Сколько углов в полукруге?

[EUgeneUS]

Знакомый рассказал забавную историю.

Итак: сколько углов в полукруге?
1. Вопрос прозвучал на одной из олимпиад в этом году.
2. Вопрос был в этом году, поэтому на сайте этой олимпиады эти задания ещё не выложили.
3. Но тур, где был этот вопрос уже прошёл.

Обсудить предлагается не вопрос, а ответ

Понятно, что ответ зависит от определения - что такое угол.
В качестве определения (насколько понимаю) нужно взять определение из школьного курса геометрии.
Что-то типа такого:

Цитата:

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла)

Согласно определению, в точках конца диаметра углов нет. Так как там пересекается диаметр (сойдет за один луч), и окружность, которая лучом не является.

И вроде как углов у полукруга нет. Ответ - ноль углов.

Но этот ответ не был засчитан за верный.
Аргументация "проверяющих" была такой - окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от центра. А значит у полукруга есть два луча, выходящих из центра. А значит есть один угол с вершиной в центре.
На мой взгляд, такая аргументация натянута, как сова на глобус. Как минимум потому, что развернутые угла за углы фигур считать как бы не принято.

Но может быть я не прав, и данная аргументация и есть верная?

[Dmitriy40]

А если за угол считать точки разрыва первой производной, то углов будет два. По моему более логично.

Да и с лучами, а почему тогда угол один, а не континуум? Точек-то начала лучей на диаметре может быть континуум ... И для лучей привязки к окружности нет. Фиговый какой-то ответ.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1620977 писал(а):

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами

При таком определении, очевидно, ни одного, независимо от того, учитывать ли развернутый угол. Потому что полукруг (с диаметром или без) ограничен, а лучи нет.
У треугольника, правда, по такому определению тоже $0$ углов.

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1620978 писал(а):

Да и с лучами, а почему тогда угол один, а не континуум?

Якобы, выделенная точка - одна, центр окружности

Dmitriy40 в сообщении #1620978 писал(а):

Фиговый какой-то ответ.

С этим согласен

-- 04.12.2023, 21:03 --

mihaild в сообщении #1620980 писал(а):

У треугольника, правда, по такому определению тоже $0$ углов.

Так-то, да. Я в обсуждении со знакомым обратил на это внимание.
Аргументация такая: отрезок от вершины угла можно всегда продолжить лучом, поэтому угол между двумя отрезками засчитывается за угол

-- 04.12.2023, 21:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1620978 писал(а):

А если за угол считать точки разрыва первой производной, то углов будет два. По моему более логично.

На мой взгляд - это единственный вменяемый способ подсчета углов. Но сильно сложный для школьников, тем более не выпускных классов, которые школьную геометрию уже прошли, а начала анализа - ещё нет.

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1620982 писал(а):

Якобы, выделенная точка - одна, центр окружности

Она выделена для окружности/круга, но не для лучей по диаметру. Так что не согласен.

EUgeneUS в сообщении #1620982 писал(а):

На мой взгляд - это единственный вменяемый способ подсчета углов. Но сильно сложный для школьников, тем более не выпускных классов, которые школьную геометрию уже прошли, а начала анализа - ещё нет.

Ну через производную сформулировать проще, мне, а так то можно и несовпадение касательных слева и справа взять, что то же самое, и вполне доступно школьникам (даже если односторонние пределы и ещё не проходили на уроках). Да, понятие из анализа, но вполне интуитивное, как и немалая часть школьной геометрии, так что ничего сверхнеобычного.

PS. Добавлю: такие вопросы уместны на устном собеседовании, когда можно (и нужно) попросить аргументировать любой свой ответ и засчитывать скорее не сам ответ, а его аргументацию (лучше учить думать, пусть даже не всегда правильно, чем зазубривать). Но в тестах, без аргументации, только ответ ... Неразумно.

(Оффтоп)

PPS. Случай из личной жизни. При поступлении в тогда ещё 9-й класс было собеседование и дали вопрос: нарисовали от руки параболу с осями и спросили про знаки всех трёх коэффициентов в её уравнении. Ну перед квадратом и свободным членом понятно, а вот у линейного ... Это сейчас я понимаю как надо преобразовать уравнение чтобы всё стало видно, а тогда промямлил что-то про то что остался один параметр и значит именно он отвечает за оставшееся смещение графика. Ответ засчитали. Я даже не помню правильным ли он был (может и нет), главное что смог его обосновать, причём не отсылкой к определению, а самостоятельно придумав логическую цепочку.
Но видимо преподы были опытны и тут же дали другой вопрос, именно на знание определений и формул: посчитать $\sin 15°$. Сидел минут 20, ничего не придумал, чего только не перепробовал. А формулу тупо не вспомнил.
В итоге получил трояк, но сдал. Как потом сказал один из преподов родителям, "знаний недостаточно, но мыслит правильно". И видимо последнее посчитали более важным. И теперь я с ними согласен, лучше учить думать, хоть прямо с яслей.

[Mihr]

Вспомнился вопрос из "Ералаша":
- А при какой температуре кипит прямой угол?!
(Актёр Саша Лойе).
А что, чем не вопрос? По мне, примерно такой же степени осмысленности.

