√m≈√x+√y

[juna]

waxtep в сообщении #1569926 писал(а):

Тут до меня с некоторым запозданием дошло, в каком смысле $R$ должно быть мало:

Положим для определенности $x\leq y$.
Пусть $\sqrt{4mx}=\sqrt{u^2-a}, \sqrt{4my}=\sqrt{v^2-b}$, где $u^2$ - ближайший к $4mx$ больший его квадрат:

$$u^2-4mx=a$$

аналогично и относительно $v$:

$$v^2-4my=b$$

$$\sqrt{u^2-a}=u-\cfrac{a}{2u-\cfrac{a}{2u-\cfrac{a}{2u-\ldots}}}$$

Первые дроби дают:

$$\frac{a}{2u}, \frac{2ua}{4u^2-a}$$

Мы хотим:

$$\frac{a}{2u}+\frac{b}{2v}\rightarrow\min$$

В расчетах всегда получается, что $a=b=R$, правда не понял, почему. Поэтому мы хотим:

$$\frac{R}{2}\cdot \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)\rightarrow\min$$

Иногда встречаются интересные вещи:

$$\sqrt{457}\approx\sqrt{46}+\sqrt{213}$$

$$a=290^2-4\cdot 457\cdot 46=12$$

$$b=624^2-4\cdot 457\cdot 213=12$$

$$\frac{R}{2}\cdot \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)=\frac{12}{2}\left(\frac{1}{290}+\frac{1}{624}\right)\approx 0.03030503978779841$$

$$\frac{2uR}{4u^2-R}+\frac{2vR}{4v^2-R}=\frac{2\cdot 290\cdot 12}{4\cdot 290^2-12}+\frac{2\cdot 624\cdot 12}{4\cdot 624^2-12}\approx 0.03030585193536709$$

Но для данного числа $m$ существуют и меньшие числа $a,b$:

$$\sqrt{457}\approx\sqrt{14}+\sqrt{311}$$

$$a=160^2-4\cdot 457\cdot 14 = 8$$

$$b=754^2-4\cdot 457\cdot 311 = 8$$

$$\frac{R}{2}\cdot \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)=\frac{8}{2}\left(\frac{1}{160}+\frac{1}{754}\right)\approx 0.03030503978779841$$

$$\frac{2uR}{4u^2-R}+\frac{2vR}{4v^2-R}=\frac{2\cdot 160\cdot 8}{4\cdot 160^2-8}+\frac{2\cdot 754\cdot 8}{4\cdot 754^2-8}\approx 0.03030701172822724$$

Т.е. различия получаем только во второй дроби. Причем:

$$\sqrt{46}+\sqrt{213}-\sqrt{14}-\sqrt{311}\approx 2.7\cdot 10^{-8}$$

Что касается различных значений $R=a=b$, то есть подозрение, что это последовательность фундаментальных дискриминантов A003658

Правда, на нелучших приближениях изредка встречаются исключения.

[Andrey A]

juna в сообщении #1570045 писал(а):

В расчетах всегда получается, что $a=b=R$, правда не понял, почему.

Причина тут:

waxtep в сообщении #1569952 писал(а):

Я в предыдущем сообщении неудачно ввел обозначения, то что у Вас здесь $m\pm v$, у меня $u$ и $v$

Основания квадратов $(m+v)+(m-v)$ в сумме дают $2m$, а сами квадраты сравнимы по $\pmod m$. То есть, остатки их деления на $m$ равны. Параметр же $v$ изначально равный $\left | x-y \right |$ помечен отдельной буквой оттого, что "разночетен" с $R,$ и это важно. Может, waxtep и поправился бы, но у нас теперь что с воза упало, того не вырубишь топором. И, боюсь, путаница продолжится.

