Пара простеньких задач из основ анализа

[basil-77]

ewert в сообщении #159438 писал(а):

формулировка безобразная: под п.1) должно было стоять просто $b'\in B$. И, кроме того, следовало предварительно сказать, что -- это именно множество верхних границ

принято

ewert в сообщении #159438 писал(а):

а Вы это вроде и забыли сделать.

упс...действительно забыл

Сам вариант решения, я так понимаю, тоже неверен? ((

[ewert]

Какого решения?
Если речь о доказательстве того, что $\inf (-A)\equiv-\sup A$, то я бы сказал так.

Пусть $B$ -- множество верхних граней для $A$, т.е. $b\in B\ \Longleftrightarrow\ b\geqslant x\ (\forall x\in A)$. Обозначим $(-A)\equiv\{-x\;|\;x\in A\}$, $(-B)\equiv\{-b\;|\;b\in B\}$, $b'\equiv\min B\equiv\sup A$. Тогда:

$b\in B \Longleftrightarrow\ b\geqslant x\ (\forall x\in A) \Longleftrightarrow\ -b\leqslant -x\ (\forall (-x)\in (-A))$.

Последнее означает, что $(-B)$ есть множество всех нижних граней для $(-A)$. При этом

$b'\in B,\ b'\leqslant b\ (\forall b\in B)\ \Longleftrightarrow\ (-b')\in (-B),\ -b'\geqslant -b\ (\forall(-b)\in(-B))\ \Longleftrightarrow$
$\Longleftrightarrow\ -b'=\max (-B)\equiv\inf (-A)$.

[basil-77]

ewert в сообщении #159497 писал(а):

то я бы сказал так

Да... все оказалось проще )). Спасибо за разъяснения, и, отдельно, за образец, как надо строить ответ.
Хочется добавить, что Ваше доказательство не будет выдано за мой (или чей бы то ни было еще) ответ, т.к. мне никому ничего сдавать не нужно, я занимаюсь (точнее начал ) исключительно для себя.
Переходим к следующей задаче

[basil-77]

Пусть $\{x+y\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x \in \{x\}$ и $y \in \{y\}$.
Доказать, что $\sup\{x+y\}=\sup\{x\}+\sup\{y\}$.

Обозначим
$X \equiv \{x\}$, $Y \equiv \{y\}$
$B_x$ - множество верхних граней для $X, b_x \in B_x, b_x\geqslant x \ (\forall x \in X)$
$b_x'=\sup(X) \Rightarrow b_x' \geqslant b_x (\forall b_x \in B_x)$
$B_y$ - множество верхних граней для $Y, b_y \in B_y, b_y\geqslant y \ (\forall y \in Y)$
$b_y'=\sup(Y) \Rightarrow b_y' \geqslant b_y \ (\forall b_y \in B_y)$

$b_x \geqslant x, b_y \geqslant y \Rightarrow b_x+b_y \geqslant x+y \Rightarrow \{b_x+b_y\}$ есть множество верхних граней для множества $\{x+y\}$

$b_x' \geqslant b_x, b_y' \geqslant b_y \Rightarrow b_x'+b_y' \geqslant b_x+b_y \Rightarrow \{b_x'+b_y'\} \equiv \max \{b_x+b_y\} \Rightarrow$
$\Rightarrow b_x'+b_y'=\sup\{x+y\} \Rightarrow \sup(X) + \sup(Y) = \sup\{x+y\}$

[ewert]

basil-77 писал(а):

$b_x'=\sup(X) \Rightarrow b_x' \geqslant b_x (\forall b_x \in B_x)$
$b_y'=\sup(Y) \Rightarrow b_y' \geqslant b_y \ (\forall b_y \in B_y)$

По две ошибки.

basil-77 писал(а):

$b_x \geqslant x, b_y \geqslant y \Rightarrow b_x+b_y \geqslant x+y \Rightarrow \{b_x+b_y\}$ есть множество верхних граней для множества $\{x+y\}$

Неверная логика: для второй стрелочки нужно, чтобы первая была двусторонней, а это не так.

