Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[EminentVictorians]

epros, Вы меня поймите пожалуйста правильно.
Очевидно, что наше недопонимание связано не конкретно с действительными или комплексными числами, а упирается в какие-то гораздо более фундаментальные вещи. Я как бы трезво себя оцениваю, и, разумеется, я не буду как-то пытаться Вас переубеждать и все такое - Вы явно более компетентный человек, чем я. Но мне реально интересна та фундаментальная база, на которую Вы опираетесь. Просто с этими комплексными числами повод удачный выдался - они хороши как демонстрационный пример.

Я поэтому и спрашиваю про эту теорему Кантора-Бенедиксона. Если Вы определили действительные числа как формальную теорию - ну да, у Вас будут значки $+, \cdot, <$ - это все понятно. Но как Вы будете формулировать обороты типа "всякое несчетное подмножество $M$"? У Вас же нету ни теории множеств, ни квантификации второго порядка. Просто скажете, что эта теорема не о действительных числах и все? Потому что других вариантов я не вижу.

[tolstopuz]

В русской вики есть ссылка: Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.

Там на стр. 164-168 даются 17 аксиом теории комплексных чисел в виде четырех групп, практически совпадающих с четырьмя аксиомами ТС. Минимальность определяется так:

Цитата:

$C_{XVII}$ (аксиома минимальности). Любое подмножество $M$ множества $C$ совпадает с $C$, если оно удовлетворяет следующим четырем условиям:
а) $R\subset M$;
б) $i\in M$;
в) $\forall (a,b\in M)\;a+b\in M$;
г) $\forall (a,b\in M)\;a\cdot b\in M$.

После этого первым делом доказывают, что из $a+bi=a_1+b_1i$ следует $a=a_1$ и $b=b_1$ - как я не раз указывал, доказывается это просто, но упомянуть об этом абсолютно необходимо. Потом из аксиомы минимальности делают вывод, что формы $a+bi$ достаточно для всех комплексных чисел.
Потом доказывают категоричность и непротиворечивость. И непротиворечивость доказывается через построение модели на $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, где сложение и умножение постулируются.

Если внести в план ТС все исправления, о которых ему говорили, примерно такая конструкция и получится. Но зачем это все студентам?

[epros]

mihaild в сообщении #1604604 писал(а):

epros в сообщении #1604603 писал(а):

Хорошо, а как именно уточнять?

Например сказать, что наше поле изоморфно подполю любого поля, удовлетворяющего 1-3. Или что у него минимальная мощность среди всех полей, удовлетворяющих 1-3.

А мне думается, что достаточно вот в это Ваше определение:

mihaild в сообщении #1604579 писал(а):

определения $\mathbb C$ как минимального поля, содержащего $\mathbb R$, в котором уравнение $x^2 + 1 = 0$ разрешимо

добавить слово "топологическое". Вот так:
$\mathbb C$ - это минимальное топологическое поле, содержащее $\mathbb R$, в котором уравнение $x^2 + 1 = 0$ разрешимо.

Ибо:

mihaild в сообщении #1604579 писал(а):

У $\mathbb C$ как поля куча нетривиальных эндоморфизмов. У $\mathbb C$ как топологического поля - нет.

Тогда при построении $K$ Вам придётся включить в него $(\pi,0)$, ибо последовательность пар $(x_n,0)$, где $x_n \in \mathbb{Q}$ и $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \pi$, по заданной топологии $\mathbb{R}+i\mathbb{R}$ обязана сходиться к $(\pi,0)$ и ничему иному.

-- Чт авг 10, 2023 10:31:58 --

EminentVictorians в сообщении #1604609 писал(а):

Я поэтому и спрашиваю про эту теорему Кантора-Бенедиксона. Если Вы определили действительные числа как формальную теорию - ну да, у Вас будут значки $+, \cdot, <$ - это все понятно. Но как Вы будете формулировать обороты типа "всякое несчетное подмножество $M$"? У Вас же нету ни теории множеств, ни квантификации второго порядка. Просто скажете, что эта теорема не о действительных числах и все? Потому что других вариантов я не вижу.