[Andrey A]

juna в сообщении #1570045 писал(а):

... есть подозрение, что это последовательность фундаментальных дискриминантов A003658

Да, Вы знаете, это она и есть. К моему наблюдению об отсеивании целых квадратов добавляются числа вида $KN^2,$ где $K$ уже принадлежит данной последовательности. Первый член — единица, значит числа вида $1 \cdot N^2$ вычеркиваются. Числа вида $2,3 \pmod 4$ вычеркнуты по умолчанию. Следующий невычеркнуый — $5$, значит числа вида $5 \cdot N^2$ вычеркиваются, и т.д. С точки зрения нашей задачи объяснение простое — вычеркнутые не могут быть $=R.$ Выше шла речь о "примитивных" приближениях, лучшее — конечно из их числа. Вспомним пример $\sqrt{103} \approx \sqrt{14}+\sqrt{41}\ (R=8).$ Получим из него не примитивное решение с $x=14 \cdot 2^2=56:\ \left ( \sqrt{103}-\sqrt{56} \right )^2 \approx 7.$ Для "плохого" решения $\sqrt{103} \approx \sqrt{7}+\sqrt{56}$ имеем $v=56-7=49$ и $49^2 \mod {103} =32=8 \cdot 2^2.$ Касательно других квадратов, ну конечно отыщется достаточно большое $m$, для которого сработает подобная схема. Например треугольное число $p(2p+1)$, где $p$ — простое Софи Жермен. Там $x=2, R=1$, и бесконечное множество не примитивных приближений с "запретными" $R=1 \cdot N^2.$ Так что соответствие полное. А как это выглядит с точки зрения теории Дирихле — страшно и подумать. Может, там и ключик лежит? И еще.

juna в сообщении #1570045 писал(а):

$$\frac{R}{2}\cdot \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\right)\rightarrow\min$$

Вернем всё-таки обратное соответствие $\dfrac{R}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{m+v}+\dfrac{1}{m-v}\right)=\dfrac{R}{2}\cdot \dfrac{2m}{m^2-v^2}=\dfrac{Rm}{m^2-v^2}.$ Поскольку $v^2 \equiv R \mod m$, знаменатель "почти кратен" $m,$ точнее $m^2-v^2+R=2m(m-x-y).$ С легкой погрешностью получаем дробь $\dfrac{R}{2(m-x-y)},$ мало ли пригодится. Я тут глубоко не вникаю, простите, там этих красивых закономерностей тьма, и все уже поперезабывал. Ибо все они хорошо работают задним числом ) А последовательность любопытная.

Исправлено.

[waxtep]

Andrey A в сообщении #1570047 писал(а):

Может, waxtep и поправился бы

Мне бы скорее похудеть

Andrey A в сообщении #1570043 писал(а):

А в чем смысл борьбы с цепными дробями, не поделитесь? Или тут что-то личное )

Просто фигура речи, впрочем, отражающая факт, что с цепными дробями я не чувствую себя уверенно, "на ты". Фундаментальные же дискриминанты мне еще не удалось в голову загрузить, причешу пока инструмент борьбы с цепными дробями, мало ли, пригодится. В PARI/GP же есть оператор fordiv(), делающий упражнения с ручным построением делителей излишними:

fra_chfr_main1(p)={m=factorback(p); msqr=sqrt(m); chfr=vector(5,i,-1); fordiv(m,m1,if(m1>1 & m1<msqr,chfr=matconcat([chfr;fra_chfr1(m,m1)])));
chfr=vecsort(chfr~)~; chfr=vecextract(matrix(matsize(chfr)[1]-1,5,i,j,chfr[i+1,j]),[2,3,4,5,1]); return(chfr)};

fra_chfr1(m,m1)={m2=m/m1; a=contfrac(m2/m1); a[#a]=a[#a]-1; pq=contfracpnqn(a); 
x=pq[1,2]*pq[2,2]; y=pq[1,1]*pq[2,1]; d=fra_d(m,x,y); return([d,m1,m2,x,y])};

[juna]

Andrey A в сообщении #1570047 писал(а):

Основания квадратов $(m+v)+(m-v)$ в сумме дают $2m$, а сами квадраты сравнимы по $\pmod m$. То есть, остатки их деления на $m$ равны. Параметр же $v$ изначально равный $\left | x-y \right |$

