Вопрос об ударной волне

[Roza_Robot]

Всех приветствую, господа.
Я изучаю гидродинамику и дошел до темы "Плоская ударная волна", если по Лойцянскому.
В нем дается элементарная теория ударных волн и рассказывается про механизм возникновения этой самой волны на примере мгновенного перемещения поршня в бесконечной трубе.
Все предельно ясно в этом параграфе за исключением самого главного
В нем говорится, что при движении поршня формируются возмущения и скорость этих возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука. В связи с тем, что чем ближе мы к поршню, тем выше температура, возмущения формируемые у поршня движутся с более высокой скоростью, чем те, которые дальше от него. В следствии сего факта, волны будут догонять друг друга и "складываться, образовывая одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия, называемая ударной". В этом месте у меня и происходит недопонимание. Почему волны не обгоняют друг друга, а складываются, образуя фронт? Это напоминает дисперсию волны, когда одна большая волна начинает разваливаться на много маленьких, движущихся с разной частотой, только насколько я понимаю, в ударной волне происходит все в точности наоборот. Но все равно не могу понять, почему же не происходит обгона более медленной волны более быстрой?
Заранее благодарю за помощь и разъяснение!

[zykov]

Roza_Robot в сообщении #1573991 писал(а):

Но все равно не могу понять, почему же не происходит обгона более медленной волны более быстрой?

Когда быстрая доходит до того места, где медленная, то они находятся в одной точке, имеют одинаковую температуру и значит имеют однаковую скорость. Т.е. быстрая уже не будет быстрой, а будет такой же, как и другая, которая была медленной.

[Утундрий]

Roza_Robot в сообщении #1573991 писал(а):

Почему волны не обгоняют друг друга, а складываются, образуя фронт?

Вследствие нелинейности уравнений газовой динамики.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1573996 писал(а):

Вследствие нелинейности уравнений газовой динамики.

Ещё можно ответить "такова природа вещей". Тоже верный ответ.

[Утундрий]

EUgeneUS
Будь уравнения линейными, обсуждаемого явления не было бы. А с "природой вещей", будьте добры - к философам.

[DimaM]

При мгновенном смещении поршня, кстати, ударная волна образуется сразу. Картина с догоняющими волнами и укручением фронта получается при плавном увеличении скорости поршня.
На $x-t$ диаграмме это выражается пересечением характеристик.

[Roza_Robot]

zykov в сообщении #1573992 писал(а):

Roza_Robot в сообщении #1573991 писал(а):

Но все равно не могу понять, почему же не происходит обгона более медленной волны более быстрой?

Когда быстрая доходит до того места, где медленная, то они находятся в одной точке, имеют одинаковую температуру и значит имеют одинаковую скорость. Т.е. быстрая уже не будет быстрой, а будет такой же, как и другая, которая была медленной.

А, я-то думал, что скорость такого возмущения будет постоянной. Ну теперь все встало на своим места, ведь скорость звука зависит от термодинамических параметров, соответственно когда одно возмущение догонит другое, то в этой области пространства будут примерно одинаковые параметры и, как следствие, примерно одинаковые скорости. Все понял, спасибо большое!
Правда тогда есть еще вопросик. Далее в учебнике разбирается изменение параметров после прохождения возмущения. Так вот, не может быть так, что то возмущение, которое идет впереди, может поменять параметры газа за собой так, что то возмущение, которое позади, не сможет догнать? Что этому мешает?

-- 16.12.2022, 22:48 --

Утундрий в сообщении #1574002 писал(а):

EUgeneUS
Будь уравнения линейными, обсуждаемого явления не было бы. А с "природой вещей", будьте добры - к философам.

Благодаря Вашему сообщению, понял немного другую тему, которая тоже беспокоила! Спасибо большое!

-- 16.12.2022, 22:52 --

DimaM в сообщении #1574049 писал(а):

При мгновенном смещении поршня, кстати, ударная волна образуется сразу. Картина с догоняющими волнами и укручением фронта получается при плавном увеличении скорости поршня.
На $x-t$ диаграмме это выражается пересечением характеристик.

