Re: 2x^2+1=y^3

[Mitkin]

Mitkin в сообщении #1561428 писал(а):

$2x^2-2=y^n-3$
откуда следует, что либо
$x\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$
либо
$y\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$

Исходное уравнение:
$2x^2=y^n-1$
Очевидно: $y-1\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}2$[/quote]
Пусть $n=3$
Случай 1. $y\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$
$y^3-1=(y-1)\cdot(y^2+y+1)$
Поскольку $y-1$ и (y^2+y+1)$
не имеют общих делителей, то
$y-1=2x_1^2$
(y^2+y+1)=x_2^2$
$x^2=x_1\cdotx_2$
Получаем следующую задачу:
$y_1^2+y_1+1=y_2^2$
Положим
$y_2=y_1+a$, где $a>0$
Получаем:
$y_1+1=2ay_1+a^2$
или
$y_1(1-2a)=(a-1)(a+1)$
Выражения в скобках справа должны иметь общий множитель с $(1-2a)$, что возможно, только если $a\equiv1$
Приходим к выводу решения нет

-- 30.07.2022, 18:29 --

Случай 2. $x\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$
$y^3-1=(y-1)\cdot(y^2+y+1)$
Выражение (y^2+y+1)=(y(y-1)+2(y-1)+3)$ должно делиться на 3, либо $(y-1)$ делится на 3.
Если $y-1$ не делится на 3, то должно делится на 3 выражение $y+1$. Но, тогда выражение (y^2+y+1) не делится на 3. В итоге, ни $(y-1)$, ни (y^2+y+1)=(y(y-1)+2(y-1)+3)$ на 3 не будут делиться.
Значит необходимо, чтобы $y-1$ делилось на 3.
Кроме того, можно показать, что $y-1$ не делится на 9.
Поскольку $y-1$ и (y^2+y+1)$
не имеют общих делителей, кроме числа 3 то
$y-1=6x_1^2$
(y^2+y+1)=3x_2^2$
$x^2=9x_1\cdotx_2$
Получаем следующую задачу:
$y_1^2+y_1+1=3y_2^2$
Положим
$y_2=y_1+a$
Получаем:
$y_1+1=2y_1^2+6ay_1+3a^2$

-- 30.07.2022, 18:42 --

У нас $y$ нечётно, поэтому чётным будет $a$.
Далее приходим к выводу, $y_1+1$ не делится на 4, значит $y_1-1$ делится на 4
Также, очевидно, $a<0$

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1561485 писал(а):

Получаем следующую задачу:
$y_1^2+y_1+1=3y_2^2$

Это уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах.

[Mitkin]

можно показать, что $a\vdots3$

-- 30.07.2022, 21:08 --

nnosipov в сообщении #1561499 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561485 писал(а):

Получаем следующую задачу:
$y_1^2+y_1+1=3y_2^2$

Это уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах.

как доказать?

-- 30.07.2022, 21:19 --

Mitkin в сообщении #1561485 писал(а):

Случай 2. $x\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$

Получаем:
$y_1+1=2y_1^2+6ay_1+3a^2$

-- 30.07.2022, 18:42 --

У нас $y$ нечётно, поэтому чётным будет $a$.
Далее приходим к выводу, $y_1+1$ не делится на 4, значит $y_1-1$ делится на 4
Также, очевидно, $a<0$

$a\vdots3$
Если ошибок нет, то продолжу размышлять. Заменим $a$ на $-3a$

$2y_1^2-(18a+1)y_1+27a^2-1=0$

-- 30.07.2022, 21:34 --

Найдём корни последнего уравнения:
$y_1=\frac{18a+1}{4}\pm\sqrt{\frac{(18a+1)^2}{16}-\frac{27a^2-1}{2}}$

-- 30.07.2022, 21:40 --

Интересует подкоренное выражение, оно должно равняться полному квадрату
$18^2a^2+36a+1-27\cdot8a^2+8$
или
$9\cdot(36a^2+4a-24a^2+1)$
$(12a^2+4a+1)$
$8a^2+(2a+1)^2=b^2$
Очевидно, $b$ не чётно.
$8a^2=(b-2a-1)(b+2a+1)$
Положим $a^2=a_1\cdot a_2$
Ранее было сказано, что $a\vdots2$
Значит
$2b=2(a_1+2a_2)$, где $a_1$ на 2 не делится.
$2(2a+1)=2(2a_2-a_1)$

[Mitkin]

mathematician123 в сообщении #1561215 писал(а):

Случай $n = 3$ можно разобрать даже без использования факториальности $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Этот случай сводится к уравнению $12a^4 + 6a^2 + 1 = k^2$. Далее заменой $k-1 = t$ можно избавиться от свободного члена. Затем применяем метод, изложенный здесь. Тогда всё сведётся к четырём уравнениям $48x^4 - y^2 = d$, где $d \mid 3$, которые легко решаются.

