Изучение векторных пространств через строки

[Maxim19]

Здравствуйте, очень часто замечаю, что когда речь заходит о том, что все векторные пространства одной размерности изоморфны и в частном случае изоморфны строке координат, впоследствии говорится о неудобстве такого представления. Вот например из Кострикина: "Однако было бы крайне неудобно ограничиваться изучением линейных задач только в $\hbar^n$..."(под тем страшным знаком подразумевается как раз таки строка, чьи элементы из поля) Так вот насчёт вопроса, что теряется при изучении, если все векторные пространства изоморфизмом представлять в виде строк координат? Но если это не так критично, то где неудобство?

[bot]

Maxim19 в сообщении #1591314 писал(а):

Но если это не так критично, то где неудобство?

Например,
1. матрицы одного размера удобно растягивать в строки?
2. многочлены ограниченной степент образуют конечномерное пространство. Удобно ли будет заменять многочлен строкой? А введение в это пространство скалярного произведение через интеграл комфорта не добавит.
Ещё примеров надо?

[Maxim19]

Матрица же и есть строка из координат, просто строка загнута в змейку. Про многочлены не совсем понял, но и их же можно просто представлять строкой коэффициентов. Тут же строка образная. Имеется ввиду, смотреть на векторное пространство, как на набор координат

[EminentVictorians]

Maxim19 в сообщении #1591381 писал(а):

Имеется ввиду, смотреть на векторное пространство, как на набор координат

А с несчетномерными ВП как быть?

[Maxim19]

Ну если размерность несчётная, то там вряд ли изучают это пространство наравне с конечными или счётными. Подключается уже топология разная. Разве нет?

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1591314 писал(а):

Однако было бы крайне неудобно ограничиваться изучением линейных задач только в $\hbar^n$...

Я бы эту мысль понял так - "Однако было бы крайне неудобно при изучении линейных пространств обязательно вводить в них координаты".

[EminentVictorians]

Maxim19, я ни разу не видел, чтобы Вы цитировали. Если не умеете - берете нужный фрагмент сообщения, выделяете его мышкой и нажимаете на кнопку "Вставка" (в том сообщении, в котором выделяли).

Maxim19 в сообщении #1591388 писал(а):

Ну если размерность несчётная, то там вряд ли изучают это пространство наравне с конечными или счётными.

Я бы не сказал. Есть немаленькая "общая" теория векторных пространств, в которой нет разницы, конечномерное оно или нет.

Maxim19 в сообщении #1591388 писал(а):

Подключается уже топология разная. Разве нет?

Какая топология? Пока нету никакой топологии. Есть просто векторные пространства, некоторые из них бесконечномерные. А некоторые из этих - несчетномерные.

Я просто тоже загонялся по этому поводу Так что я Вас хорошо понимаю. Лично я на векторы смотрю как на операторы, действующие на аффинном пространстве. Свободность и транзитивность этого действия гарантирует, что с векторами можно обращаться "как в школе" - как со стрелками.

[Maxim19]

Понятно. На сколько я понял, проблема и неудобство заключается в том, что не всегда можно выделить базис, или банально "посчитать"

[EminentVictorians]

Maxim19 в сообщении #1591400 писал(а):

что не всегда можно выделить базис

Всегда можно, если Вы верите в аксиому выбора.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1591421 писал(а):

Maxim19 в сообщении #1591400 писал(а):

что не всегда можно выделить базис

Всегда можно, если Вы верите в аксиому выбора.

Тут ещё как понимать слово "выделить".