Проекции векторов

[ewert]

Рецидив. Опять удвоенные произведения куда-то исчезли...

[Igor999]

Правильно ли я считаю скалярное произведение

$(\vec a - \vec b)(\vec a + 2\vec b) = \vec a^2 + 2\vec a\vec b - \vec a\vec b - 2\vec b^2 = |\vec a|^2 + |\vec a||\vec b|\cos \varphi - 2|\vec b| = - 5,268$

[ewert]

это -- правильно (правда, ответ не проверял)

Хотя один квадратик зачем-то опять потерян...

[Igor999]

Правильно ли я думаю по поводу проекции вектора на направление другого вектора?

$_{(\vec a - \vec b)} (\vec a + 2\vec b) = |\vec a - \vec b||\vec a + \vec b|\cos \varphi = \sqrt {|\vec a|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } *\sqrt {|\vec a|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } *\cos \varphi $.

[ewert]

нет, здесь Вы думаете категорически неправильно, и по целой куче причин. Наиболее принципиальная: это совершенно разные углы "фи". И напомню: выпишите стандартное выражение для проекции с помощью скалярного произведения.

[Igor999]

А если записать вот так

\[ \cos \varphi = \frac{{xy}} {{|x||y|}} = \frac{{(\vec a + 2\vec b)(\vec a - 3b)}} {{|\vec a + 2\vec b||\vec a - 3\vec b|}} = \frac{{|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi - 6|\vec b|^2 }} {{\sqrt {|\vec a|^2 + 4|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 4|\vec b|^2 } \sqrt {|\vec a|^2 - 6|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 9|\vec b|^2 } }} = \frac{{ - 24,732}} {{25,233}} = - 0,98 \]

[ewert]

сейчас всё правильно, но арифметику в хвостике я, естественно, не проверял

[mkot]

Igor999 писал(а):

\[ \cos \varphi = \frac{{xy}} {{|x||y|}} = \frac{{(\vec a + 2\vec b)(\vec a - 3b)}} {{|\vec a + 2\vec b||\vec a - 3\vec b|}} = \frac{{|\vec a|^2 - 3|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi - 6|\vec b|^2 }} {{\sqrt {|\vec a|^2 + 4|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 4|\vec b|^2 } \sqrt {|\vec a|^2 - 6|\vec a||\vec b|\cos \varphi + 9|\vec b|^2 } }} \]

Слева и справа -- это разные $\varphi$?

[Igor999]

По заданию

\[ \varphi = \frac{\pi } {6} \]

[ewert]

насколько я помню, по заданию требовался угол именно между этими комбинациями, и тогда -- правильно

-------------------------------------------
(ну а что букаффка "фи" разные углы означает -- ладна)

[Igor999]

А еcли проекцию найти так:

1)

\[ |\vec a - \vec b| = \sqrt {|\vec a - \vec b|^2 } = \sqrt {|\vec a|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } = \sqrt {1 - 4\cos \varphi + 4} = \sqrt {1,536} = 1,239 \]

2)

\[ |\vec a + \vec b| = \sqrt {|\vec a + \vec b|^2 } = \sqrt {|\vec a|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } = \sqrt {1 + 4\cos \varphi + 4} = \sqrt {8,464} = 2,909 \]

3)

\[ \begin{gathered} \psi = \frac{{(\vec a - \vec b)(\vec a + \vec b)}} {{|\vec a - \vec b||\vec a + \vec b|}} = \frac{{\vec a^2 + \vec a\vec b - \vec a\vec b - \vec b^2 }} {{\sqrt {|\vec a|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } \sqrt {|\vec a|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos \varphi + |\vec b|^2 } }} = \frac{{1 - 4}} {{\sqrt {1 - 4\cos \varphi + 4} \sqrt {1 + 4\cos \varphi + 4} }} = \frac{{ - 3}} {{1,239*2,909}} = - 0,832 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \]

4)

\[ {}_{(\vec a - \vec b)}(\vec a + \vec b) = |\vec a + \vec b|\cos \psi = 2,909*( - 0,832) = - 2,420 \]

Поправьте меня, если что-то не так.

[Igor999]

Проверьте кто нибудь проекцию. Очень надо.

[ewert]

Правильно, хотя надо так:

$${\text{пр}}_{(\vec a-\vec b)}(\vec a+\vec b)={(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)\over|\vec a-\vec b|}={|\vec a|^2-|\vec b|^2\over\sqrt{|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2}}=$$

$$={1-4\over\sqrt{1-2\cdot1\cdot2\cdot{\sqrt3\over2}+4}}={-3\over1.2393}=-2.4207$$