rascas и бесконечно малые величины

[rascas]

Ende
Выделено из темы «Наивные вопросы о феноменологической термодинамике»

EUgeneUS в сообщении #1573751 писал(а):

DimaM в сообщении #1573750 писал(а):

Будет передаваться бесконечно медленно.

То есть цикл остановится. И не будет никакого цикла

EUgeneUS, к чему здесь этот спор о бесконечно малых величинах? На мой взгляд он здесь не нужен.
В цикле Карно температура нагревателя/холодильника отличается от температуры рабочего тела на любую заранее установленную малую величину, в меньшую сторону.
Цикл Карно идет бесконечно медленно, но не останавливается. Цикл Карно это теоретическое приближение.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1573770 писал(а):

Отличие теоретически может быть бесконечно малым.

Вот и спор начался ;)

Не бесконечно малым, а конечным, но сколь угодно малым.

[Anton_Peplov]

EUgeneUS в сообщении #1573771 писал(а):

Не бесконечно малым, а конечным, но сколь угодно малым.

Физики иногда пользуются понятием "физически бесконечно малый", означающим примерно "такой малый, что наши приборы его не обнаружат". Подозреваю, это и имелось в виду.

[rascas]

Anton_Peplov в сообщении #1573776 писал(а):

Физики иногда пользуются понятием "физически бесконечно малый", означающим примерно "такой малый, что наши приборы его не обнаружат". Подозреваю, это и имелось в виду.

Нет "наши приборы" тут не причём. Здесь теоретический вопрос а не практический. Здесь математические бесконечно малые величины.
Температура изотерм цикла Карно отличается от температур нагревателя/холодильника на меньшее значение, чем заранее установленное нами любое маленькое значение.
Естественно, для двигателя по циклу Карно, температура нагревателя выше на бесконечно малую величину чем изотерма подвода теплоты, а у холодильника температура ниже на бесконечно малую величину чем изотерма отвода теплоты.

[Anton_Peplov]

rascas в сообщении #1573779 писал(а):

Температура изотерм цикла Карно отличается от температур нагревателя/холодильника на меньшее значение, чем заранее установленное нами любое маленькое значение.

Есть единственное число, удовлетворяющее этому условию. Это ноль. Если, конечно, Вы не пользуетесь нестандартным анализом.

[warlock66613]

rascas в сообщении #1573779 писал(а):

Нет "наши приборы" тут не причём. Здесь теоретический вопрос а не практический.

Формулировка про "наши приборы" тоже не о практическом применении, а о теории. Ну, и подход может быть разный к таким вопросам. Можно возиться с математическими бесконечными малыми (наконец-то нашлось место, где они в физике хоть как-то применимы), а можно просто сказать (и прикинуть численно несколько примеров), что даже при весьма быстрой передаче тепла разница температур может быть несущественной.

[rascas]

Anton_Peplov в сообщении #1573780 писал(а):

rascas в сообщении #1573779 писал(а):

Температура изотерм цикла Карно отличается от температур нагревателя/холодильника на меньшее значение, чем заранее установленное нами любое маленькое значение.

Есть единственное число, удовлетворяющее этому условию. Это ноль. Если, конечно, Вы не пользуетесь нестандартным анализом.

Разумеется, что "заранее установленное нами любое маленькое значение" и "значение отличия температур" это положительные значения. И ноль здесь недопустим.

[Anton_Peplov]

rascas в сообщении #1573784 писал(а):

Разумеется, что "заранее установленное нами любое маленькое значение" и "значение отличия температур" это положительные значения. И ноль здесь недопустим.

Не существует положительного числа $\varepsilon$, которое меньше любого наперед взятого положительного числа $\delta$. Потому что для любого $\varepsilon$ мы можем взять число $\delta = \varepsilon/2$ и обнаружить, что $\varepsilon > \delta$. Единственное неотрицательное число, которое меньше любого положительного - это ноль.

[rascas]

Anton_Peplov в сообщении #1573786 писал(а):

Не существует положительного числа $\varepsilon$, которое меньше любого наперед взятого положительного числа $\delta$. Потому что для любого $\varepsilon$ мы можем взять число $\delta = \varepsilon/2$ и обнаружить, что $\varepsilon > \delta$. Единственное неотрицательное число, которое меньше любого положительного - это ноль.

Заранее задаём число $\delta$ > 0 . Существует $\varepsilon>0$ такое, что $\varepsilon$ < $\delta$.
$\varepsilon$ это не число, а положительная бесконечно малая величина .

[Mikhail_K]

rascas в сообщении #1573791 писал(а):

$\varepsilon$ это не число, а положительная бесконечно малая величина .