Мне неохота сейчас разбираться, может быть это и метатеорема, такое бывает. А может быть и нет, и обороты про "несчётное подмножество" просто нужно расшифровать соответствующими аксиомами.

[mihaild]

epros в сообщении #1604682 писал(а):

добавить слово "топологическое".

Так тоже можно. Или зафиксировать конкретное подполе, изоморфное $\mathbb R$ и рассмотреть минимальное подполе, содержащее его и $i$. Второй вариант мне даже кажется более естественным, потому что еще вводить топологию в структуру, которую можно изучать чисто алгебраически, не очень хочется.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604682 писал(а):

может быть это и метатеорема, такое бывает.

Я понял Ваш подход. Вообще, конечно, по уровню формализма я тихо курю в стороне)) Но было интересно, спасибо.

[vicvolf]

Хочу для себя кратко сформулировать итоги затянувшегося обсуждения.

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Можно ли комплексное число умножать на действительное?

EminentVictorians в сообщении #1603950 писал(а):

на таком уровне рассмотрения - нет.

Хотя известно, что можно. Значит одна из аксиом неправильна. Это было ясно с самого начала обсуждения. Проблема была в нахождении неправильной аксиомы.

epros в сообщении #1603990 писал(а):

Скажите, разве из

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

2)Содержащее мнимую единицу,

следует, что любое его подмножество должно содержать мнимую единицу?

Противоречие. Оно следует из 2 и 4 аксиом. 2-ая аксиома верна. Следовательно, проблема с формулировкой 4 аксиомы.

KhAl в сообщении #1604134 писал(а):

Alexey Rodionov у меня тут вопрос возник. а что значит слово "минимальное" в вашем определении C? это важно.

Хороший вопрос, уточняющий ошибку в формулировке 4 аксиомы.

KhAl в сообщении #1604290 писал(а):

Цитата:

Тут нам аксиома 4 в помощь

Аксиома 4 это нонсенс. Любое континуальное поле, удовлетворяющее аксиомам 1-3, вкладывается (так, что образ -- собственное подмножество) в любое другое такое поле, так что минимальности быть не может.

Да, минимальность тут не при чем. Минимальное поле - это поле, не содержащее собственных подполей. Минимальным числовым полем является поле рациональных чисел. Поэтому этот термин не надо использовать с полями, так как у него другое значение. Здесь "минимальность" имеет другой смысл, что у поля $C$ нет подполя, удовлетворяющего аксиомам 1-3. Но в такой формулировке ...

mihaild в сообщении #1604602 писал(а):

Нет, я утверждаю, что в аксиоматизации ТС нужно уточнять четвертый пункт, потому что если его наивно сформулировать как "не содержащее собственных подполей, отвечающих аксиомам 1-3", то получившаяся система будет противоречива (ну точнее несовместна с аксиомой выбора).

[epros]

(Оффтоп)

Что, будем теперь обсуждать неверные интерпретации того, что было написано в теме? Я, конечно, могу привести собственную интерпретацию, но, по-моему, желающему её услышать надо просто внимательно перечитать тему.

[Alexey Rodionov]

У меня промежуточный итог почти такой же. С той лишь разницей, что действительное число на комплексное умножать нельзя, если не «отождествить» с ним числа подполя изоморфного полю $R$(чистаканкретна полю, а не топологическому полю). Среди нескольких ветвей дискусии мне показалась интересной указанная возможность выделить в каждом комплексном числе действительную и мнимую части, то есть обязательно включить в С числа вида $a+ ib$ . По-видимому, они сформируют поле, удовлетворящее 1-3. Исключить из него ничего нельзя и в этом смысле оно минимально. Ничто не мешает на этом поле определить норму. Если все так, то теряет смысл, но не прелесть работа кружка «Моделист-констриктор».

[ozheredov]

(Alexey Rodionov)

Alexey Rodionov в сообщении #1604820 писал(а):

«Моделист-констриктор»

Замечательная оговорка (constriction = сужение).

[EminentVictorians]

Alexey Rodionov в сообщении #1604820 писал(а):

то есть обязательно включить в С числа вида $a+ ib$ .

