Закон по которому период обращаеться в бесконечность

[Cosmochelik]

Задачник Коткин Сербо
Я полагаю что нужно в интеграле

$$\int\limits_{x}^{x_0} \frac{dx}{\sqrt{E - U(x)}}$$

Разложить в ряд Тейлора $U(x)$ (Собственно, на это указывает ответ) и взять некий предел, но честно говоря у меня не получается ничего адекватного

[Утундрий]

Наверное предполагается, что в точке максимума вторая производная отлична от нуля.

[Cosmochelik]

Утундрий
Ну хорошо, вот допустим
$U(x) = U(a) + \frac{U^{''}(a)}{2}(x-a)^2$
Но у меня выходит арксинус в итоге интеграл, а в ответе логарифм.

[DimaM]

Cosmochelik в сообщении #1626490 писал(а):

Но у меня выходит арксинус в итоге интеграл, а в ответе логарифм.

Сдается мне, что арксинус должен быть гиперболическим.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[Cosmochelik]

DimaM
Так, прошу прощения, Вы правы, я не учел что $U^{''}(a) $ отрицательно
Обозначив $\alpha = -U^{''}(a) $ Я пришел вот к такому
$\ln ({\sqrt{\frac{\alpha}{\varepsilon}}(x-a) + \sqrt{\frac{\alpha}{\varepsilon}(x-a)^2 - 1}}})$
Где $\varepsilon = U_m - E $
Но что делать дальше не понятно

[Утундрий]

Cosmochelik в сообщении #1626508 писал(а):

что делать дальше

Пусть $\zeta \rightarrow 1$, к чему стремится $\sqrt{\frac{\zeta^2-1}{\zeta-1}$?

[Cosmochelik]

Утундрий
К корню из 2
Но тут я почему то не могу его адекватно найти, а должно получиться $\ln\varepsilon$

[GAA]

Как я понял начальное сообщение, из закона сохранения энергии $mv^2/2 +U= E$ получаем $\frac {dx} {dt} = \pm \qrt{\frac 2 m} \sqrt {E-U(x)}$.
Разделяя переменные, получим
$ dt = \pm \qrt{\frac m 2} \frac {dx} {\sqrt {E-U(x)}}$.
За период мы движемся от точки $x=c$ до точки $x=b_2$ и назад, см. рис.

Вложение:

K.PNG

Т.е. $ T = 2 \sqrt{\frac m 2} \int_c^{b_2}\frac {dx} {\sqrt {E-U(x)}}$.
Промежуток от $c$ до $b_2$ разбиваем на две части от $c$ до $b_1$ и от $b_1$ до $b_2$.
$ T = 2 \sqrt{\frac m 2}\left( \int_c^{b_1}\frac {dx} {\sqrt {E-U(x)}} + \int_{b_1}^{b_2}\frac {dx} {\sqrt {E-U(x)}} \right)$.
Если вторая производная в $a$ не равна нулю, то в первом промежутке заменяем потенциал его квадратичным приближением.
Для краткости записей будем считать $a=0$
Рассмотрим первый интеграл.
$E - U(x) = E - U_m + \alpha x^2 = \alpha x^2 - \varepsilon$ ($\alpha = -U''(a)/2$).
Приближённое значение $c = \sqrt {\varepsilon / \alpha}$.
Первообразная: $\frac 1 {\sqrt {\alpha}} \ln\left ( \sqrt{\alpha} x + \sqrt{\alpha x^2 - \varepsilon} \right)$.
Подставив левый предел интегрирования ($\sqrt {\varepsilon / \alpha}$), получим $\frac 1 {2\sqrt {\alpha}}\ln \varepsilon$, т.е. $-\propto \ln \varepsilon$.

Редактирование: поправил знаки.

[Cosmochelik]

GAA
Так, во первых большое спасибо
Дело в том что моя первообразная $\ln(\sqrt{\frac{\alpha}{\varepsilon}}(x-a) + \sqrt{\frac{\alpha}{\varepsilon}(x-a)^2 - 1}})$ = $\ln(\sqrt{\alpha}(x-a) + \sqrt{\alpha(x-a)^2 - \varepsilon}}) - \ln(\varepsilon)$ отличается на константу, то есть та же первообразная.
Но я так понимаю, эта константа не играет роли в определенном интеграле, а главное что второй интеграл конечен

-- 20.01.2024, 00:26 --

GAA
Ой, я сонный и фигню наверное сказанул в последней строчке. А что с тем интегралом что по большей площади?

