Продолжаем ))
Архипов, Садовничий, Чубариков - Лекции по математическому анализу - лекция 6, пар.4 - Предельный переход в неравенствах
Утверждение 1.
Пусть

, тогда если для всякого

имеет место неравенство

или

, то
Доказательство
Из условия имеем, что

- бесконечно малая последовательность, причем

. Если допустить, что

, то тогда при

получим, что

-окрестность нуля вообще не содержит ни одной точки последовательности

. Это противоречит тому, что

- б.м.п. Значит,

,

, что и требовалось доказать.
В общем-то, ничего сложного,конечно, только вот никак не могу понять вот что: почему из того, что

следует, что при

-окрестность нуля вообще не содержит ни одной точки последовательности

. Ведь вроде бы получается, что дробь

положительна, охватывает окрестность нуля

, а

сходится к нулю?