[basil-77]

ewert в сообщении #159613 писал(а):

По две ошибки.

виноват, там естественно, "не больше или равно", а "меньше или равно" (не буду больше копипастить)... и, наверное, стрелочки двустороние.

ewert в сообщении #159613 писал(а):

Неверная логика: для второй стрелочки нужно, чтобы первая была двусторонней, а это не так.

не совсем уловил Вашу мысль... Я так понимаю, что говоря о двусторонеей стрелочке Вы имеете виду, что она как-то должна основываться на биекции (что для сложения не так)... но вот, почему из $b_x+b_y \geqslant x+y$ не может следовать, что $\{b_x+b_y\}$ есть множество верхних граней для множества $\{x+y\}$ не понял

[ewert]

basil-77 в сообщении #159617 писал(а):

виноват, там естественно, "не больше или равно", а "меньше или равно"

да

basil-77 в сообщении #159617 писал(а):

... и, наверное, стрелочки двустороние.

хотелось бы, да, двусторонние. Но тогда в правых утверждениях кое-чего не хватает.

[basil-77]

ewert в сообщении #159625 писал(а):

Но тогда в правых утверждениях кое-чего не хватает

того, что $b_x \in B_x, b_x\geqslant x \ (\forall x \in X)$, а $b_y \in B_y, b_y\geqslant y \ (\forall y \in Y)$ ?

[ewert]

нет, конечно, Вы же это уже оговорили заранее. А вот что про $b'_x$ надо добавить?

[basil-77]

ewert писал(а):

А вот что про $b'_x$ надо добавить?

случайно, не то, что $b_x' \in B_x$ ?

[ewert]

совершенно случайно -- да

[basil-77]

ewert в сообщении #159653 писал(а):

совершенно случайно -- да

моя невнимательность меня погубит...

ОК, с этим разобрались.
Переходим к следующей ошибке

basil-77 писал(а):

ewert в сообщении #159613 писал(а):

Неверная логика: для второй стрелочки нужно, чтобы первая была двусторонней, а это не так.

не совсем уловил Вашу мысль... Я так понимаю, что говоря о двусторонеей стрелочке Вы имеете виду, что она как-то должна основываться на биекции (что для сложения не так)... но вот, почему из $b_x+b_y \geqslant x+y$ не может следовать, что $\{b_x+b_y\}$ есть множество верхних граней для множества $\{x+y\}$ не понял

[ewert]

basil-77 писал(а):

... но вот, почему из $b_x+b_y \geqslant x+y$ не может следовать, что $\{b_x+b_y\}$ есть множество верхних граней для множества $\{x+y\}$ не понял

это-то да, но Вы ведь явно собираетесь ссылаться на то, что множество верхних граней для суммы есть сумма множеств верхних граней, а это не так просто. Вы фактически доказали только в одну сторону: что второе есть подмножество первого. А обратно?

На самом деле Вы двинулись в неудачную сторону. Тот факт, что супремумы складываются, проще доказать напрямую. Сумма супремумов, очевидно, является верхней гранью для суммы (просто потому, что любой супремум сам по себе -- это верхняя грань), и надо лишь доказать, что любое меньшее число верхней гранью уже не будет. А вот тут проще всего исходить из того, что супремум -- это точная верхняя грань, т.е. что

$(\forall\varepsilon>0)\ \exists x\in\{x\}:\ x>\sup\{x\}-\varepsilon$.

[basil-77]

ewert писал(а):

А вот тут проще всего исходить из того, что супремум -- это точная верхняя грань, т.е. что

$(\forall\varepsilon>0)\ \exists x\in\{x\}:\ x>\sup\{x\}-\varepsilon$.

т.е. что-то похожее на
$x>\sup\{x\}- \frac {\varepsilon} {2}$
$y>\sup\{y\}- \frac {\varepsilon} {2}$
$x+y>\sup\{x+y\}- \varepsilon$

[ewert]

Например, так. Только, во-первых, надо исправить откровенную ошибку в последней строчке. И, во-вторых, добавить несколько слов для логической связности.