Соседние натуральные числа в теореме Ферма

[gris]

dick, это убедило бы, если бы в Вашей теории была уже доказана ВТФ-3 для троек с соседними старшими. Но пока этот частный случай не разобран до конца.
Мне это напоминает спартанское "если". Тут даже два этих если.
Впрочем, вдруг я ошибаюсь.

Хотя вот позавтракав пришла в голову теорема:
Если младшее число в Ф³-тройке простое, то два старших числа — соседние.
Ну может быть как-то можно попробовать обобщить?

Ещё одна идея. Надо доказать две теоремы для Ф-троек:
1) Числа из тройки попарно взимно просты.
2) Два числа из тройки имеют общий простой делитель, соответствующий паттерну $p=7k+3$.
Теоремы верны, я убеждён в этом, но из соображений противоречия доказывают ВТФ.

[dick]

$(6n_1+1)^3=z^3-(z-1)^3$ (11);
$216n_1^3+108n_1^2+18n_1+1=3z^2-3z+1$ (11.1);
$72n_1^3+36n_1^2+6n_1=z^2-z$ (11.2);
$12n_1^2+6n_1+1=z(z-1)/6n_1$ (11.3);
$2n_1+1=(z(z-z)/6n_1)/6n_1-1/6n_1$ (11.4);
Число $z(z-1)/6n_1$ имеет форму $6n+1$, потому что после деления на $6n_1$ дает в остатке 1, но по величине оно больше $6n_1+1$.
Тогда, $z(z-1)/6n_1=6n_2+1$ (12), где $n_2=n_1(2n_1+1)$ (12.1);
И, наконец: $z(z-1)=6n_1(6n_2+1)$ (13), что невозможно.

-- 18.07.2022, 13:37 --

Уточнение.
В общем случае, правая часть (13) может быть представлена в виде произведения двух соседних чисел формы 6n и 6n+1 если имеет вид:
$6n_1 (6(k^2n_1+(k-1)/6)+1)$ (14),
где k- произвольное число формы 6n+1, а $n_2= k^2n_1+(k-1)/6$
Перемещая k в состав четного члена, получим: $6n_1k(6n_1k+1)$ (14.1).
Тогда (12.1) имеет вид: $n_2/ n_1= k^2+(k-1)/6 n_1=2n_1+1$ (12.2);
Поскольку $(k-1)/6n_1$ четное, его наименьшее значение- 2, или $k-1=12n_1$.
Тогда: $6n_1(12n_1+1)^2+12n_1=6n_1(2n_1+1)$ (12.3);
И $(12n_1+1)^2+1=2n_1 (12.4)$; что невозможно.

-- 18.07.2022, 13:55 --

Это для соседних кубов.

По поводу пользы завтрака. Конечно Вы правы, если младший член-простое число, то, поскольку в разложении одна скобка никак не может быть квадратом другой, эта другая ($z-y$) будет единицей.

[gris]

Можно решить квадратное уравнение относительно $z$:
$72n^3+36n^2+6n=z^2-z$
Его дискриминант равен $D=1+24(12n^3+6n^2+n)$. Он должен быть квадратом натурального числа. Подходит только $6k\pm 1$. Получим $36k^2\pm 12k+1=1+24(12n^3+6n^2+n)$ или
$3k^2 \pm k=24n^3+12n^2+2n$
То есть $k=2a$
$6a^2 \pm a=12n^3+6n^2+n$
Впрочем, Вы же доказали? То есть это ответ на первое если. Теперь надо показать, что Ф-тройки всегда со старшими соседними.

[dick]

Вернемся к условию: $x-a=z-y$ (2).
Меньшее число $a$ кратно 6, поэтому пары чисел следуют с шагом 6.
При нечетном старшем члене $z$ каждая старшая пара является младшей для следующего шага. Разность чисел в паре может быть 1, 3, 5.
Если $x$ кратно 3, то и $z$ кратно 3, тогда (2) можно сократить на 3 и получить $z-y=1$. Разность 5 используется для $y$, в случае четного $z$.
Кажется, только такая конструкция обеспечивает выполнение (2).
Может быть еще вариант, когда числа четверки разбросаны так, что каждое принадлежит своей «ячейке» (шестерке), но это будет просто использованием шестерок в качестве единиц, то есть «масштабированием».

