кратен иксу

[vicvolf]

mathpath в сообщении #1633264 писал(а):

Много вариантов, где сумма слева отличается от суммы справа на единицу,

Основной вариант $x=y=z=0$

[Shadow]

mathpath в сообщении #1633264 писал(а):

Много вариантов, где сумма слева отличается от суммы справа на единицу, при этом z=1 :

mathpath в сообщении #1633264 писал(а):

Не вижу никакой закономерности, вернее, игрек кратен иксу

Ну да, $x=9t-t^2-1,\;y=tx$

Nо уравнение $1+x^2+x^3+y^2=1+9xy$

гораздо проще исходного...

[mathpath]

исходное уравнение можно привести к виду
$a * b = c * d -1$
Здесь
$a = x^2$
$b = x+1$
$c =y$
$d = 9xz-y$

[vicvolf]

mathpath в сообщении #1633270 писал(а):

исходное уравнение можно привести к виду
$a * b = c * d -1$

А зачем? Кстати * - это операция свертки Дирихле. Для умножения надо использовать $\cdot$.

[maxal]

Vadim32, End1, как скажете. :)
Могу привести одно решение, которое покажет, что оные в принципе существуют, а заодно позволить проверить на нём гипотезы/предположения.
В этой задаче, конечно, важно не само решение, а метод его получения. Поэтому я не вижу большого вреда в анонсировании какого-то одного решения, тем более, что я уже утверждал, что уравнение разрешимо.
Такая "одна буква" всех устраивает?

[mathpath]

maxal в сообщении #1633457 писал(а):

Vadim32, End1, как скажете. :)
Могу привести одно решение, которое покажет, что оные в принципе существуют, а заодно позволить проверить на нём гипотезы/предположения.
В этой задаче, конечно, важно не само решение, а метод его получения. Поэтому я не вижу большого вреда в анонсировании какого-то одного решения, тем более, что я уже утверждал, что уравнение разрешимо.
Такая "одна буква" всех устраивает?

Конечно, устраивает
Вы хотя бы намекните

[End1]

maxal, откройте, пожалуйста, букву $z$.

[worm2]

У меня иссякли идеи, так что меня "одна буква" устраивает.