Можно наверное и так:

$$y\approx m+x-\sqrt{4mx}\Rightarrow \sqrt{4mx}\approx m-(y-x)=m-v\Rightarrow 4mx\approx (m-v)^2-a, v=y-x$$

$$x=m+y-\sqrt{4my}\Rightarrow 4my\approx (m+v)^2-b$$

$$4mv\approx (m+v)^2-b-(m-v)^2+a$$

$$4mv\approx 4mv+a-b\Rightarrow a\approx b$$

Поскольку $a,b$ - целые числа, $a=b=R$

Обозначим $V=m-v$

Если известно $R$, то для заданного $m$ задачу можно свести к диофантову уравнению:

$$V^2-4mx-R=0$$

Пусть $m=59$

Оптимальными являются: $x=11, y=19$

$$V^2-4\cdot 59x-R=0$$

В среднем чем меньше R, тем лучшее приближение получаем, хотя, конечно, в каждом конкретном случае будут отклонения. Берем первые из допустимых значений $R=1, 5, \ldots$
На пятерке получаем одно из решений:

$$x=944k^2+1684k+751, V=472k+421$$

при $k=-1$ имеем:

$$x=11, V=51\Rightarrow y=m+x-\lceil \sqrt{V^2-R}\rceil=59+11-\lceil \sqrt{51^2-5}\rceil=70-51=19$$

Это я к тому, что если бы мы нашли какой-нибудь способ решения искомой задачи, то научились бы находить без перебора минимальное решение соответствующего диофантова уравнения, что выглядит сомнительно.

А так, можно получать хорошие приближения, сводя к диофантовому уравнению при разных малых $R$, или как Вы показали цепными дробями, что принципиально от этого видимо не отличается.

[waxtep]

juna в сообщении #1570145 писал(а):

Можно наверное и так:

Или так:

$$4mx=u^2-R\Rightarrow 4my=4m\left(m+x-\left\lceil\sqrt{4mx}\right\rceil\right)=4m^2+u^2-R-4mu=(2m-u)^2-R$$

juna в сообщении #1570145 писал(а):

В среднем чем меньше R, тем лучшее приближение получаем, хотя, конечно, в каждом конкретном случае будут отклонения.

Да, тут непонятно, в какой момент следует остановиться: для $m=683$ (пример с самым большим по абсолютной величине $R$ среди $m\leqslant1000$) оптимальное $R=53$ - пятое по величине из возможных $\{12,29,40,48,53,56,57,\ldots\}$. Кстати, $48$ в последовательность фундаментальных дискриминантов не входит, тут я или наошибался, или это не совсем она. Вроде бы, все правильно: $R=48,m\pm v=683\pm108,x=8,y=543$

-- 16.11.2022, 03:29 --

Да, для $m=683$ есть еще некоторое количество возможных $R$, не входящих в указанную последовательность: $108,116,160,192,\ldots$ - какие-то еще атипичные кратные $4$ подмешиваются

-- 16.11.2022, 04:16 --

Хм, и не только кратные $4$, всякие, например, $261$ и $725$. Полный список атипичных значений $R$ для $m=683$:

(52 штуки)

x   y   R
8   543   48
18   479   108
20   469   116
148   195   160
32   419   192
17   484   212
11   520   224
21   464   228
36   405   244
137   208   260
45   377   261
50   363   300
76   303   304
12   513   340
147   196   352
62   333   360
16   489   388
59   340   416
113   240   420
72   311   432
105   252   436
80   295   464
47   371   477
35   408   480
65   326   504
38   398   513
51   360   544
136   209   548
81   293   549
95   268   560
98   263   588
92   273   660
56   347   672
170   171   684
169   172   692
168   173   708
125   223   725
128   219   768
165   176   804
68   319   848
164   177   852
108   247   880
131   215   909
84   287   912
112   241   932
162   179   972
144   199   976
104   253   1028
161   180   1044
160   181   1124
127   220   1136
143   200   1200