[dick]

gris
Ну что же Вы молчите? Уехали на курорт? Или не нравится моя конструкция? Дайте знать.

[gris]

dick, я слабоват в теории ВТФ. Какие-то любительские измышления я уже высказал, а подниматься на более высокий уровень нет сил. Может быть летом большинство специалисто действительно сидят по курортам, а к осени заинтересуются проблемой и примут участие в дискуссии.
Но я размышляю над вашей теорией. Пока не придумал ничего конструктивного.

[dick]

gris
Спасибо. Несмотря на то, что технически теорема доказана, я считаю, что точка в понимании предмета еще не поставлена. Напишу, если получится это сделать.
И еще пару слов о теореме. Думаю что многие читатели, а Вы уж точно, теперь поняли, что ВТФ является доказанной в общем случае по крайней мере со времен Эйлера, поскольку он доказал для степени 3, а Ферма, до этого, для степени 4. Не было лишь осознания этого.

[dick]

gris

Пусть $x$ не делится на 3, тогда в $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1), скобки правой части должны быть кубами.
Умножим $x,y,z$ на простое натуральное число $b$, что бы получить непримитивное (1.1). Если скобки правой части (1.1) это кубы, то одна из скобок должна стать бОльшим кубом, а вторая остаться неизменной.
Нетрудно убедиться, что в действительности этого не происходит. Первая скобка увеличится в $b$ раз, вторая – в $b^2$ раз. Выходит что $(z-y)$ это куб, равный своему основанию, то есть единица.

Если интересно, можно показать почему исключается самый популярный на форуме вариант: $x$ делится на 3.

[Someone]

dick в сообщении #1564202 писал(а):

Если скобки правой части (1.1) это кубы, то одна из скобок должна стать бОльшим кубом, а вторая остаться неизменной.

С какой стати? Утверждение, на которое Вы неявно ссылаетесь, справедливо только в том случае, когда множители в правой части взаимно простые. Если Вы умножаете $x,y,z$ на некоторое натуральное $b>1$, то выражения в скобках перестают быть взаимно простыми, и подразумеваемое утверждение перестаёт быть верным.

[dick]

Someone

А что это за утверждение, на которое я неявно ссылаюсь?

[Someone]

dick в сообщении #1564225 писал(а):

Someone

А что это за утверждение, на которое я неявно ссылаюсь?

dick в сообщении #1564202 писал(а):

Пусть $x$ не делится на 3, тогда в $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1), скобки правой части должны быть кубами.

На какое утверждение Вы здесь неявно ссылаетесь? Сформулируйте его.

[dick]

Someone

Вы имеете ввиду, что если куб натурального числа равен произведению двух взаимно простых натуральных чисел, то оба числа этого произведения являются кубами?
Если так, то можно согласиться что я "неявно ссылаюсь".
Что же касается сути, то я говорил о том что скобки, будучи кубами, при умножении одного или другого основания этих кубов на простое $b$, должны остаться кубами, поскольку такое $b$ нельзя разделить и включить в обе скобки. Должны остаться кубами, но согласно (1.1), не остаются. О чем я и написал.

[Someone]

dick в сообщении #1564236 писал(а):

если куб натурального числа равен произведению двух взаимно простых натуральных чисел, то оба числа этого произведения являются кубами

Обратите внимание: взаимно простых. После умножения $x,y,z$ на $b>1$ выражения в скобках в равенстве (1.1) перестают быть взаимно простыми и потому не обязаны быть кубами.

dick в сообщении #1564236 писал(а):

обе скобки. Должны

Они у Вас в долг брали? И большую сумму?

[dick]

Вам не нравится что они должны? Но почему?
Вы ведь совершенно спокойно принимаете то, что куб левой части (1.1) при умножении его основания на простое $b$ становится новым кубом. А правая часть (1.1) это та же левая, только разбитая надвое. И чем же куб $(z-y)$ настолько хуже, что после умножения его основания на $b$, вместо того чтобы стать новым кубом, становится бог знает чем?

[Someone]

dick в сообщении #1564249 писал(а):

И чем же куб $(z-y)$ настолько хуже, что после умножения его основания на $b$, вместо того чтобы стать новым кубом, становится бог знает чем?

А здесь Вы умножаете на $b$ не основание куба, а сам куб. У Вас проблемы со школьной алгеброй.