Найти базис и размерность линейного подправстранства

[halva]

Проскуряков, 1310. Прокомментируйте, пожалуйста.
Найте базис и размерность линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов

$ a_1 = (1, 0, 0, -1), a_2 = (2, 1, 1, 0), a_3 = (1, 1, 1, 1), a_4 = (1, 2, 3, 4), a_5 = (0, 1, 2, 3) $

Сделать это, вроде, можно приведя матрицу, полученную из данных векторов, записанных в строку, к ступенчатому виду. Ненулевые строки матрицы будут базисом подпространства. Получился такой базис:

$ (2, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1) $

Значит, размерность равна 3.

Правильно ли я все сделал? Спасибо!

[Dedekind]

halva в сообщении #1632495 писал(а):

Сделать это, вроде, можно приведя матрицу, полученную из данных векторов, записанных в строку, к ступенчатому виду. Ненулевые строки матрицы будут базисом подпространства.

Это правильно. Ну, только не ненулевые строки, исходные векторы, которые соответствуют этим ненулевым строкам. А правильность вычислений можете проверить, например, тут https://www.wolframalpha.com/input?i=re ... C+19%7D%7D

[svv]

Правильно.

Тут очевидно, что $a_2=a_1+a_3$ и $a_4=a_3+a_5$ (не знаю, предполагался ли такой способ рассуждения составителем), так что $a_2$ и $a_4$ можно выбросить из системы векторов, не меняя её ранга. А для оставшихся трёх векторов довольно очевидна их линейная независимость.

Кстати, интересный момент. Возьмите любой из Ваших векторов, из его первой координаты вычтите вторую, затем третью и потом прибавьте четвёртую. Получится нуль. Например:
Для $a_2$: $2-1-1+0 = 0$
Для $a_4$: $1-2-3+4 = 0$
Для $a_5$: $0-1-2+3=0$
И так для всех пяти векторов. Странно, правда? Что это значит?