Кусочек кода для их получения:

fra_rmx_atyp(m)={sm=floor(m/4);for(x=1,sm,if(!fra_isfund(ceil(sqrt(4*m*x))^2-4*m*x),print([x, fra_y(m,x), ceil(sqrt(4*m*x))^2-4*m*x])))};

fra_isfund(x)={if(x%4==1 & issquarefree(x), return(1)); if(x%4==0 & 2<=(x/4)%4 & (x/4)%4 <=3 & issquarefree(x/4), return(1)); return(0)};

[juna]

waxtep в сообщении #1570146 писал(а):

а, для $m=683$ есть еще некоторое количество возможных $R$, не входящих в указанную последовательность: $108,116,160,192,\ldots$ - какие-то еще атипичные кратные $4$ подмешиваются

Здесь есть засада и другого порядка малости:

$$\sqrt{683}\approx \sqrt{100}+\sqrt{259}$$

$$\sqrt{4\cdot m\cdot x}=\sqrt{4\cdot 683\cdot 100}=\sqrt{524^2-1376}=\sqrt{523^2-329}$$

$$\sqrt{4my}=\sqrt{4\cdot 683\cdot 259}=\sqrt{842^2-1376}, a\not= b$$

[waxtep]

juna в сообщении #1570152 писал(а):

Здесь есть засада и другого порядка малости:

$$\sqrt{683}\approx \sqrt{100}+\sqrt{259}$$

Но тут (неоптимальное, для $x=100$) приближение $\sqrt{683}\approx\sqrt{100}+\sqrt{260}$ симпатичнее, с $R=329$

-- 16.11.2022, 10:00 --

Хммм, правда, если просто взять $y=259$, то $x=100$ и получится; я как-то об этом и не задумывался, перебирая все $x\leqslant m/4$ и вычисляя $y$

[Andrey A]

waxtep в сообщении #1570146 писал(а):

Кстати, $48$ в последовательность фундаментальных дискриминантов не входит, тут я или наошибался, или это не совсем она. Вроде бы, все правильно: $R=48,m\pm v=683\pm108,x=8,y=543$

$48=12 \cdot 2^2$, а $12$ уже входит в A003658, да и в Вашем списке присутствует, т.е. непримитивное. Если не знать ничего об $R$, исходя из приближения $\sqrt{683} \approx \sqrt{8}+\sqrt{543}$, видим $683 \equiv 543 \mod 2, 8=2 \cdot 2^2.$ Значит смело можем делить на $2^2$, получаем примитивное решение с $x=2:\ (\sqrt{683}-\sqrt{2})^2 \approx 611$, а $R$ нам уже известно.

waxtep в сообщении #1570160 писал(а):

перебирая все $x\leqslant m/4$ и вычисляя $y$

Вместо $m/4$ лучше брать $\dfrac{(\sqrt{m}-1)^2}{4}$, Вы что-то меня совсем не читаете. Так мне и надо. Кстати

waxtep в сообщении #1570141 писал(а):

причешу пока инструмент

весомо прозвучало. Мне понравилось. На самом деле цепные дроби Вы гораздо лучше знаете, чем я PARI/GP, которую не смог когда-то завести. Всё собираюсь. Но есть еще теория сравнений. Самое грустное, что все эти вещи вовсе не мешают друг другу, а только помогают.

