Специальное отображение

[lemintare]

Если Х - подмножество в У, и Х вложено в У, то иногда бывает полезным специальное отображение - вложение I: X->Y, которое каждому элементу x из множества Х сопоставляет тот же самый элемент из множества У. Вопрос в следующем: в У больше элементов, чем в Х, получается, что это отображение - не сюрьективно? Мы же не можем каждому У сопоставить Х, потому что элементов в Х меньше, чем в У? Но зачем вообще как-то специально обозначать это отображение, выделять его в книге, акцентировать внимание, не понимаю

[ziv]

lemintare, рассмотрите, например, $x^2+y^2\leq 1$, а потом сделайте преобразование с коэффициентом гомотетии $k\neq 0,\ |k|<1:$ $x'=kx,\ y'=ky$.
Куда перейдет это дело? И, наверное, отображение биективно (тем более сюръективно) в таком случае?

[pppppppo_98]

lemintare в сообщении #1579258 писал(а):

Если Х - подмножество в У, и Х вложено в У, то иногда бывает полезным специальное отображение - вложение I: X->Y, которое каждому элементу x из множества Х сопоставляет тот же самый элемент из множества У. Вопрос в следующем: в У больше элементов, чем в Х, получается, что это отображение - не сюрьективно? Мы же не можем каждому У сопоставить Х, потому что элементов в Х меньше, чем в У? Но зачем вообще как-то специально обозначать это отображение, выделять его в книге, акцентировать внимание, не понимаю

Это все идёт из высших соображений абстрактной математики. Дело в том что , что таким образом обычно показывают что вкладываемая сущность(она абстрактна) имеет такую же математическую структуру что та, в которую вкладывают(тоже абстрактна)- это разные объекты категории . То есть к примеру сохраняются законы композиции или согласована топология, а само вложение тогда будет морфизм. В случае теории множеств все тривиально. А вот в случае топологии теоретико-множественное вложение(и даже тождественный изоморфизм) могут не быть непрерывными отображением ( если вкладываемое пространство имеет более слабую топологию).

Вызову вероятно сейчас шквал обструкции, но упомяну. Есть 4 глава Теории множеств Бурбаки, там очень сложным языком пытаются донести что такое структуры и морфизмы между ними.

[EminentVictorians]

pppppppo_98 в сообщении #1579308 писал(а):

Дело в том что , что таким образом обычно показывают что вкладываемая сущность(она абстрактна) имеет такую же математическую структуру что та, в которую вкладывают(тоже абстрактна)- это разные объекты категории .

Мне кстати тоже нравится этот сюжет. Пусть есть категория $B$, ее подкатегория $A$ и функтор вложения $K:A \to B$. Тогда, если $K$ имеет левый сопряженный к $K$ (назовем его $F$), то подкатегория $A$ называется рефлективной в категории $B$ (функтор $F$ в этой ситуации называют рефлектором). Функтор вложения, очевидно, всегда унивалентен, что довольно приятно.


И тут возникает масса супер интересных примеров. Вот несколько из книжки Маклейна:

1) Подкатегория абелевых групп рефлективна в категории всех групп
2) Подкатегория полных метрических пространств рефлективна (и полна) в категории всех метрических пространств (рефлектор отображает каждое метрическое пространство в его пополнение)
3) Категория компактных хаусдорфовых пространств рефлективна в категории всех вполне регулярных хаусдорфовых пространств (рефлектор - компактификация Стоуна-Чеха)

Плюс вокруг всего этого куча интереснейших теорем, которые связывают разные виды подкатегорий (полные, рефлективные, скелеты и т.д.) с разными видами функторов (всякие там полные, унивалентные, сюрьективные/биективные на объектах, эквивалентности, сопряженные и обратные слева и еще многие другие). Для меня это был очень приятный для изучения кусок теории категорий.

-- 29.01.2023, 20:50 --

pppppppo_98 в сообщении #1579308 писал(а):

Вызову вероятно сейчас шквал обструкции, но упомяну. Есть 4 глава Теории множеств Бурбаки, там очень сложным языком пытаются донести что такое структуры и морфизмы между ними.

Но читать первый том Бурбаков - наверное все же сомнительное занятие

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.