Пружинный пистолет: НЕ простая задача

[sergey zhukov]

Пуля отрывается почти в точке, где пружина находится в полностью расслабленном состоянии. Только в общем случае пружина в таком состоянии никогда не бывает. Обычно она одновременно в одних местах сжата, в других - растянута. Т.е. состояние пружины не является просто функцией состояния ее концов.
Вот четыре случая, в которых масса пули растет слева направо. Красным показана сила, действующая на пулю. Горизонтальная линия - это длина пружины в свободном состоянии:


При большой массе пули отрыв действительно происходит на уровне горизонтальной линии. Здесь скорость расширения пружины мала, можно считать, что пружина постоянно находится в некотором равновесном состоянии. А при малой массе пули скорость расширения пружины велика, поэтому отрыв пули происходит выше горизонтали. Эффект, впрочем, слабый, но он есть.

[Dmitriy40]

sergey zhukov
Вы сознательно взяли скорость конца пружины на левом графике близкой к скорости звука в материале пружины? Так что у вас конец уже поехал (и уехал), а основное тело пружины ещё покоится? И для каких же параметров пружины так происходит? Обнародуйте. Насколько я помню колебания груза на пружине являются гармоническими (в рамках закона Гука), но левые ваши графики на синусоиду совсем не похожи, ни фронтами, ни полкой. Значит закон Гука у вас явно нарушился. Расскажите почему.

[sergey zhukov]

Dmitriy40
Я никакой скорости нигде не задавал. Пружина с грузом на конце изначально сжата и покоится. Я отпускаю груз, дальше все идет само. Просто пружина массивная. Вот так массивная пружина с грузом на конце будет колебаться из такого начального состояния. Чтобы это все колебалось по синусу, нужны особые начальные условия.

Да, массивная пружина распрямляется последовательно, а не вся сразу. Это же и есть волна. Свободная массивная пружина из сжатого состояния начинает колебаться так, что ее свободный конец движется по пилообразной линии, а не по синусу.

[reterty]

sergey zhukov в сообщении #1622161 писал(а):

Пуля отрывается почти в точке, где пружина находится в полностью расслабленном состоянии. Только в общем случае пружина в таком состоянии никогда не бывает. Обычно она одновременно в одних местах сжата, в других - растянута. Т.е. состояние пружины не является просто функцией состояния ее концов.
Вот четыре случая, в которых масса пули растет слева направо. Красным показана сила, действующая на пулю. Горизонтальная линия - это длина пружины в свободном состоянии:


При большой массе пули отрыв действительно происходит на уровне горизонтальной линии. Здесь скорость расширения пружины мала, можно считать, что пружина постоянно находится в некотором равновесном состоянии. А при малой массе пули скорость расширения пружины велика, поэтому отрыв пули происходит выше горизонтали. Эффект, впрочем, слабый, но он есть.

То есть самое печальное не то, что пуля отрывается от пружины слегка раньше момента, когда пружина приобретет свою первоначальную длину, а то, что при существенной относительной массе пружины, последняя в этот момент будет обладать не только значительным запсом кинетической энергии но и значительным запасом энергии деформации. Другими словами, весомую пружину при наличии продольных упругих волн ну никак нельзя представлять однородно деформируемым, а тем более, абсолютно твердым телом.

-- Вт дек 12, 2023 23:38:09 --

А явная зависимость деформации пружины $u(x, t)$ давным-давно получена в работе http://materias.df.uba.ar/l1a2018c2/fil ... g_1984.pdf
При этом момент отрыва определяется равенством силы упругости на конце равным 0, т. е. $(\dfrac{\partial u}{\partial x})_{x=l})=0$, тогда как момент смены знака ускорения равенством $(\dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2})_{x=l}=0)$. Я уже молчу про то, что смена знака ускорения происходит не в момент когда $(u(x, t))_{x=l}=0$ то есть, когда пружина приобретает первоначальную длину.

[realeugene]

reterty в сообщении #1622189 писал(а):

При этом момент отрыва определяется равенством силы упругости на конце равным 0, т. е. $(\dfrac{\partial u}{\partial x})_{x=l})=0$, тогда как момент смены знака ускорения равенством $(\dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2})_{x=l}=0)$.

Разница будет только при учёте каких-то дополнительных действующих на пульку сил. Иначе $F=ma$.

