Выталкивающая сила, действующая на воздушный шар

[tehnolog]

add314 в сообщении #1599266 писал(а):

Тем более, что в условии задачи речь идёт именно про выталкивающую силу, а не результирующую подъёмную.

Согласен. Подъемная будет зависеть от высоты..

[add314]

tehnolog
Ну почему же? Тут в задаче на шар действуют всего две силы. Сила тяжести и выталкивающая. Раньше уже было отмечено, что сила тяжести постоянна, так как предполагается, что шар находится в однородном гравитационном поле ($g=\operatorname{const}$). И доказывается, что выталкивающая сила не зависит от высоты. Обе силы постоянны в этой модели. Как в итоге получается, что подъемная (результирующая этих сил) будет зависеть от высоты?

[tehnolog]

Придется расписать:

$$F_{usf} = \Delta \rho gV=\left(\frac{p_{Air} M_{Air}}{RT} - \frac{p_{Hel} M_{Hel}}{RT} \right)gV$$

$F_{usf}$ - полезная (подъемная) сила; $p_{Air}$, $p_{Hel}$ - текущие давления воздуха и гелия, соответственно; $M_{Air}$, $M_{Hel}$ - их молярные массы.
Атмосфера по условию задачи - изотермическая.
Тогда:

$$p_{Air} = p_{0_{Air}}\cdot \exp \left(-\frac{M_{Air} \cdot gh}{RT}\right) ;\quad p_{Hel}=p_{0_{Hel}}\cdot \exp \left(-\frac{M_{Hel} \cdot gh}{RT}\right)$$

$$p_{Hel}=p_{0_{Air}} (1+\beta)\cdot \exp \left(-\frac{M_{Hel}\cdot gh}{RT}\right)$$

Объем шарика:

$$V=\frac{p_{0_{Hel}} V_0}{p_{Hel}} = \frac{p_{0_{Air}} (1+\beta)\cdot V_0}{p_{0_{Air}} (1+\beta)\cdot\exp \left(-\frac{M_{Hel}\cdot gh}{RT}\right)} = \frac{V_0}{\exp \left(-\frac{M_{Hel}\cdot gh}{RT}\right)}$$

$$F_{usf}=\frac{g}{RT}\cdot\left(p_{0_{Air}} \cdot \exp \left(-\frac{M_{Air} \cdot gh}{RT}\right) \cdot M_{Air} - p_{0_{Air}} (1+\beta)\cdot \exp \left(-\frac{M_{Hel}\cdot gh}{RT}\right) \cdot M_{Hel} \right) \cdot \frac{V_0}{\exp \left(-\frac{M_{Hel}\cdot gh}{RT} \right) }$$

$$F_{usf}=\frac{p_{0_{Air}} V_0 g}{RT}\cdot \left(M_{Air}\cdot \exp \left(-\frac{g h}{RT}(M_{Air}-M_{Hel})\right) - (1+\beta)\cdot M_{Hel} \right)$$

Зависит от высоты - что и требовалось доказать...

[add314]

tehnolog в сообщении #1599283 писал(а):

$$F_{usf}=\frac{p_{0_{Air}} V_0}{RT}\cdot \left(M_{Air}\cdot \exp \left(-\frac{g h}{RT}(M_{Air}-M_{Hel})\right) - (1+\beta)\cdot M_{Hel} \right)$$

А что тут с размерностью? У меня Ньютоны не получаются.

[tehnolog]

С размерностью там нормально. Но я тупанул похоже...У нас же нет давления столба гелия... Бессонная ночь дала о себе знать Так что Ваши расчеты верны, мои нет. Сорри..