Кстати, в Лойцянском прямым текстом заявляется, что перемещение стержня мгновенное, так что скорее всего вынужден с Вами не согласится. Ведь в этом объяснении идея в том, что мы пространство нарезаем аки колбасу, и в каждом таком элементарном диске будут свои параметры термодинамические и соответственно разные скорости и так далее. Далее просто происходит завершение возникновения ударной волны и она приобретает постоянную скорость. Вот так как-то

[Red_Herring]

Roza_Robot в сообщении #1574088 писал(а):

Кстати, в Лойцянском прямым текстом заявляется, что перемещение стержня мгновенное, так что скорее всего вынужден с Вами не согласится. Ведь в этом объяснении идея в том, что мы пространство нарезаем аки колбасу, и в каждом таком элементарном диске будут свои параметры термодинамические и соответственно разные скорости и так далее. Далее просто происходит завершение возникновения ударной волны и она приобретает постоянную скорость. Вот так как-то

Нет, не так. Если поршень сдвигается мгновенно, то начальные данные разрывны. При этом если поршень сдвигается "в газ", то сразу возникает ударная волна сжатия, а вот если "из газа" то возникает волна разрежения, которая ударной волной не является т.к. разрыв сразу сглаживается.

А при более сложных начальных условиоях может возникнуть несколько ударных волн (не сразу--если начальные условия гладкие), которые могут сталкиваться и взаимодействовать (из-за нелинейности)

Возьмите, например, классическую книгу Уизема "Линейные и нелинейные волны" и почитайте 1ую главу.

[Roza_Robot]

Red_Herring в сообщении #1574092 писал(а):

Roza_Robot в сообщении #1574088 писал(а):

Кстати, в Лойцянском прямым текстом заявляется, что перемещение стержня мгновенное, так что скорее всего вынужден с Вами не согласится. Ведь в этом объяснении идея в том, что мы пространство нарезаем аки колбасу, и в каждом таком элементарном диске будут свои параметры термодинамические и соответственно разные скорости и так далее. Далее просто происходит завершение возникновения ударной волны и она приобретает постоянную скорость. Вот так как-то

Нет, не так. Если поршень сдвигается мгновенно, то начальные данные разрывны. При этом если поршень сдвигается "в газ", то сразу возникает ударная волна сжатия, а вот если "из газа" то возникает волна разрежения, которая ударной волной не является т.к. разрыв сразу сглаживается.

А при более сложных начальных условиоях может возникнуть несколько ударных волн (не сразу--если начальные условия гладкие), которые могут сталкиваться и взаимодействовать (из-за нелинейности)

Возьмите, например, классическую книгу Уизема "Линейные и нелинейные волны" и почитайте 1ую главу.

Пардон, поршня, конечно же!
Я обязательно прочитаю, спасибо за рекомендацию, но все-таки не соглашусь.)
Во-первых, один из самых популярных учебников по МЖГ, который пережил кучу изданий, содержит настолько явную ошибку? Не могу в это поверить.
Но и во-вторых, мне кажется мгновенное перемещение поршня просто создает определенное распределение температуры, плотности и давления в трубе, с помощью которого и объясняется возникновение ударной волны. Не вижу противоречия. И мы про какие начальные данные? Которые отсчитываем от неподвижного поршня? Ну в таком случае они и правда разрывные, но если представить, что поршень сдвинулся, этим самым создал какое-то "горбатое" распределение параметров и причем оно гладкое, на это делается акцент, и мы как бы представляем, что это и есть начальные условия. Почему нет?
Пойду пока гляну Ваш источник)

[Red_Herring]

Речь идет о математической задаче, в которой описывается очень простая модель: есть только плотность $\rho=\rho(x,t)$ и от неё зависит скорость распространения:

$$\rho_t + (p(\rho))_x =0, \qquad p(\rho) = \rho V(\rho).$$

Roza_Robot в сообщении #1574100 писал(а):

что поршень сдвинулся, этим самым создал какое-то "горбатое" распределение параметров и причем оно гладкое, на это делается акцент

Это противоречит мгновенности сдвига.

Пока от вас мы не видели ни одной формулы.

[Утундрий]

Roza_Robot в сообщении #1574088 писал(а):

Далее в учебнике разбирается изменение параметров после прохождения возмущения. Так вот, не может быть так, что то возмущение, которое идет впереди, может поменять параметры газа за собой так, что то возмущение, которое позади, не сможет догнать? Что этому мешает?

По вопросу легко понять только то, что это вопрос. Пробовали в "Гидродинамику" Ландау и Лифшица заглянуть? В ту её часть, где рассуждается об эволюционности ударных волн.

