Проекции векторов

[Igor999]

Даны длины векторов и угол между ними

$\begin{gathered} \left| {\vec a} \right| = 1, \hfill \\ \left| {\vec b} \right| = 2, \hfill \\ \varphi = {\raise0.7ex\hbox{$\pi $} \!\mathord{\left/ {\vphantom {\pi 6}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$6$}} \hfill \\ \end{gathered} $

Найти

а) длину вектора

$\left| {\vec a - \vec b} \right|$

б) проекцию вектора на направление другого вектора

$_{(\vec a - \vec b)} (\vec a + \vec b)$

в) угол между векторами

$(\vec a + 2\vec b)$ и $(\vec a - 3\vec b)$

[mkot]

И в чём трудности?

[ewert]

Длина вектора находится из того, что квадрат длины сводится к скалярному произведению. Всё остальное -- аналогично.

[Igor999]

Можно ли длину вектора записать так

$\left| {\vec a - \vec b} \right| = \sqrt {|\vec a|^2 - |\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } = \sqrt {1 - 2\cos \varphi + 4} = 1,808$

И как после этого находить проекцию вектора на направление другого вектора?

[ewert]

ну только уж слагаемое с косинусом исправьте.

А проекцию -- напишите для неё стандартное выражение через скалярное произведение.

[Igor999]

Запутался при подсчете угла между векторами. Что делать дальше?

$\cos \varphi = \frac{{xy}} {{|x||y|}} = \frac{{(\vec a + 2\vec b)(\vec a - 3\vec b)}} {{|\vec a + 2\vec b||\vec a - 3\vec b|}} = \frac{{|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi - 6|\vec b|^2 }} {{\sqrt {|\vec a|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 4|\vec b|^2 } \sqrt {|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b| + 9|\vec b|^2 } }}$

или я что то не так делаю?

[ewert]

что значит что делать? просто подставить всё. Только вот в числителе у Вас всё в порядке, а в знаменателе опять со слагаемыми $\vec a\cdot\vec b$ напутали. Чему равен квадрат суммы?...

[Igor999]

Пересчитал, получается вроде так

$\begin{gathered} |\vec a - \vec b| = \sqrt {|\vec a|^2 + |\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } = \sqrt {1 + 2\cos \varphi + 4} = 6,732 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $

$\cos \varphi = \frac{{xy}} {{|x||y|}} = \frac{{(\vec a + 2\vec b)(\vec a - 3\vec b)}} {{|\vec a + 2\vec b||\vec a - 3\vec b|}} = \frac{{|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi - 6|\vec b|^2 }} {{\sqrt {|\vec a|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 4|\vec b|^2 } \sqrt {|\vec a|^2 + 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 9|\vec b|^2 } }} = \frac{{ - 24,732}} {{29,388}} = - 0,842$

А так же как дальше находить проекцию?

$_{(\vec a - \vec b)} (\vec a + 2\vec b) = |\vec a - \vec b||\vec a + \vec b|\cos \varphi = $

[Brukvalub]

Igor999 в сообщении #158656 писал(а):

$\begin{gathered} |\vec a - \vec b| = \sqrt {|\vec a|^2 + |\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } = \sqrt {1 + 2\cos \varphi + 4} = 6,732 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $

Первое равенство - неверное.

[Igor999]

А в чем ошибка в знаках или в подсчете?

[Brukvalub]

Igor999 в сообщении #158665 писал(а):

А в чем ошибка в знаках или в подсчете?

В первом равенстве есть подсчеты? Покажите, как Вы получили эту формулу (подсчеты меня вообще не интересуют).

[Igor999]

А если так

$|\vec a - \vec b| = \sqrt {|\vec a|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } = \sqrt {1 - 4\cos \varphi + 4} = 1,239$

[ewert]

ну наконец-то. Наконец-то появилось удвоенное произведение!

[mkot]

Это уже похоже на правду. Только не пишите приближённые значения, они здесь по сути бессмыслены.

[Igor999]

А если записать так

$\cos \varphi = \frac{{xy}} {{|x||y|}} = \frac{{(\vec a + 2\vec b)(\vec a - 3\vec b)}} {{|\vec a + 2\vec b||\vec a - 3\vec b|}} = \frac{{|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi - 6|\vec b|^2 }} {{\sqrt {|\vec a|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 4|\vec b|^2 } \sqrt {|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 9|\vec b|^2 } }} = \frac{{ - 24,732}} {{25,515}} = - 0,969$