Нехитрый способ решения несложных нестандартных школьных задач

[Rasool]

Изложу один нехитрый способ решения несложных нестандартных школьных задач по математике, который я вывел эмпирически вывел из опыта решения таких задач. Если кому интересно, как я его применил к решению несложных задач, можете почитать.

(Оффтоп)

Обдумать свойства объектов ("Заметим, что..."), порассуждать логически о свойствах, учесть взаимосвязь с другими свойствами других объектов. (*)

Пример 1. (Вступительная задача в ЗФТШ 80-х годов). Задача о равнобедренных треугольниках.
Можно ли разместить на плоскости шесть точек так, чтобы любые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника?

Когда я решал эту задачку, мой мозг был отравлен книжкой Нильсона "Искусственный интеллект", где излагался метод решения задач методом перебора на дереве состояний - осуществлялся перебор в глубину или в ширину.
Я так начал решать и эту задачку: сначала взял тривиальный случай трех точек (равнобедренный треугольник), потом добавил еще одну точку к трем имеющимся и произвел перебор возможных вариантов. В этом случае я нашел только вариант, когда 4 точки лежат на вершинах ромба. Не совсем очевидный случай, когда 4 точки лежат на вершинах трапеции с тремя равными сторонами, я упустил. Образовался затык.
А вот метод (*) позволяет легко и просто найти решение поставленной задачи. Какое замечательное геометрическое место точек обладает свойством равноудаленности, к примеру, от одной точки? (На мысль о равноудаленности нас наводит требование о равнобедренных треугольниках.) Правильно: окружность. Отсюда решение очевидно: пять точек размещаем на вершинах правильного пятиугольника, вписанного в окружность, шестая точка - центр этой окружности.
Отсюда легко решить следующую задачку:

Пример 2. (Вступительная задача в ЗФТШ 80-х годов). Задача о частице в цилиндре.
Из точки на окружности основания цилиндра вылетает частица, которая отражается от оснований и боковой поверхности цилиндра по закону: угол падения равен углу отражения, а в точках окружностей оснований отражения не происходит. Известно, что первое отражение произошло в точке на основании цилиндра, а после ряда отражений частица вернулась в исходную точку. Найдите наименьшее возможное число отражений.
(Здесь надо убрать из рассмотрения тривиальный случай, когда дно цилиндра располагается по отношению к стенкам не под прямым углом.)

Подробности опущу, скажу лишь, что нужно использовать равносторонний треугольник в качестве некоторых проекций.

Пример 3. (Задача из олимпиады "Покори Воробьевы Горы") Решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} 5x^2+3y^2+3xy+2xz-yz-10y+5=0\\ 49x^2+65y^2+49z^2-14xy-98xz+14yz-182x-102y+182z+233=0 \end{cases} $$

На первый взгляд, нужно произвести какие-то преобразования с уравнениями. Но какие? И куда двигаться?
Заметим, что уравнений два, а неизвестных три. Что это означает? Не значит ли это, что здесь на самом деле скрыты три уравнения? Отсюда вспомним одно замечательное свойство: если сумма квадратов действительных чисел равна нулю, то и сами эти числа равны нулю. Отсюда можно представить одно из этих уравнений в качестве суммы двух квадратов.

[gevaraweb]

Rasool в сообщении #1570424 писал(а):

сначала взял тривиальный случай трех точек (равнобедренный треугольник), потом добавил еще одну точку к трем имеющимся и произвел перебор возможных вариантов. В этом случае я нашел только вариант, когда 4 точки лежат на вершинах ромба. Не совсем очевидный случай, когда 4 точки лежат на вершинах трапеции с тремя равными сторонами, я упустил. Образовался затык.

У меня получился совсем другой очевидный случай - из трех точек построить равносторонний треугольник, а четвертую - в центр. Этот случай как раз и обобщается у вас далее.
Правда, признаться, я не смог обобщить, быстро бросил задачу и отрыл спойлер. Может, потому, что давно не испытываю удовольствия от решения математических задач, больше раздражение ))

После математики мне долгое время нравилось программировать, но это тоже прошло. Стало раздражать писать в сто тыщ пятисотый раз циклы

for ( int i .... 

Больше стало напоминать рутину.
Уже раздражает, что длина строки length в си шарп требует скобок в конце, но сами не ставятся (MS VS), в java требует и сам ставит (Idea), в javaScript вообще без скобок, а потом еще и Питон появился с len.

То ли возраст, то ли пяти+ летний период подготовки к всяким аккредитациям. Приходилось там делать большие перерывы, а когда возвращаешься, то, как бывает, обнаруживаешь, что интерес уже пропал. Хотя небольшие программы я могу клепать.

[A_I]

Rasool в сообщении #1570424 писал(а):

Можно ли разместить на плоскости шесть точек так, чтобы любые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника?

Сузили до единственного решения, тогда как в пространстве - бесконечное множество

[A_I]

Rasool в сообщении #1578284 писал(а):

Так то в пространстве можно расположить семь точек так, чтобы любые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника.

Да, семь точек - предел (для трехмерного пространства, по-крайней мере)

[Ende]

Выделены темы «Решение математических задач с помощью ChatGPT» и «Избегание циклов». В случае появления еще какого-нибудь оффтопа эта тема будет закрыта.