[Andrey A]

juna в сообщении #1570152 писал(а):

$$\sqrt{683}\approx \sqrt{100}+\sqrt{259}$$

Надо бы договориться называть такие приближения "неприведенными". Я понимаю что $(\sqrt{683}-\sqrt{259})^2 \approx 100$, но $(\sqrt{683}-\sqrt{100})^2 \approx 260$. Последнее — приведенное, а для неприведенного некоторые вещи перестают выполняться. Например $683 \equiv 259 \mod 2$, значит есть лучшее с $x=100/2^2=25,$ но лучше ли оно приведенного? Не факт. И еще. Исходя из $\sqrt{100\cdot259\cdot4}$ получаем $R=84$, из $\sqrt{100\cdot683\cdot4}$ получаем $R=329$. А $(100-259)^2 \mod 683$ так и вообще $=10.$ Всё рассыпается. Если не ошибаюсь, всего приведенных $\left \lfloor \dfrac{(\sqrt{m}-1)^2}{4} \right \rfloor.$
По поводу предыдущего Вашего поста. Всё сказанное легче выражается на языке сравнений. Если для некоторого $R$, принадлежащего найденной Вами последовательности выполняется $v^2 \equiv R \mod m,$ то автоматически выполняется $(m+v)^2 \equiv R \mod m,$ и $(m-v)^2 \equiv R \mod m.$ И по формуле $x,y=\dfrac{\left ( m \pm v \right )^2-1}{4m}$ находится некоторое решение. По предположению $m$ нечетное, тогда $v$ и $R$ должны быть разной четности, что не проблема — если некоторое $v_0$ не подходит, берем $m-v_0$. Но вот качество приближений находится в обратной зависимости от величин как $R,$ так и $v$. И, кстати, не думаю что это фундаментальная проблема, все равно ведь всё должны перебрать. А задним числом нам многое позволено.

[waxtep]

Andrey A в сообщении #1570161 писал(а):

Вместо $m/4$ лучше брать $\dfrac{(\sqrt{m}-1)^2}{4}$, Вы что-то меня совсем не читаете.

Читаю, читаю, и с неизбежностью перечитываю, просто осознание элементов задачи и ее решения приходит ко мне фрагментарно. Конкретно здесь честно говоря затрудняюсь пока понять, надо помедитировать; т.е. для нечетных, в отличие от свободных от квадратов четных, невозможно решение, где $x,y$ оба близки к "сердцевине" $\lfloor{m/4}\rfloor$ ? Вообще, сейчас нахожусь в ступоре от более базового вопроса, - почему нет симметрии между приведенными и неприведенными представлениями? Казалось бы, какая разница, перебирать маленькие $x$ или большие $y$, - однако же нет, неожиданно выскочили $100\rightarrow260$ и $259\rightarrow100$. Да, $(100,260)$ объективно точнее, но почему так? Мозг у меня, как правило, включается вне рабочего времени ближе к ночи, жду

-- 16.11.2022, 16:50 --

waxtep в сообщении #1570204 писал(а):

Вообще, сейчас нахожусь в ступоре от более базового вопроса, - почему нет симметрии между приведенными и неприведенными представлениями? Казалось бы, какая разница, перебирать маленькие $x$ или большие $y$, - однако же нет, неожиданно выскочили $100\rightarrow260$ и $259\rightarrow100$. Да, $(100,260)$ объективно точнее, но почему так?

А, ну да, потому что больших игреков в три раза больше, чем маленьких иксов, значит, две трети из них точно фу, "неприводимые". Прекрасно, с этим разобрались

[Andrey A]

