Пара простеньких задач из основ анализа

[basil-77]

1. Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху имеет верхнюю грань.
а) имеется непустое числовое множество, ограниченное снизу.
по определению ограниченного снизу множества имеем

$$ \forall x \in X \Rightarrow x \leqslant a$$

а тогда $a$ и есть верхняя грань по определению.
б) аналогично.
Правильно? Или слишком просто?

2. Пусть $\{-x\}$ - множество чисел, противоположных числам $x\in \{x\}$. Доказать, что
а) $inf\{-x\}=-sup\{x\}$
б) $sup\{-x\}=-inf\{x\}$
Тут что-то не могу сообразить, как выразить..т..е интуитивно представляется, а вот как математически...

ps. сильно уж не пинайте, что такие элементарные вещи спрашиваю - во-первых, не студент-дневник, а во-вторых, первый раз Демидовича открыл...
и если никто не против, я тут в дальнейшем, еще поспрашиваю (по ходу дела)

[Владимир_Руб]

может в п.1 ставится вопрос о существовании sup и inf? а то и впрямь очень уж очевидно все...

[MGM]

Владимир_Руб писал(а):

может в п.1 ставится вопрос о существовании sup и inf? а то и впрямь очень уж очевидно все...

Это вроде определение?

[Владимир_Руб]

что определение?

[ewert]

basil-77 писал(а):

1. Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху имеет верхнюю грань.
а) имеется непустое числовое множество, ограниченное снизу.
по определению ограниченного снизу множества имеем

$$ \forall x \in X \Rightarrow x \leqslant a$$

а тогда $a$ и есть верхняя грань по определению.

то, что ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань -- тривиально и неинтересно. Интересно другое: имеет ли оно наибольшую нижнюю грань? ...

[gris]

Наверное, не просто нижнюю грань, а точную нижняя грань - то есть inf?

[Владимир_Руб]

basil-77 писал(а):

1. Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху имеет верхнюю грань.
а) имеется непустое числовое множество, ограниченное снизу.
по определению ограниченного снизу множества имеем

$$ \forall x \in X \Rightarrow x \leqslant a$$

а тогда $a$ и есть верхняя грань по определению.

вы не внимательны..

[basil-77]

Как вариант (подсмотрел у Фихтенгольца ) - для нижней грани
Имеем множество $A$ нижних граней.
Произведем сечение в области всех действительных чисел: имеем два класса: нижний $A_1$ и верхний $A_2$. К $A_1$ отнесем множество всех нижних граней, к $A_2$ - все остальные числа. Т.о. элементы исходного числового множества все попадут в верхний класс $A_2$.
Т.к. мы имеем сечение, то существует некоторые число $m$, производящее сечение: $\forall a_1 \in A_1 m \leqslant a_1$ и $\forall a_2 \in A_1 m \geqslant a_2 \Rightarrow \forall x \in X m \leqslant x \Rightarrow m=inf\{x\}$
Или здесь я не прав - само число $m$ не будет принадлежать к $A_1$ классу, и следовательно, не может являтся $inf$ ?
К слову, Фихтенгольц рассматривает два случая - когда в множестве граней есть наибольший (наименьший) элемент, и когда его нет.. Разве нельяз рассмотреть только второй случай - он, получается, как бы более общим, а первый - как частный.
Или я ошибаюсь? Хочеться нормально разобратся
И как насчет второй задачи? Есть идеи?

[Brukvalub]

basil-77 в сообщении #159257 писал(а):

И как насчет второй задачи? Есть идеи?

Есть. Проверить определение.

[basil-77]

basil-77 писал(а):

2. Пусть $\{-x\}$ - множество чисел, противоположных числам $x\in \{x\}$. Доказать, что
а) $inf\{-x\}=-sup\{x\}$
б) $sup\{-x\}=-inf\{x\}$

А если так
Очевидно, что между множествами, данными по условию, можно установить взаимно однозначное отображение $f$ и задать его как $f(-x)=(-1)\cdot x$
Обозначим $inf\{-x\}$ через $a$.
Можем записать:
$a \leqslant -x$ $\forall x \in X$
применим отображение $f$
$(-1)\cdot a \leqslant (-1)\cdot(-x)$

$$-a \geqslant x$$

что и есть $sup\{x\}$ $\Rightarrow inf\{-x\}=-sup\{x\}$
Для б) аналогично.

[bot]

basil-77 в сообщении #159356 писал(а):

... что и есть ...

Пока не есть. Вернитесь сюда:

Brukvalub в сообщении #159260 писал(а):

basil-77 в сообщении #159257 писал(а):
И как насчет второй задачи? Есть идеи?
Есть. Проверить определение.

и действуйте в точности по определению верхней и нижней грани. Вам не просто надо показать, что умножение на -1 переворачивает неравенство, а вклинить это свойство в доказываемое утверждение.

[basil-77]

bot в сообщении #159357 писал(а):

Пока не есть.

bot в сообщении #159357 писал(а):

и действуйте в точности по определению верхней и нижней грани. Вам не просто надо показать, что умножение на -1 переворачивает неравенство, а вклинить это свойство в доказываемое утверждение.

Точная верхняя грань непустого ограниченного множества $A$ - есть такой элемент $b'$ множества $B$, что 1) $\forall x \in X$ $b' \geqslant x$ и 2) $\forall b \in B$ $b' \leqslant b$
А если тогда записать не неравенство, а систему неравенств:
Обозначим $inf\{-x\}$ через $a$.
По определению точной нижней грани можем записать:
$inf\{-x\}=a \Rightarrow$ 1) $a \leqslant -x$ $\forall x \in X$ и 2) $a \leqslant a'$ $\forall a' \in A, a'=a- \varepsilon, \varepsilon \geqslant 0$
Имеем систему:
$ \left\{ \begin{array}{l} a \leqslant -x \\ a \leqslant a' \end{array} \right. $
$ \left\{ \begin{array}{l} -a \geqslant x \\ -a \geqslant -a', a'=a- \varepsilon \end{array} \right. $
т.е. получаем, что 1) $-a$ больше, чем любой элемент множества, 2) $-a$ меньше чем любой другой элемент из множества верхних граней $A$.
Следовательно, $-a = sup\{x\}$

[bot]

basil-77 писал(а):

Точная верхняя грань непустого ограниченного множества $A$ - есть такой элемент $b'$ множества $B$, что 1) $\forall x \in X$ $b' \geqslant x$ и 2) $\forall b \in B$ $b' \leqslant b$

Неверно.

[basil-77]

bot в сообщении #159413 писал(а):

Неверно.

Почему неверно???
т.в.г. - наименьший элемент из множества верхних граней, разве не так?

[ewert]

так, но формулировка безобразная: под п.1) должно было стоять просто $b'\in B$. И, кроме того, следовало предварительно сказать, что $B$ -- это именно множество верхних границ, а Вы это вроде и забыли сделать.