[sergey zhukov]

reterty в сообщении #1622189 писал(а):

При этом момент отрыва определяется равенством силы упругости на конце равным 0, т. е. $(\dfrac{\partial u}{\partial x})_{x=l})=0$,

Это не условие нулевой силы между пружиной и пулей. Скажем, в дискретной модели это значит, что концы последней пружинки движутся с одинаковыми скоростями. Но это не значит, что она не сжата или не растянута.

[reterty]

sergey zhukov в сообщении #1622281 писал(а):

reterty в сообщении #1622189 писал(а):

При этом момент отрыва определяется равенством силы упругости на конце равным 0, т. е. $(\dfrac{\partial u}{\partial x})_{x=l})=0$,

Это не условие нулевой силы между пружиной и пулей. Скажем, в дискретной модели это значит, что концы последней пружинки движутся с одинаковыми скоростями. Но это не значит, что она не сжата или не растянута.

$u$ это не скорость , это упругое смещение точки недеформированной пружины с координатой $x$ в момент времени $t$. Соответственно, $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ есть относительная деформация в точке $x$ которой, по закону Гука, пропорциональна сила упругости, действующая в том же сечении

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1622281 писал(а):

Скажем, в дискретной модели это значит, что концы последней пружинки движутся с одинаковыми скоростями. Но это не значит, что она не сжата или не растянута.

Т.е. закон Гука Вы отменили, ага. Раз между ними не действует сила (относительная скорость не меняется), а пружинка сжата или растянута. Что собственно видно и на Ваших графиках, закон Гука там тоже отсутствует, особенно на левом, но вообще говоря в некоторых моментах на всех. К графикам вообще много вопросов. У меня при моделировании графики получаются совсем другие (правда в их полной корректности я не уверен).

[sergey zhukov]

reterty
А, ну понятно тогда. Да, условие отрыва - это $\frac{\partial u}{\partial x}_{x=l}=0$. А вот условие $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}_{x=l}$ - это нечто другое. Это условие напрямую к ускорению конца пружины отношения не имеет.

Dmitriy40
Да не, там на картинках выше все правильно. А у вас что получается?

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1622305 писал(а):

Да не, там на картинках выше все правильно.

Ну если считаете что закон Гука вам не указ и сжатая/растянутая пружинка не действует силой на точки креплений концов, то ок, можно это назвать и правильным. Впрочем это и не единственный вопрос к графикам.

sergey zhukov в сообщении #1622305 писал(а):

А у вас что получается?

Баланс энергий не сходится когда масс с пружинками больше одной. И никакого общего единого периода колебаний нет, колебания вообще странные (хотя локально и очень похожи на правду). С одной же массой на пружинке всё ок, гармоническое как и должно быть.

[reterty]

Dmitriy40 в сообщении #1622306 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1622305 писал(а):

Да не, там на картинках выше все правильно.

Ну если считаете что закон Гука вам не указ и сжатая/растянутая пружинка не действует силой на точки креплений концов, то ок, можно это назвать и правильным. Впрочем это и не единственный вопрос к графикам.

sergey zhukov в сообщении #1622305 писал(а):

А у вас что получается?

Баланс энергий не сходится когда масс с пружинками больше одной. И никакого общего единого периода колебаний нет, колебания вообще странные (хотя локально и очень похожи на правду). С одной же массой на пружинке всё ок, гармоническое как и должно быть.

Абсолютно верно! это квазипериодические колебания с несоизмеримыми (не кратными) частотами.

[sergey zhukov]

Dmitriy40 в сообщении #1622306 писал(а):

сжатая/растянутая пружинка не действует силой на точки креплений концов,

Действует, конечно. Только на эти же точки концов и внешние пружины действуют, не только внутренняя. Так что силы, действующие на концы, могут быть и уравновешены.

Баланс энергий должен сходится. Вообще, численный расчет очень простой. Нужно только аккуратно считать. Скажем, при расчете следующего временного слоя нужно использовать данные (положения, скорости грузиков) только с предыдущего временного слоя, не пытаться использовать в этом слое же уже посчитанные данные с этого же слоя. Следить за тем, что сила действия $i$ ого грузика на $i+1$-ый в момент $t$ всегда равна обратной силе.

