Вопрос по общей теории относительности

[Mikhail_K]

Утундрий в сообщении #1629477 писал(а):

Когда вам надоест изобретать моноцикл с пятиугольным колесом, сообщите...

Буду рад, если покажете мотоцикл с правильными колёсами.

[Утундрий]

Mikhail_K
Я ведь давал ссылки. Адекватное решение и сложней и интересней любой взятой с потолка системы эпициклов.

[epros]

По-моему, расписать решение для гравитационного поля в запаздывающих потенциалах - отнюдь не бессмысленная задача. Если порыться в литературе, то наверняка решение найдётся. Хотя оно и осложняется самодействием гравитации.

[Утундрий]

epros
Простите нескромный вопрос. Вы когда последний раз занимались собственно ОТО, а не своими представлениями о ней?

[epros]

Никогда. И не собираюсь. А то, знаете ли, есть такое наблюдение: Те, кто больше всех уверены в том, что их представления и есть самый эталонный эталон "настоящей ОТО", быстрее всего скатываются во фричество.

[SergeyGubanov]

Mikhail_K в сообщении #1629391 писал(а):

в момент $r/c$ тому назад

Ньютоновский гравитационный потенциал не является запаздывающим, он мгновенный. Это прямо следует из ОТО в приближении слабого поля. Дело в том, что в уравнениях ОТО отсутствуют вторые производные по времени $\frac{\partial^2}{\partial x^0 \partial x^0}$ от компонент метрического тензора $g_{00}$, $g_{01}$, $g_{02}$, $g_{03}$. "Запаздывающими" являются только компоненты отвечающие за трёхмерную кривизну $g_{1 1}$, $g_{1 2}$, $g_{1 3}$, $g_{2 2}$, $g_{2 3}$, $g_{3 3}$.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #1629617 писал(а):

Ньютоновский гравитационный потенциал не является запаздывающим, он мгновенный. Это прямо следует из ОТО в приближении слабого поля.

Конечно же нет. Если рассмотреть гантель с тяжёлыми шарами, которым упасть друг на друга не даёт ручка, то нетрудно посчитать "Ньютоновский гравитационный потенциал" этой конструкции в некоторой удалённой точке. Он будет слегка отличаться от того "Ньютоновского гравитационного потенциала", который будет в этой точке после того, как мы сломаем ручку и шары под действием тяготения упадут друг на друга. Так вот, после слома ручки это изменение распространится в удалённую точку отнюдь не мгновенно.

SergeyGubanov в сообщении #1629617 писал(а):

Дело в том, что в уравнениях ОТО отсутствуют вторые производные по времени $\frac{\partial^2}{\partial x^0 \partial x^0}$ от компонент метрического тензора $g_{00}$, $g_{01}$, $g_{02}$, $g_{03}$. "Запаздывающими" являются только компоненты отвечающие за трёхмерную кривизну $g_{1 1}$, $g_{1 2}$, $g_{1 3}$, $g_{2 2}$, $g_{2 3}$, $g_{3 3}$.

Эти все рассуждения никоим образом не могут отменить вышесказанного..

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #1629620 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1629617 писал(а):

Ньютоновский гравитационный потенциал не является запаздывающим, он мгновенный. Это прямо следует из ОТО в приближении слабого поля.

Конечно же нет. Если рассмотреть гантель с тяжёлыми шарами, которым упасть друг на друга не даёт ручка, то нетрудно посчитать "Ньютоновский гравитационный потенциал" этой конструкции в некоторой удалённой точке. Он будет слегка отличаться от того "Ньютоновского гравитационного потенциала", который будет в этой точке после того, как мы сломаем ручку и шары под действием тяготения упадут друг на друга. Так вот, после слома ручки это изменение распространится в удалённую точку отнюдь не мгновенно.

В том приближении в каком Ньютоновский гравитационный потенциал вообще определён, он не запаздывающий. Если хотите учесть запаздывание гравитационного взаимодействия, то Вам придётся вообще отказаться от использования такого понятия как Ньютоновский гравитационный потенциал. В данном случае Вам придётся учесть искривление трёхмерного пространства, которое после слома ручки гантели будет распространяться со скоростью света.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #1629785 писал(а):

В том приближении в каком Ньютоновский гравитационный потенциал вообще определён, он не запаздывающий. Если хотите учесть запаздывание гравитационного взаимодействия, то Вам придётся вообще отказаться от использования такого понятия как Ньютоновский гравитационный потенциал. В данном случае Вам придётся учесть искривление трёхмерного пространства, которое после слома ручки гантели будет распространяться со скоростью света.