Alexey Rodionov, Что такое "$+$" в этой цитате?

[epros]

Alexey Rodionov в сообщении #1604820 писал(а):

У меня промежуточный итог почти такой же. С той лишь разницей, что действительное число на комплексное умножать нельзя, если не «отождествить» с ним числа подполя изоморфного полю $R$

Странный у Вас итог. Умножать действительные числа на любое комплексное можно, потому что они составляют подполе в силу аксиоматики. Ничего больше "отождествлять" не требуется, хотя Вы и использовали в аксиоматике слово "изоморфное". Потому что с точки зрения аксиоматики изоморфизм с действительными числами - это те же действительные числа, только раскрашенные в другой цвет (т.е. в другой модели).

Alexey Rodionov в сообщении #1604820 писал(а):

обязательно включить в С числа вида $a+ ib$ . По-видимому, они сформируют поле, удовлетворящее 1-3. Исключить из него ничего нельзя и в этом смысле оно минимально.

Вот из Вашей формулировки аксиоматики, как выяснилось в ходе обсуждения, как раз не следует, что построить минимальное поле возможно. Надо в аксиоматике либо уточнить, что поле топологическое, либо как-то оговорить, что при построении подполей нужно обязательно брать одно и то же (одним и тем же образом упорядоченное) подполе действительных чисел. Последнее я, правда, не знаю как сделать.

Alexey Rodionov в сообщении #1604820 писал(а):

Ничто не мешает на этом поле определить норму.

А попробуйте.

[mihaild]

epros в сообщении #1604861 писал(а):

Умножать действительные числа на любое комплексное можно, потому что они составляют подполе в силу аксиоматики

Не составляют они подполя. Они изоморфны подполю. Причем не одному, так что для умножения на них нужно зафиксировать изоморфизм.

epros в сообщении #1604861 писал(а):

либо как-то оговорить, что при построении подполей нужно обязательно брать одно и то же (одним и тем же образом упорядоченное) подполе действительных чисел

Достаточно просто одно и то же как множество.

-- 11.08.2023, 16:36 --

Вообще, кажется, надо просто определять комплексные числа как набор $(X, \textcolor{green}{Y}, +_X, \cdot_X)$, где $(X, +_X, \cdot_X)$ - поле, $Y \subset X$ - его подполе, причем:
2) уравнение $x^2 +_X 1_X = 0_X$ разрешимо в $X$
3) $Y$ изоморфно $\mathbb R$ как полю
4) если $Z \subseteq X$ - подполе $X$, такое что $Y \subseteq Z$, и $x^2 +_X 1_X = 0_X$ разрешимо в $Z$, то $Z = X$

Так определенные комплексные числа понятно как умножать на действительные.

[epros]

mihaild, по моим понятиям "действительные числа" определяются аксиоматой. Всё им изоморфное соответствует той же аксиоматике, значит тоже является действительными числами. Остальное, извиняюсь, не смогу прочитать и осмыслить наверное до завтра.

[EminentVictorians]

epros, а как у Вас определяется "подполе" и "изоморфны"?

Для меня 2 структуры изоморфны, если между их носителями существует изоморфизм. Носители - это множества. Изоморфизм - это функция (а значит тоже множество). Подполе - это тоже подмножество. А у Вас множеств нету. Значит у Вас все эти вещи определяются как-то иначе.

И еще у меня иногда складывается впечатление, что Вы смешиваете изоморфизм и элементарную эквивалентность.

[tolstopuz]

Alexey Rodionov в сообщении #1604820 писал(а):

Среди нескольких ветвей дискусии мне показалась интересной указанная возможность выделить в каждом комплексном числе действительную и мнимую части, то есть обязательно включить в С числа вида $a+ ib$ . По-видимому, они сформируют поле, удовлетворящее 1-3. Исключить из него ничего нельзя и в этом смысле оно минимально. Ничто не мешает на этом поле определить норму. Если все так, то теряет смысл, но не прелесть работа кружка «Моделист-констриктор».

Именно так. Вся ваша конструкция описана в "Числовых системах" Нечаева, может быть сделана полностью корректной, но практического смысла почти не имеет.