Максимумы и минимумы

[druggist]

Дана табличка, где все 4 числа a, b, c, d различны.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Введем обозначения:
R = max(min(a, b), min(c, d)) - строки
K = min(max(a, c), max(b, d)) - столбцы

Как объяснить ребенку, что R = K ? В качестве ответа к задачке рассмотрен частный пример, что, конечно, не устраивает.

[Mihr]

druggist в сообщении #1569113 писал(а):

Как объяснить ребенку, что R = K ?

Никак. Потому что это неверно.

-- 06.11.2022, 16:31 --

Рассмотрите матрицу:

$$\begin{pmatrix} 3 &1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

[druggist]

Возможно, ряды должны быть отсортированы оба по возрастанию либо по убыванию, например:

$$\begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$

или

$$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Надо будет уточнить условие

[Mihr]

druggist, то, что Вы хотели найти, называется "седловой точкой". Не всякая матрица имеет седловую точку. Деталей не знаю (специально не изучал, лишь слегка ознакомился), но знаю, что данный вопрос разбирается в начале стандартного курса теории игр. Случай, когда матрица имеет седловую точку, - самый простой (тогда для каждого игрока существует оптимальная стратегия, отклоняться от которой ему невыгодно; в остальных случаях используются не чистые, а смешанные стратегии).

[druggist]

Mihr в сообщении #1569120 писал(а):

Не всякая матрица имеет седловую точку

А каковы критерии в этом простейшем случае( 2 х 2, все числа различны)? Насчет рядов я не прав, конечно, одинаково упорядоченные столбцы также дают R = К

[Mihr]

druggist, не знаю. Я же говорю, что всерьёз в этой теме не копался. Над простейшим случаем помедитируйте сами, неужели не разберётесь? А если понадобится разобраться поглубже, поищите ответ в учебниках по теории игр. Либо просто погуглите. В этом топике - просто подождите. Возможно, кто-нибудь из математиков форума Вам ответит.

[druggist]

Может, наглядно будет в виде столбиков числа изобразить и все будет ясно)

[svv]

Принципиально ничего не изменится, если наименьшее из чисел заменить на $1$, второе по величине на $2$ и т.д., как и сделано в этой теме.

$R = \max(\min(a, b), \min(c, d))$
Если $1$ и $2$ стоят в одной строке, один из минимумов будет $1$, второй $3$, и $R=3$.
Если $1$ и $2$ стоят в разных строках, один из минимумов будет $1$, другой $2$, и $R=2$.

Аналогично,
$K = \min(\max(a, c), \max(b, d))$
Если $1$ и $2$ стоят в одном столбце, один из максимумов будет $4$, второй $2$, и $K=2$.
Если $1$ и $2$ стоят в разных столбцах, один из максимумов будет $4$, другой $3$, и $K=3$.

Ясно, что вариант «$1$ и $2$ находятся и в одной строке, и в одном столбце» невозможен. Значит, $R\neq K$ тогда и только тогда, когда $1$ и $2$ находятся в разных строках и в разных столбцах. То есть оба либо на главной, либо на побочной диагонали.

[druggist]

svv в сообщении #1569135 писал(а):

Принципиально ничего не изменится, если наименьшее из чисел заменить на $1$, второе по величине на $2$ и т.д.

Скорее всего, в условии четыре числа a, b, c, d - не только различны но и упорядочены по возрастанию (напр., 1, 2, 3, 4)

[svv]

druggist, интересно было бы взглянуть на задачу.

[druggist]

(Оффтоп)

svv
Запамятовал, как отправлять скриншоты, попозже обязательно пришлю

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отдельные буквы типа $a$, $b$ и функции типа $\max$ тоже нужно оформлять как формулы (посмотрите, как это сделано в сообщениях svv). Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.