Еще одна придумка вспомнилась из прошлого. Вопрос: может ли один из параметров $x,y$ быть целым квадратом. Вполне: $\sqrt{689} \approx \sqrt{4}+\sqrt{588}$ есть решение $(1).$ Возьмем вместо $y \rightarrow Y^2$ и запишем $\sqrt{m} \approx \sqrt{x}+Y\ (2)$
Тогда
$x \approx (\sqrt{m}-Y)^2=m+Y^2-2Y\sqrt{m}.$
$m-x+Y^2 \approx 2\sqrt{m} \cdot Y$ и
$(m-x+Y^2)^2-4mY^2 \approx 1.$
Получили условного Пелля. Условного, поскольку в правой части нас может интересовать не только единица, но и другие члены последовательности A003658 $(=R).$ А без старшего квадрата и вообще можно бы обойтись (нас в основном интересует $Y$), но тогда не вычислить потенциальные $R.$ Тут уж на выбор. Как компромисс — можно брать числители подходящих дробей по $\mod 4m$ чтобы избежать больших чисел в вычислениях. Я пока буду выписывать знаменатели, т.е. потенциальные игреки. Однако, очень быстро они превысят величину $\sqrt{m}$ (тому, кто имел дело с Пеллем, объяснять не надо), и что сие значит? А всё просто. Мы же не объяснили процедуре что должно быть больше/меньше чего, и какие знаки брать перед радикалами. В итоге с известного момента получаем решения для некой алгебраической суммы, из которой можно "выбраться", строя последовательности вроде описанных выше. Лучше на примере. Возьмем первые $6$ знаков разложения $\sqrt{103 \cdot 4} \approx 20,3,2,1,3,1,...$ Знаменатели соотв. подходящих дробей (потенциальные игреки) образуют последовательность $1,3,7,10,37,47,...$ Для нижних приближений годятся четные дроби. $10 \approx \sqrt{103}$ явно не годится, берем следующую четную $47,$ и записываем в последовательность:
$(\sqrt{103}-47)^2 \approx 1358.$
$(\sqrt{103}-\sqrt{1358})^2 \approx 713.$
$(\sqrt{103}-\sqrt{713})^2 \approx 274.$
$(\sqrt{103}-\sqrt{274})^2 \approx 41.$
$(\sqrt{103}-\sqrt{41})^2 \approx 14.$ Получили знакомое решение $\sqrt{103} \approx \sqrt{14}+\sqrt{41}.$ Смутно. Понимаю. Но пока в общих чертах, остальное по мере возникновения вопросов. Последовательность выписана скорее для наглядности, всё можно сделать быстрее, поскольку параметр $v \mod 103$ — величина постоянная, могли бы из первых $2$-х результатов получить $1358-713=645,\ 645 \mod 103=27=v$ и $27^2 \mod 103=8=R.$

waxtep в сообщении #1570204 писал(а):

надо помедитировать;

Надо. Хотя, можно это делать с инженерным калькулятором, который с дисплеем — лучшее оружие против цепных дробей. Но не расчесывать ) Целую часть вычитаем, берем обратное число — и так по кругу. Успокаивает. А потом берем карандашик/авторучка и выписываем подходящие. Знаков $10-15$ имеем от любой иррациональности и многое понимаем/чувствуем. А так комп делает это за нас.

waxtep в сообщении #1570204 писал(а):

для нечетных, в отличие от свободных от квадратов четных, невозможно решение, где $x,y$ оба близки к "сердцевине" $\lfloor{m/4}\rfloor$ ?

Это просто. Для четных есть $v=1$ сравнимое с единицей по любому модулю. А для нечетных на интервале $(1,\sqrt{m})$ нет квадратов сравнимых с единицей по $\mod m,$ как и с $R.$ Возьмите формулу $x,y=\dfrac{\left ( m \pm v \right )^2-1}{4m}$ уберите единицу, подставьте вместо $v$ критическую точку $ \sqrt{m}$, и получите "мертвую зону". То же и c приведенными/неприведенными. Сверху от "мертвой зоны" целых раза в три больше чем снизу, а для приведенной пары требуется однозначное соответствие $x \leftrightarrow y.$ Это и в жизни так бывает:
. . . . . . .
Нет зубным врачам пути —
Слишком много просятся,
А где зубов на всех найти?
Значит безработица.
https://www.youtube.com/watch?v=d3j1TH6H5R0

[waxtep]

Andrey A в сообщении #1570225 писал(а):

Хотя, можно это делать с инженерным калькулятором, который с дисплеем — лучшее оружие против цепных дробей. Но не расчесывать )

Я базово-то знаком, и конечно освежил ручками перед ээ расчесыванием програзма Но... как сказать, колбасу порезать могу, а вот в ножевой бой с ними наперевес, - вряд ли.