-- 04.12.2023, 22:15 --

Ежели кто вдруг не видел: https://www.youtube.com/watch?v=QtchJV9eLDA

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1620982 писал(а):

Аргументация такая: отрезок от вершины угла можно всегда продолжить лучом, поэтому угол между двумя отрезками засчитывается за угол

Но тогда, можно от любой точки на ребре продолжить лучами... - континуум углов у треугольника.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1620977 писал(а):

сколько углов в полукруге?

Вопрос : сколько углов в четверти круга? - вызвал бы меньше непоняток.
Потому что сразу видно один угол.

[Mihr]

Лукомор в сообщении #1620993 писал(а):

сразу видно

Дело не в том, что "сразу видно". А в том, что в исходной формулировке вопрос полностью бессмыслен. Что значит "сколько"? Сколько явно обозначено? Или сколько можно выделить? Это совершенно разные вопросы.
Вот есть некоторая плоскость, на которой пока ничего дополнительно не задано. Сколько на ней углов? Ноль - в первом смысле. Континуум - во втором. И какой ответ здесь "правильный"?
Но то плоскость. А с полукругом сложнее. Как замечает EUgeneUS, ответ зависит ещё и от того, что понимать под углом.
Мне кажется, и это ещё не всё. Ответ зависит ещё и от того, что понимать под полукругом. А именно, рассматриваем ли мы полукруг как частный случай сектора или как частный случай сегмента. В первом случае есть тот пресловутый развёрнутый угол, во втором - нет.
Так что по сути вопрос означает: сколько углов видит в полукруге автор этого вопроса? И, по-моему, правильный ответ на него: а кому это интересно?

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1620988 писал(а):

Но тогда, можно от любой точки на ребре продолжить лучами... - континуум углов у треугольника.

Так-то оно так, и даже приводил сам этот пример.
Отсюда видно, что развернутые углы в фигурах не считаются.
И опять возвращаемся к стартовому вопросу - а если развернутые углы не считаются в фигурах, то насколько обоснованно считать развернутый угол в полукруге? Причем только один, а не континуум.

-- 05.12.2023, 07:46 --

Лукомор в сообщении #1620993 писал(а):

Вопрос : сколько углов в четверти круга? - вызвал бы меньше непоняток.
Потому что сразу видно один угол.

Вы намекаете, что развернутый центральный угол в полукруге считать таки нужно?

-- 05.12.2023, 07:48 --

Mihr в сообщении #1621000 писал(а):

Так что по сути вопрос означает: сколько углов видит в полукруге автор этого вопроса?

Правильно ли я понял Вашу мысль:
1. Если на чертеже в вопросе указана\отмечена точка центра окружности, то центральный угол считать нужно.
2. А если на чертеже в вопросе не указана\отмечена точка центра окружности, то центральный угол считать не нужно.
3. А если чертежа нет, то см:

Mihr в сообщении #1621000 писал(а):

И, по-моему, правильный ответ на него: а кому это интересно?

[Gagarin1968]

А можно рассуждать и так.
Я вижу 3 угла: один вышеупомянутый развёрнутый и два угла с вершинами в концах диаметра — углы между диаметром и окружностью.
Поскольку угол между кривыми определяется как угол между касательными к этим кривым в точке пересечения, то всего имеем один развёрнутый и два прямых угла.
Может быть организаторы олимпиады именно это имели в виду?

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1621001 писал(а):

Правильно ли я понял Вашу мысль:

Правильно. При дополнительном предположении, что углом в контексте данного вопроса называются два отрезка с одним общим концом, не имеющие общих внутренних точек.

-- 05.12.2023, 08:49 --

Gagarin1968 в сообщении #1621002 писал(а):

Поскольку угол между кривыми определяется как угол между касательными к этим кривым в точке пересечения

Он так определяется в вузе. Школьник не обязан знать этого определения.

[Gagarin1968]

Mihr в сообщении #1621003 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1621002 писал(а):

Поскольку угол между кривыми определяется как угол между касательными к этим кривым в точке пересечения

Он так определяется в вузе. Школьник не обязан знать этого определения.

Ну почему же?
Школьники-олимпиадники должны знать много чего сверх обязательной школьной программы.

[Mihr]

Gagarin1968 в сообщении #1621004 писал(а):

Школьники-олимпиадники должны знать много чего сверх обязательной школьной программы.

Кому должны? И что именно должны? Знать определения касательной и угла между кривыми в точке их пересечения? Весьма сомнительно.
Есть традиционные темы олимпиадной математики, встречи с которыми можно ожидать при решении олимпиадных задач: использование раскраски, инвариантов, принципа Дирихле, метода полной математической индукции... Но стандартные вопросы курса матанализа - это явно из совершенно "другой оперы".

[Combat Zone]

Вряд ли это олимпиадная задача. Особенно судя по тому, что эта загадка (даже задачей не назовешь) буквально завирусилась на днях, и истоки активности, похоже, не в рунете. Вбейте название темы в любой поисковик, будет видно по датам.
Конец ноября 2023 Тут, кстати, по страничке учебника, можно оценить сложность аппарата, который предполагается использовать.