Можно посчитать КПД этого пистолета:

Это график конечной энергии пули. По горизонтали отложена масса пули (масса пружины равна 50). Красным отмечена полная энергия пружины (теоретический предел для энергии пули). Видно, что легкие пули забирают мало энергии, а более тяжелые - больше. Когда масса пули равна массе пружины, КПД пистолета порядка 70%. Теоретически КПД пистолета стремится к 100%, если пулю делать все тяжелее.

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1622308 писал(а):

Действует, конечно. Только на эти же точки концов и внешние пружины действуют, не только внутренняя. Так что силы, действующие на концы, могут быть и уравновешены.

И однако на левом графике самый внешний конец у вас не разгоняется (и не тормозится) относительно предыдущего после краткого начального интервала. Но ведь снаружи на него ничего не действует, пружинка только изнутри, а зависнуть в положении равновесия она не может из соображений инерции и закона сохранения энергии. С внутренними массами всё сложнее, да, но на графиках проблемы и с самой внешней массой.

reterty в сообщении #1622307 писал(а):

Абсолютно верно! это квазипериодические колебания с несоизмеримыми (не кратными) частотами.

Верно-то верно, только отрыв невесомой пульки происходит задолго до положения равновесия: при изначально сжатой вдвое пружине конец начинает тормозиться уже при прохождении сжатия от 1.1 раза для двух масс до 1.3 раза для 20 масс. При этом из 20 масс начали двигаться лишь 5 крайних, а последняя уже тормозится. И это 45% времени до полной остановки конца (при которой сдвинулись же лишь 6 масс из 20!). Ну и скорость отрыва всегда разная. Локально везде вроде похоже на правду, но поведение ненатуральное. Да ещё и энергия не сохраняется.

[sergey zhukov]

Dmitriy40 в сообщении #1622311 писал(а):

И однако на левом графике самый внешний конец у вас не разгоняется (и не тормозится) относительно предыдущего

Это почему же? График силы показывает, что последний грузик разгоняется относительно предыдущего до самой точки отрыва. Только очень слабо разгоняется, сила очень мала, на глаз незаметно. Не совсем там прямая, больше похоже на гиперболу. А вот в теоретическом непрерывном пределе там будет прямая точно.
И потом, масса пули на первом рисунке в пять раз больше массы каждого грузика пружины, поэтому это не совсем свободная пружина на первом рисунке.

-- 13.12.2023, 23:06 --

Dmitriy40 в сообщении #1622311 писал(а):

Да ещё и энергия не сохраняется

Вероятно, вы пытаетесь двигать грузики последовательно. Так нельзя. Нужно двигать их все одновременно.

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1622315 писал(а):

Только очень слабо разгоняется, сила очень мала, на глаз незаметно.

Раз сила мала, значит мало смещение пружинки от положения равновесия. Т.е. сначала смещение было большим, сила большой, разгонялось сильно, потом, при приближении к положению равновесия сила убыла почти до нуля, это всё ок. Но куда девалась скорость конца? Относительно предыдущей массы? Его же пружинка разгоняла, относительно предыдущей массы. Но около положения равновесия почему-то масса затормозилась и никуда уже не летит (в СО предыдущей массы). Вообще, в СО (не ИСО) предпоследней массы колебание последнего должно быть гармоническим вплоть до момента отрыва, по крайней мере на временах больше прохождения волны по последней пружинке (которое считаем нулевым). А у вас оно совсем не гармоническое, масса на конце пружинки дошла почти до положения равновесия и практически застыла, пока её не стали тянуть назад. Т.е. инерцию отменили ... Впечатление что вы учли лишь силу, но не накопленную скорость. Может конечно так и надо, но как-то это очень странно.

-- 13.12.2023, 22:32 --

sergey zhukov в сообщении #1622315 писал(а):

И потом, масса пули на первом рисунке в пять раз больше массы каждого грузика пружины, поэтому это не совсем свободная пружина на первом рисунке.

ВОТ БЛИН!! Так в этом наверное всё и дело! А ведь сами писали:

sergey zhukov в сообщении #1622005 писал(а):

Первая картинка - пружина сама по себе без пули (холостой выстрел).

-- 13.12.2023, 22:46 --

Впрочем всех вопросов к рисункам это всё равно не снимает. Даже к остальным трём.