Пытаюсь вернуться к идее, упомянутой juna, ходить от $\sqrt{m}$ к примитивным корням вниз, и пытаться подниматься обратно вверх, хочется какого-то рекурсивного алгоритма. Вот, можно ввести понятие рода $G(m)$ числа $m$, у примитивных корней он ноль, а далее $G(m)=G(x)+G(y)+1$. Каких-то интересных результатов нет, единственное, что несколько удивило, похоже, что $\sup\limits_{k\leqslant m}{G(k)}\sim\sqrt{m}$, смотрел на числах до $20000$; я надеялся на логарифм, но нет, спуск/подъем сильно более плавный, график для пары десятков точек очень уверенно ложится на корневую параболу. И это, видимо, подрывает надежду прийти к быстрому алгоритму именно таким способом, корень для огромных чисел это все таки не быстро

[Andrey A]

waxtep в сообщении #1570255 писал(а):

... хочется какого-то рекурсивного алгоритма.

Эт'точно. Было лег уже. С логарифмами вы сами разруливайте, а я еще кое-что вспомнил, может пригодится. Просто наблюдение. Если для фиксированного модуля записывать погрешности приведенных приближений как функцию от соответствующих $x=1,2,3,...\ \ ,$ то картину получаем хаотичную. Если же брать от старшего $x=\left \lfloor \dfrac{(\sqrt{m}-1)^2}{4} \right \rfloor$ и на убывание, там прослеживается заметный "пилообразный" порядок. Номера $x$, соответствующие скачкам качества описываются даже вполне конкретным полиномом. Вот только не помню, как это связано с величиной $m$, вроде бы оно и нетрудно. Попробуйте описать эти полиномы, программными средствами это может выйти быстрее. Всё, засыпаю.

[waxtep]

Andrey A в сообщении #1570256 писал(а):

С логарифмами вы сами разруливайте

Да, логарифм, конечно, не в том месте надо искать. Предлагаю вот такое развлечение:
1. Переопределим род числа $G(m)$:

$$G(m)=\begin{cases}0,m\leqslant3\vee2|m\vee a^2|m\\\max(G(x),G(y))+1, \text{otherwise}\end{cases}$$

2. Понаблюдаем за минимальными $m$, имеющими данное значение $G(m)$; для лучшего нижнего приближения $\sqrt{m}\approx\sqrt{x}+\sqrt{y}$ будем символически записывать $m=x\ast y$, и читать подобные выражения справа налево:

$$\begin{tabular}{c|c|l} G(m)&m&symbolic\\ \hline $1$&$5$&$1\ast1\equiv1^{\ast2}$\\ $2$&$11$&$1\ast5=1\ast1\ast1\equiv1^{\ast3}$\\ $3$&$19$&$1\ast11=1^{\ast4}$\\ $4$&$29$&$1\ast19=1^{\ast5}$\\ $5$&$101$&$5\ast61=1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast3}(\neq1^{\ast9})$\\ $6$&$151$&$5\ast101=1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast3}$\\ $7$&$211$&$5\ast151=1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast2}\ast1^{\ast3}$\\ $8$&$719$&$151\ast211$\\ $9$&$1487$&$\underline{138}\ast719$\\ $10$&$3121$&$211\ast1709=211\ast211\ast719 (\neq211^{\ast2}\ast719)$\\ $11$&$18869$&$1801\ast9011=1801\ast1801\ast\underline{2755}, 1801=101\ast101\ast101\ast151$\\ $12$&$45949$&$\underline{929}\ast33811=\underline{929}\ast\underline{929}\ast\underline{929}\ast((211\ast\underline{979})\ast\underline{5945})$ \end{tabular}$$

Это в целом картинка в продолжение темы про хождение вверх-вниз, мне было интересно посмотреть на числа рекордсмены; видно, что все двенадцать чисел простые (смотрел для $m\leqslant100000$); до восьмого рода включительно все хорошо и красиво, рекордсмены собираются исключительно из единичек, но, далее картина перестает быть элегантной: в представление числа-рекордсмена пролазят числа "низкого рода" (подчеркнуты в таблице)