Фейнман. Опыт с пулеметной стрельбой.

[kzv]

А откуда это получается?

manul91 в сообщении #1618898 писал(а):

Но в окрестности точки попадания Q имеем
(2) $ds = \cos(\alpha)dx$

[EUgeneUS]

kzv в сообщении #1618912 писал(а):

А откуда это получается?

Видимо, Вам без чертежа не разобраться.
Но Вы его сами нарисуйте, хорошо?

[kzv]

EUgeneUS в сообщении #1618926 писал(а):

kzv в сообщении #1618912 писал(а):

А откуда это получается?

Видимо, Вам без чертежа не разобраться.
Но Вы его сами нарисуйте, хорошо?

Хорошо.
Такой чертеж?


Тогда остался последний вопрос: чему равен предел:

$$\lim\limits_{\alpha\to\frac{\pi}{2}}dx=?$$

[sergey zhukov]

kzv
Вам нужно знать, чему равно отношение $dx$ к сегменту круга в угле $d\alpha$ в зависимости от $\alpha$. Все пули, которые равномерно распределены на сегменте круга в угле $d\alpha$, лягут на $dx$, но площадь/длина $dx$ больше, чем у сегмента круга в угле $d\alpha$. А этот ваш предел просто вообще непонятно что означает.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618959 писал(а):

kzv
Вам нужно знать, чему равно отношение $dx$ к сегменту круга в угле $d\alpha$ в зависимости от $\alpha$. Все пули, которые равномерно распределены на сегменте круга в угле $d\alpha$, лягут на $dx$, но площадь/длина $dx$ больше, чем у сегмента круга в угле $d\alpha$. А этот ваш предел просто вообще непонятно что означает.

Спасибо, с этим я разобрался. Действительно распределение получается горбатым на прямой оси из-за того, что $dx>ds$. Сейчас я уже хочу разобраться в том, какая точная математическая формула описывает зависимость вероятности от координаты $x$. Как эту формулу вывести?

[sergey zhukov]

Так ведь manul91 уже все вывел. Там все понятно.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618962 писал(а):

Так ведь manul91 уже все вывел. Там все понятно.

Мне непонятно.
Вот тут

manul91 в сообщении #1618898 писал(а):

$P= \frac{l}{\pi(l^2 + x^2)}dx$

чему равна величина $dx$?
Сначала я подумал, что manul91 просто опечатался, когда слева не написал знак дифференциала. Но, как видно, опечатки нет. Потому что $dx$ - это не бесконечно малая величина.

[sergey zhukov]

kzv
Так читайте, что EUgeneUS дальше писал.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618967 писал(а):

kzv
Так читайте, что EUgeneUS дальше писал.

Прочитал конечно. Попросили сделать чертеж, я сделал.
Еще раз: если чертеж правильный, то $dx$ в формулах у manul91 и EUgeneUS - это не бесконечно малая величина. Значит manul91 все правильно написал для конечных величин, а EUgeneUS чуть менее чем полностью неправильно.

[sergey zhukov]

kzv
$dx$ - это бесконечно малая величина. Причем все здесь отвечающие именно так считают, и понимают ее одинаково.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618972 писал(а):

kzv
$dx$ - это бесконечно малая величина. Причем все здесь отвечающие именно так считают, и понимают ее одинаково.

Как она может быть бесконечно малой, если стремится к бесконечности при угле $\frac{\pi}{2}$?

[sergey zhukov]

Все, что вам нужно знать про $dx$, это связь $dx$ и $ds$:

manul91 в сообщении #1618898 писал(а):

Но в окрестности точки попадания Q имеем
(2) $ds = \cos(\alpha)dx = \frac{l}{r}dx$,

$dx$ и $ds$ - бесконечно малые. Точно.

[kzv]

sergey zhukov в сообщении #1618975 писал(а):

$dx$ и $ds$ - бесконечно малые. Точно.

Простая логика: мы разбиваем окружность на равные отрезки $ds$, если косинус изменяется, то отрезки $dx$ - точно не равные. Если косинус стремится к нулю, то

$$dx=\frac{ds}{\cos\alpha}\to\infty$$

В конце концов, я хочу это дело применить к компьютерной программе и там нет бесконечно малых. Как найти $P(x)$ где $ds$ - конечная, пусть очень малая, величина? Нужно знать чему равно $dx(x)$ тогда.

[sergey zhukov]

kzv
Компьютерная программа, если она занимается численныи интегрированием, имеет дело только с конечными малыми величинами. Если разделить круг на равные $\Delta s$, то при $\alpha=\frac{\pi}{2}$ вам придется считать, что последний конечный отрезок $\Delta s$ соответствует бесконечному отрезку $\Delta x$, который начинается с некоторого $x$ и уходит в бесконечность. Ну и что в этом страшного? Если пули из конечного $\Delta s$ рассеются по этому бесконечному $\Delta x$, то вероятность попадания в любую точку за пределами $x$ просто нулевая.

Вы можете и наоборот сделать: разделить $x$ на равные $\Delta x$, и для каждой из них вычислить свою $\Delta s$. Тогда нет проблем с бесконечностью.

Только нет смысла заниматься численным интегрированием, ведь у вас уже есть точная формула плотности вероятности. Вы можете точно вычислить вероятность попадания пули в любой отрезок экрана $\Delta x$. Еще раз напомню, что вероятность попадания в любую точку экрана нулевая. Можно говорить только о вероятности попасть в какой-то отрезок $\Delta x$. А в каждой точке экрана определена плотность вероятности. Это такая величина, что если проинтегрировать ее по некоторому отрезку, то получим вероятность попасть в этот отрезок.

Когда говорят про непрерывную случайную величину, то всегда говорят так "Вероятность того, что случайная величина примет значение в пределах от $x$ до $x+dx$ равна $p(x)dx$, где $p(x)$ - плотность вероятности в точке $x$"

[manul91]

kzv в сообщении #1618964 писал(а):

Сначала я подумал, что manul91 просто опечатался, когда слева не написал знак дифференциала. Но, как видно, опечатки нет.

Нет, опечаток есть - в обозначении $P$ везде у меня вместо $P$, должно было стоять $dP$.
Как EUgeneUS правильно заметил, нельзя чтобы в равенстве с одной стороны было умножение на d-чего-то там, а с другой стороны d не было бы.
В общем то это и понятно с самого начала, где я писал для полуокружности $P=kd\alpha$.
Очевидно должно быть $dP = kd\alpha$; здесь $\frac{dP}{d\alpha}$ это просто равномерная плотность вероятности $k=\frac{1}{\pi}$ на полуокружности.
Функция распределения $P(\alpha)$ в данном случае (вероятность, что угол отклонения будет меньше $\alpha$), будет $P(\alpha) = k\alpha + \frac{1}{2}$; но она неинтересна.