[GAA]

Cosmochelik в сообщении #1626551 писал(а):

Дело в том что моя первообразная $\ln(\sqrt{\frac{\alpha}{\varepsilon}}(x-a) + \sqrt{\frac{\alpha}{\varepsilon}(x-a)^2 - 1}})$ = $\ln(\sqrt{\alpha}(x-a) + \sqrt{\alpha(x-a)^2 - \varepsilon}}) - \ln(\varepsilon)$ отличается на константу, то есть та же первообразная.

Отличается на константу от ? По моему, Вы множитель потеряли, но так как в ответе указана пропорциональность, то на это можно внимание не обращать.

По поводу второго интеграла. Судя по рисунку, он сходится. Очевидно нужно показать, что при некоторых условиях он, если и растёт, то существенно медленнее $-\ln {\varepsilon}$ при $\varepsilon \to 0$.

[GAA]

Вообще, формулировка упражнения и ответ несколько небрежены. Рассмотрим случай колебаний под действием потенциала $U = -\cos x$ (математический маятник). Период колебаний
$T =\propto 2K \left(\sqrt {\frac {2-\varepsilon} {2}}\, \right) \propto 2\ln(4 \sqrt 2) - \ln\varepsilon + \left (\frac {\ln(4 \sqrt 2) -1} {4} - \frac {\ln \varepsilon } 8 \right)\varepsilon +…$
Здесь $K$ — эллиптический интеграл первого рода.
Период даже асимптотически не пропорционален $-\ln \varepsilon$ (аддитивная константа пропорциональность портит). Чёрт его знает, что они под пропорционален ("$\propto $") понимают в ответе к упражнению.
Я смотрел Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

[Cosmochelik]

GAA
Ну я даже условие понял далеко не сразу)
Дело в том что
$ T = 2 \sqrt{\frac m 2}\left( \int_c^{b_1}\frac {dx} {\sqrt {E-U(x)}} + \int_{b_1}^{b_2}\frac {dx} {\sqrt {E-U(x)}} \right)$.
Вот если взять мою первообразную ( множители я не пишу, они действительно не влияют), то выходит что нижний предел первого интеграла 0, верхний предел первого сокращеться с нижним пределом второго, ну а верхний предел второго это какое то число.
Иии непонятно как получить ln, он должен вылезти в таком подходе в верхнем пределе второго интеграла по идее

[GAA]

Cosmochelik в сообщении #1626619 писал(а):

Вот если взять мою первообразную ( множители я не пишу, они действительно не влияют), то выходит что нижний предел первого интеграла 0, в

Нет, не ноль. Найдите значение левого предела интегрирования и подставьте.

-- Sat 20.01.2024 20:46:34 --

$c-a = \sqrt {\varepsilon/\alpha}$.
$\int\limits_c^{b_1} \frac {dx} {\sqrt {\alpha (x-a)^2 - \varepsilon}}=\int\limits_{\sqrt{\varepsilon / \alpha}}^{\beta_1} \frac {dy} {\sqrt{\alpha y^2 - \varepsilon}} = \frac {1}{\sqrt {\alpha}}\int\limits_{\sqrt{\varepsilon}}^{\hat \beta_1} \frac {dz} {\sqrt{z^2 - \varepsilon}} = $
$=\frac 1 {\sqrt {\alpha}} \ln (z + \sqrt{z^2 - \varepsilon}) |_{\sqrt{\varepsilon}}^{\hat \beta_1}} = ... - \frac 1 {2\sqrt {\alpha}} \ln \varepsilon }$.

[Cosmochelik]

GAA
Да, в вашей первообразной не ноль. В моей ноль))
$ \frac {1}{\sqrt {\alpha}}\int\limits_{\sqrt{\varepsilon}}^{\hat \beta_1} \frac {dz} {\sqrt{z^2 - \varepsilon}} = \frac {1}{\sqrt {\alpha}}\int\limits_{\sqrt{\varepsilon}}^{\hat \beta_1} \frac {dz} {\sqrt{ \frac{z^2}{\varepsilon} - 1}} \frac {1}{\sqrt{ \varepsilon} } = \frac {1}{\sqrt {\alpha}}\int\limits_{\sqrt{\varepsilon}}^{\hat \beta_1} \frac {dp} {\sqrt{p^2 - 1}} = ln(p + \sqrt{p^2-1})|_{1}^{\hat \beta_1} $
*Пределы интегрирования не соблюдены, но в конце нижний предел единица