Найти сумму ряда

[vicvolf]

Требуется найти сумму ряда:

$\sum_p {\frac {-2p^3+p^2+3}{p^5}}$, где р - простое число.

[vicvolf]

Подсказка - использовать тождество Эйлера.
Вопрос - как использовать?
Я сначала попробовал прологарифмировать его в лоб, но получается большая ошибка.

[zykov]

$-2P(2)+P(3)+3P(5)$, где $P(s)$ - Prime zeta function.

[vicvolf]

zykov в сообщении #1582868 писал(а):

$-2P(2)+P(3)+3P(5)$, где $P(s)$ - Prime zeta function.

Спасибо за информацию об этой функции, но хотел бы получить ответ через дзета-функцию Римана. По-возможности более точный.

[vicvolf]

Решение

При действительном числе $s>1$ справедливо тождество Эйлера:

$$\prod_p {(1-1/p^s)} =1/\zeta(s)$$

Прологарифмируем и получим:

$$-\ln(\zeta(s))=\ln(\prod_p {(1-1/p^s)}=\sum_p{\ln(1-1/p^s)}\sim-\sum{1/p^s}$$

Отсюда получаем:

$$\sum{1/p^s}\sim \ln(\zeta(s))$$

Но это не точная формула, так как там знак эквивалентности.

А вот точная формула (см. ссылку выше):

$$\sum_p {\frac{1}{p^s}}=\sum_{n>0}{\frac{\mu(n)}{n}\ln(\zeta(ns))}=\ln(\zeta(s))-\frac{\ln(\zeta(2s))}{2}-\frac{\ln(\zeta(3s))}{3}-...$$

Отсюда следует ответ:

$$\sum_p {\frac {-2p^3+p^2+3}{p^5}}=\sum_{n>0}{\frac{\mu(n)}{n}\ln(\frac{\zeta(3n)\zeta^3(5n)}{\zeta^2(2n)})}$$

[zykov]

Как-то не олимпиадно.
Там на википедии была формула $P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}$.
Её подставить в $-2P(2)+P(3)+3P(5)$ и будет этот ответ.

[vicvolf]

zykov А Вы видели где-нибудь в задачниках примеры на определение суммы сходящихся степенных рядов простых чисел?

[zykov]

олимпиадность - это не тематика (есть же всякие нишевые области), а ход решения