2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Оператор массы
Сообщение25.11.2022, 23:51 


01/03/13
2606
Если взять ур-ние Шрёдингера для свободной частицы, проинтегрировать его по времени и сделать элементарные преобразования, то получим выражение
$$ i \frac{\hbar}{2} \nabla ^2 \int \limits _t \Psi  =  m\Psi $$
Сравнивая это выражение с операторным ур-нием на собсвенные значения получаем, что $ \hat M = i \frac{\hbar}{2} \nabla ^2 \int \limits _t  $ есть оператор массы свободной частицы.
Этот оператор линеен. Если мнимый интеграл по времени является эрмитовым оператором, то и новый оператор тоже эрмитов. Он коммутирует с импульсом и гамильтонианом (для свободной частицы). Не коммутирует с координатой и моментом.
Т.к. интегрирование это обратное действие дифференцирования, а мнимая производная по времени это энергия, то конструкция оператора массы соотноситься с классической формулой
$$m=\frac{p^2}{2E}$$
Собственные функции оператора массы совпадают с решениями ур-ния Шрёдингера.

Я же гений?! :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 00:36 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Операторы в квантовой механике определены на нерасслоённом гильбертовом пространстве, пространстве волновых функций, не зависящих от времени $\mathcal H$. Ваш же определён на пространстве траекторий в расслоённом пространстве, пространстве функций $\mathbb R \to \mathcal H$. Если попытаться сделать его "нормальным" оператором, ограничив его на разрешённые траектории (удовлетворяющие уравнению Шрёдингера), то он будет коммутировать со всем (поскольку сведётся к умножению на массу).

Насчёт гениальности ничего не могу сказать, так что просто озвучил мысли по поводу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 00:45 


01/03/13
2606
Т.е. оператор не должен действовать на переменную времени? Первый раз такое условие для квантового оператора встречаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 00:57 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Osmiy в сообщении #1571511 писал(а):
Т.е. оператор не должен действовать на переменную времени?
Не то чтобы "не должен", просто обычно квантовая механика строится так: есть пространство состояний, которые можно представить волновыми функциями от пространственных координат (а также спиновых и других внутренних), есть наблюдаемые — операторы на этом пространстве. Нет "переменной времени", на которую операторы могут "действовать". Это в картине Шрёдингера.(*) В картине Гейзенберга состояния формально есть траектории $\mathbb R \to \mathcal H$, но не любые, а только разрешённые, поэтому пространство таких траекторий изоморфно $\mathcal H$. Оператор в картине Гейзенберга может "действовать на переменную времени", но из-за изоморфизма это чистая формальность.

Но в принципе никто не мешает рассматривать квантовую систему, у которой состояния есть произвольные траектории $\mathbb R \to \mathcal H$, только надо определить скалярное произведение таких траекторий, и проверить что получившееся пространство обладает всеми необходимыми свойствами. Может получиться очень необычная формулировка квантовой механики если это развить. Или может не получиться ничего хорошего. Или всё сразу.

(*) Если точнее, то шрёдингеровское состояние — это пара $(\Psi(\mathbf x), t)$, элемент $\mathcal H \times \mathbb R$, так что оператор может "немножко" "действовать на переменную времени", а именно использовать значение времени $t$, но проинтегрировать волновую функцию по времени — нет, не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:24 


01/03/13
2606
Масса является наблюдаемой величиной. Значит у неё должен быть оператор. Без использования временной части ВФ это сделать не получиться. Иначе масса должна входить в оператор как параметр. Значит надо переформулировать КМ так, чтобы операторам было разрешено действовать на время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:27 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Osmiy в сообщении #1571513 писал(а):
Значит у неё должен быть оператор.
И он есть. Это оператор умножения на константу $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:32 


01/03/13
2606
Если у меня есть ВФ частицы, и я хочу узнать её массу, то мне надо знать её массу? Бред же. ВФ полностью содержит информацию о частице, включая и её массу. Но чтобы её подсчитать, придётся проинтегрировать по времени. Поэтому надо принять как постулат мой оператор массы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:38 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Osmiy в сообщении #1571516 писал(а):
ВФ полностью содержит информацию о частице, включая и её массу.
Нет, конечно. Волновая функция — это состояние системы, квантовый аналог пары (положение, скорость) классической частицы. Масса туда не входит, равно как и заряд и другие атрибуты частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:42 


01/03/13
2606
warlock66613 в сообщении #1571517 писал(а):
Волновая функция — это состояние системы, квантовый аналог пары (положение, скорость) классической частицы. Масса туда не входит, равно как и заряд и другие атрибуты частицы.
Масса входит в ВФ. Потому что через ВФ можно узнать энергию и импульс частицы, а значит и массу частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:46 
Заслуженный участник


02/08/11
7002
Что качается измерения массы, то это делается так: устраивается комбинированная система "частица + прибор" так, чтобы наблюдаемая этой комбинированной системы совпадала с массой частицы. Вид оператора наблюдаемой будет зависеть от конструкции прибора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 01:51 


01/03/13
2606
По радиусу траектории частицы в магнитном поле можно измерять произвольную массу. Без настройки прибора на конкретную величину.

-- 26.11.2022, 04:00 --

Или по длине волны частицы после разгона в электрическом поле, тоже можно измерять произвольную массу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 02:01 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Насчёт массы и нерелятивистской КМ попробуйте почитать вот это. Там ещё вот и ссылка есть на очень хорошо (на первый взгляд) написанную статью в открытом доступе. Если грубо, масса -- это такой инвариант, который (наряду со спином) характеризует, какого рода частицы описывает такая-то волновая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 02:18 


01/03/13
2606
Gickle
Статьи сходу не осилил, надо вчитываться и разбираться. Но вот сразу вопрос появляется. Почему спиновый оператор, действующий на спиновую переменную, это нормально, а массовый оператор, действующий на пространственно-временные переменные, это плохо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 02:27 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Оператор Казимира (ну или как там математики предпочитают) для спина будет не $\hat{s}_z$ или что-то в таком роде, а $\hat{s}_x^2 + \hat{s}_y^2 + \hat{s}_z^2$. Ну, то есть "спин в квадрате", если простыми словами. И его действие на волновую функцию даёт $s(s+1)$, что, по сути, и определяет спин частицы. Похожим образом и с оператором массы обстоит дело:
warlock66613 в сообщении #1571515 писал(а):
И он есть. Это оператор умножения на константу $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оператор массы
Сообщение26.11.2022, 02:36 


01/03/13
2606
Но действие оператора квадрата спина на ВФ не сводится к умножению ВФ на собственное значение оператора. Он действует на спиновую часть ВФ. И только если она равна собственной функции оператора квадрата спина, то результатом является ВФ, умноженная на $s(s+1)$.

-- 26.11.2022, 05:13 --

Вот к какому выводу я пришёл. Нужно в КМ ввести четыре типа наблюдаемых величин:
1)спиновые. Это те, которые связаны со спиновой переменной ВФ. Проекция спина, квадрат спина;
2)пространственные, связанные с координатами. Момент, импульс;
3)временные, связанные с временной переменной. Энергия;
4)пространственно-временные. Масса.

Не, ну я точно гений. Это же потянет на статью?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group