Если бы Вы говорили что-то подобное на "физическом уровне строгости", наверное, к Вам бы особо не было вопросов. Но Вы сами начали говорить:

rascas в сообщении #1573779 писал(а):

Здесь математические бесконечно малые величины.

Вы нестандартный анализ имеете в виду, или что? В классическом математическом анализе нет никаких "не чисел, а положительных бесконечно малых величин" (а если и есть, то это последовательности, а вовсе не то, что Вам хотелось бы).

[Anton_Peplov]

rascas в сообщении #1573791 писал(а):

Заранее задаём $\delta > 0$ . существует $\varepsilon>0$ такое, что $\varepsilon$ < $\delta$.
$\varepsilon$ это положительная бесконечно малая величина .

Какое утверждение Вы озвучиваете?
1) $\forall \delta > 0 \, \exists \varepsilon > 0 \colon \varepsilon < \delta$
2) $\exists \varepsilon > 0 \colon \forall \delta > 0 \, \varepsilon < \delta$
Утверждение (1) тривиально, достаточно взять $\varepsilon = \delta/2$. Но Вы, возможно, хотели сказать, что мы можем взять $\varepsilon \ll \delta$, например, $\varepsilon = 10^{-10} \delta$. И тогда $\varepsilon$ будет пренебрежимо малой величиной по сравнению с $\delta$. Это, конечно, верно. Но называть ее бесконечно малой не следует.

Утверждение (2) неверно. Почему неверно - я доказал выше в одну строчку.

На этом предлагаю свернуть дискуссию о бесконечно малых. Она отвлекает от вопросов, которые я действительно хочу выяснить.

-- 14.12.2022, 14:22 --

rascas в сообщении #1573791 писал(а):

$\varepsilon$ это не число, а положительная бесконечно малая величина .

Ах, уже "не число"... Ну тогда Вы пользуетесь каким-то околоматематическим фольклором. Или, возможно, нестандартным анализом, только забыли нам об этом сообщить. В стандартном математическом анализе ничего подобного нет, выше по треду уважаемый Mikhail_K (математик) сказал то же самое.

[rascas]

Anton_Peplov в сообщении #1573797 писал(а):

Какое утверждение Вы озвучиваете?

На мой взгляд не должно быть вопросов типа:

1) Как так температура изотермы двигателя Карно и температура нагревателя одинаковые, а тепло передаётся от нагревателя к рабочему телу? А почему не наоборот?
На мой взгляд ответ такой: Потому, что эти температуры на самом деле не одинаковые. Температура нагревателя на бесконечно малую величину больше температуры изотермы подвода теплоты.

2) Если температуры изотерм цикла Карно отличаются от температур нагревателя/холодильника почему тогда:

Anton_Peplov в сообщении #1573693 писал(а):

в цикле Карно прирост энтропии системы "нагреватель + рабочее тело + холодильник" равен нулю.

?
Ответ на мой взгляд должен быть таким: "Прирост энтропии там бесконечно малая величина, считая это прирост нулём мы в дальнейшем не допускаем ни каких ошибок, но упрощаем дальнейшие возможные вычисления."

Вы считаете определение положительной бесконечно малой величины как: "величины которая меньше чем любое, наперёд заданное положительное маленькое число" неподходящим? Согласен, что в этой теме наверное нет необходимости создавать подходящее определение положительной бесконечно малой величины. Наверное, можно использовать и другое определение положительной бесконечно малой величины.

[Anton_Peplov]

rascas в сообщении #1573816 писал(а):

На мой взгляд не должно быть вопросов типа

А на мой взгляд, не надо изобретать на коленке собственную математику там, где явно хватает известной и общепринятой.

Для озвученных Вами целей вполне хватает утверждений типа "нагреватель горячее рабочего тела, но эта разница так мала, что мы с хорошей точностью можем считать процесс изотермическим". То есть $\Delta T \ll T$. И никаких бесконечно малых, сравниваются два числа. Одно из них так мало по сравнению с другим, что мы им пренебрегаем.
На этом я прекращаю обсуждение бесконечно малых, я про них не спрашивал и мне это не интересно.

[rascas]

Видете ли, фразы типа:

Anton_Peplov в сообщении #1573853 писал(а):

эта разница так мала

Anton_Peplov в сообщении #1573853 писал(а):

хорошей точностью можем считать

Совершенно непригодны для описания феноменологической термодинамики, они предполагают в ней что-то не точное. А ведь в феноменологическая термодинамика абсолютно точна и предполагает математическую строгость и точность.

[warlock66613]

А давно феноменологическая равновесная термодинамика математического разлива оперирует процессами, происходящими во времени?

-- 14.12.2022, 18:29 --

(Феноменологическая термодинамика, рассматриваемая как физическая теория, безусловно, оперирует, но в ней нет проблем с физически бесконечно малыми.)