Вы ошибаетесь. Со скоростью света будут распространяться все малые изменения метрики. "Слом ручки гантели" - это изменение ТЭИ в ней, а именно, в некоторый момент исчезает давление, которое препятствовало её сжатию с концов. И от точек ручки гантели сразу побегут волны изменения метрики. А компонентам давления в ТЭИ как раз соответствуют градиенты тех компонент связности, которые описывают ускорение свободного падения, а значит связаны с тем самым Ньютоновским гравитационным потенциалом.

Ни в каком разумном "приближении" в этой задаче мгновенно изменения в компоненте $g_{00}$ не распространятся.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #1629789 писал(а):

градиенты тех компонент связности, которые описывают ускорение свободного падения, а значит связаны с тем самым Ньютоновским гравитационным потенциалом

Понятие "гравитационный потенциал" $\varphi$ можно ввести только в случае когда "гравитационная сила" безвихревая. Описание с помощью потенциала $\varphi$ невозможно уже даже в случае стационарной быстро вращающейся звезды. В задаче с гравитационными волнами никакого "гравитационного потенциала" не существует по-определению.

Более формально, рассмотрим два Лагранжиана

$$ L_{V} = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^i \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^j \right), $$

$$ L_{\varphi} = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} - m \, \varphi. $$

Описание с помощью $L_{V}$ эквивалентно (существует каноническое Гамильтоново преобразование) описанию с помощью $L_{\varphi}$ только тогда когда

$$ \partial_i V_j - \partial_j V_i = 0, $$

при этом

$$ \varphi = - \frac{1}{2} \gamma_{i j} V^i V^j, $$

в противном случае потенциал $\varphi$ не определён, at all.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #1629840 писал(а):

Понятие "гравитационный потенциал" $\varphi$ можно ввести только в случае когда "гравитационная сила" безвихревая.

Как Вы знаете, электростатика описывается скалярным потенциалом. Электродинамика - уже не описывается, что однако не отменяет факта существования такового потенциала в электродинамике (как компоненты четырёхвектора потенциала). Аналогичным образом аналог скалярного потенциала Ньютона продолжает в некотором смысле существовать и в общем случае в ОТО. Его роль играет временная компонента метрики.

До того, как ручку гантели сломали и сильно после того, как шары упали друг на друга, задача становится статической, т.е. неплохо описывается через скалярный потенциал. И эти потенциалы "до" и "после" - разные. Вопрос о том, как распространилось это изменение, правомерен, хотя ответ на него, разумеется, в рамках статики невозможен.

[Mikhail_K]

Dmitriy40 в сообщении #1629406 писал(а):

Разве вопрос не решается рангом тензора? Для ЭМ поля ранг 1 и достаточно только первой производной, для гравитации ранг 2 и надо ещё и ускорение.

Попробую ещё раз переформулировать свой вопрос. В чём конкретно роль ранга тензора в вопросе о запаздывании воздействия (электромагнитного или гравитационного)? Где конкретно в литературе об этом можно подробно прочитать? Никак не могу разобраться в этом вопросе.

[Dmitriy40]

Mikhail_K
У меня нет ответа. Надеюсь вопрос увидят более знающие товарищи.

(Оффтоп)

Мне казалось ранг тензора показывает в частности сколько производных надо учитывать, но как это связано я без понятия. Слышал краем уха не пойми откуда и дофантазировал.

[SergeyGubanov]

Речь же не о каком-то абстрактном тензоре и не о каких-то абстрактных уравнениях взаимодействия, а конкретно о метрическом тензоре $g_{\mu \nu}$ и уравнениях ОТО. И конкретно в уравнениях ОТО отсутствует первая $\frac{\partial}{\partial t}$ и вторая $\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ частная производная по времени от компоненты $g_{0 0}$, а так же отсутствует вторая $\frac{\partial^2}{\partial t^2}$ частная производная по времени от компонент $g_{0 1}$, $g_{0 2}$, $g_{0 3}$. В Ньютоновском приближении слабого гравитационного поля Ньютоновский гравитационный потенциал выражается как раз через эти компоненты метрического тензора, а они-то как раз никакому волновому уравнению не удовлетворяют. Вот и получается, что при выполнении условий при которых Ньютоновское приближение вообще имеет смысл никакого "запаздывания" вообще нет.

[Mikhail_K]

SergeyGubanov
Спасибо.