Нехорошее уравнение

[Утундрий]

Всё хитрей, там двойная экспонента. Она убивает несколько первых членов разложения, но вот что с ней дальше делать, - не понятно. Пробую пока замены всякие.

[amon]

Утундрий в сообщении #1581703 писал(а):

Всё хитрей, там двойная экспонента.

А разложить решение на убывающее плюс возрастающее никак?

[mihiv]

Если функция $u(x)$ убывает на бесконечности, то убывает на бесконечности и $y(x)$. Для того, чтобы $y(x)$ убывала на бесконечности при возрастающей $u(x)$, необходимо, чтобы при больших $x, u(x)=o(e^{\frac x2})\eqno (1)$. Оценим (нестрого) асимптотику возрастающей части $u(x)$ при больших $x$.ДУ для $u(x)$ при очень больших $x$ сводится к:

$$u''=\dfrac{\alpha e^{2x}}{2}u\eqno (2)$$

Растущая часть решения уравнения (2) имеет вид:

$$u(x)=cI_0\left (\sqrt {\frac {\alpha }2}e^x}\right )\approx c_1e^{-x}exp(\sqrt {\frac {\alpha }2}e^x)$$

Т.е. растет быстрее, чем $e^{\frac x2}$, и, следовательно,условие (1) не выполняется.

[amon]

mihiv в сообщении #1581756 писал(а):

при больших $x$.ДУ для $u(x)$ при очень больших $x$ сводится к:

$$u''=\dfrac{\alpha e^{2x}}{2}u\eqno (2)$$

IMHO, член

$$ \left(l+\dfrac{1}{2} \right)^2u $$

надо оставлять. Он того же порядка как производная.

[mihiv]

amon в сообщении #1581757 писал(а):

IMHO, член

$$ \left(l+\dfrac{1}{2} \right)^2u $$

надо оставлять. Он того же порядка как производная.

Качественно понятно, что сохранение слагаемого

$$\left (l+\dfrac 12\right )^2u\eqno (3)$$

только увеличит скорость роста $u(x)$ по сравнению с решением уравнения (2). Действительно, пусть при некотором большом значении $x, u(x)>0, u'(x)>0$, тогда из (2) следует, что возрастает и первая производная решения. Сохранение слагаемого (3) еще более увеличит скорость роста функции.