[Roza_Robot]

-- 17.12.2022, 12:44 --

Red_Herring в сообщении #1574106 писал(а):

Речь идет о математической задаче, в которой описывается очень простая модель: есть только плотность $\rho=\rho(x,t)$ и от неё зависит скорость распространения:

$$\rho_t + (p(\rho))_x =0, \qquad p(\rho) = \rho V(\rho).$$

Roza_Robot в сообщении #1574100 писал(а):

что поршень сдвинулся, этим самым создал какое-то "горбатое" распределение параметров и причем оно гладкое, на это делается акцент

Это противоречит мгновенности сдвига.

Пока от вас мы не видели ни одной формулы.

Приведу только лишь одну цитату автора учебника.

Цитата:

Разобьем мысленно область возмущенного газа на большое число объемов близкими друг к другу, перпендикулярными к оси трубы плоскими сечениями, каждому из которых соответствуют свои значения возмущенных параметров газа и скорости распространения по отношению к газу. Можно предположить, что распределение возмущений вдоль оси в каждый момент непрерывно, т. е. в двух достаточно близких друг к другу сечениях параметры газа мало различаются между собой. Тогда, представляя движение газа в данном сечении как относительное в системе координат, движущейся поступательно и равномерно со скоростью газа в смежном сечении, можно применять теорию распространения малых возмущений. Это позволит утверждать, что скорость распространения возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука. Таким образом, pacпространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. В рассматриваемом адиабатическом и изэнтропическом движении сжатие газа сопровождается его подогреванием, а скорость распространения возмущений возрастает по мере повышения температуры

Скорость звука в таком приближении не зависит от плотности, а явно зависит от температуры:

$a = \sqrt{kRT}$

Это скорость звука в "совершенном" газе.
Мне кажется мы друг друга недопоняли. Вы наверно пытаетесь мне рассказать о задаче более приближенной к реальной жизни, и как следствие, более сложной. Я же с Лойцянским говорю про элементарную теорию ударных волн.

-- 17.12.2022, 12:46 --

Утундрий в сообщении #1574110 писал(а):

Roza_Robot в сообщении #1574088 писал(а):

Далее в учебнике разбирается изменение параметров после прохождения возмущения. Так вот, не может быть так, что то возмущение, которое идет впереди, может поменять параметры газа за собой так, что то возмущение, которое позади, не сможет догнать? Что этому мешает?

По вопросу легко понять только то, что это вопрос. Пробовали в "Гидродинамику" Ландау и Лифшица заглянуть? В ту её часть, где рассуждается об эволюционности ударных волн.

Пока нет, но спасибо за наводку! Пойду штудировать)

[Red_Herring]

Roza_Robot в сообщении #1574158 писал(а):

Приведу только лишь одну цитату автора учебника.

Она кое-что проясняет, но уравнение, которому удовлетворяют плотность и/или температура написать можно?

[Утундрий]

Roza_Robot в сообщении #1574158 писал(а):

Пойду штудировать

Посмотрите заодно т.н. уравнение Бюргерса. Оно решается аналитически и в то же время демонстрирует эффект "опрокидывания", за конечное время перерастая в разрыв.

Red_Herring в сообщении #1574166 писал(а):

уравнение, которому удовлетворяют плотность и/или температура написать можно?

Признаться, не вполне понял вопрос. Уравнение состояния обычное, газовое $p=\rho R T$. А если речь об уравнениях движения, то это недиссипативный Эйлер.

[Roza_Robot]

Red_Herring в сообщении #1574166 писал(а):

Roza_Robot в сообщении #1574158 писал(а):

Приведу только лишь одну цитату автора учебника.

Она кое-что проясняет, но уравнение, которому удовлетворяют плотность и/или температура написать можно?

Давление и плотность связаны уравнением Гюгонио. Уравнение, связывающее плотность после и до скачка:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} =\frac{\frac{k+1}{2}M_1^2}{1+\frac{k-1}{2}M_1^2}$

Для температуры:

$$\frac{T_2-T_1}{T_1}=\frac{2(k-1)}{(k+1)^2M_1^2}(M_1^2-1)(1+kM_1^2)

где $МM_1$ - число Маха до скачка. Здесь везде 1 индекс - значит до скачка, 2 - после.