у меня получилось чуть другое уравнение. Как получено у Вас?

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1561509 писал(а):

как доказать?

Ну, есть такая известная процедура --- размножение целых точек на гиперболе. Уравнение имеет очевидное решение $(1,1)$, которое можно размножить.

[Mitkin]

Mitkin в сообщении #1561509 писал(а):

-- 30.07.2022, 21:40 --

Интересует подкоренное выражение, оно должно равняться полному квадрату
$18^2a^2+36a+1-27\cdot8a^2+8$
или
$9\cdot(36a^2+4a-24a^2+1)$
$(12a^2+4a+1)$
$8a^2+(2a+1)^2=b^2$
Очевидно, $b$ не чётно.
$8a^2=(b-2a-1)(b+2a+1)$
Положим $a^2=a_1\cdot a_2$
Ранее было сказано, что $a\vdots2$
Значит
$2b=2(a_1+2a_2)$, где $a_1$ на 2 не делится.
$2(2a+1)=2(2a_2-a_1)$

Уточним формулы.
Из уравнения $8a^2+(2a+1)^2=b^2$ следует, что $a$ и $b$ не имеют общих делителей. Также не имеют общих делителей $b$ и $2a+1$.
Поэтому сделаем иную замену, а именно:
положим $a=a_1\cdot a_2$
$2b=2(a_1^2+2a_2^2)$, где $a_1$ на 2 не делится.
$2(2a+1)=2(2a_2^2-a_1^2)$ [/quote]
или
$2a_1a_2+1=2a_2^2-a_1^2$

-- 31.07.2022, 11:41 --

Откуда получаем следующее:
$(a_1+a_2)^2+1=3a_2^2$
или, переходя к записи от $y$,
$y_1^2+1=3y_2^2$
$y_1=y_2+a$, где $a>0$
$2ay_2+a^2+1=2y_2^2$

-- 31.07.2022, 12:02 --

nnosipov в сообщении #1561523 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561509 писал(а):

как доказать?

Ну, есть такая известная процедура --- размножение целых точек на гиперболе. Уравнение имеет очевидное решение $(1,1)$, которое можно размножить.

Для случая $a=0$, т.е. когда $y_1=y_2$ и получается уравнение
$y_1+1=2y_1$ решения находятся.
Но интересуют и другие случаи

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1561524 писал(а):

$y_1^2+1=3y_2^2$

А вот это уравнение уже неразрешимо. Не запутались ли Вы в вычислениях?

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1561530 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561524 писал(а):

$y_1^2+1=3y_2^2$

А вот это уравнение уже неразрешимо. Не запутались ли Вы в вычислениях?

к этому уравнению приходим, если $y_1\ne y_2$, но я перепроверю решение чуть позже

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1561530 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561524 писал(а):

$y_1^2+1=3y_2^2$

А вот это уравнение уже неразрешимо. Не запутались ли Вы в вычислениях?

я перепроверил, решение. Вроде всё верно. Только я не знаю, как доказать, что это уравнение решения не имеет

-- 31.07.2022, 14:39 --

-- 31.07.2022, 12:02 --

nnosipov в сообщении #1561523 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561509 писал(а):

как доказать?

Ну, есть такая известная процедура --- размножение целых точек на гиперболе. Уравнение имеет очевидное решение $(1,1)$, которое можно размножить.

Для случая $a=0$, т.е. когда $y_1=y_2$ и получается уравнение
$y_1+1=2y_1$ решения находятся.
Но интересуют и другие случаи[/quote]
$y_1+1=2y_1^2$ потерял квадрат.

[EUgeneUS]

Mitkin в сообщении #1561546 писал(а):

Только я не знаю, как доказать, что это уравнение решения не имеет

по модулю $3$

[Mitkin]

-- 31.07.2022, 11:41 --

Цитата:

Откуда получаем следующее:
$(a_1+a_2)^2+1=3a_2^2$
или, переходя к записи от $y$,
$y_1^2+1=3y_2^2$
$y_1=y_2+a$, где $a>0$
$2ay_2+a^2+1=2y_2^2$

-- 31.07.2022, 14:54 --

Здесь получаем следующее:
$a^2-1=2(y^2-ay-1)$
или
$(a-1)(a+1)=2(y^2-ay-1)$

-- 31.07.2022, 14:58 --

Правая часть делится на 2, значит и левая делится на 2. Т.е. $a$ нечётно.
Но, тогда левая часть делится на 8, а, значит, выражение:
$y^2-ay-1$ делится на 4, т.е. чётно
При нечётном $a$ такое невозможно.
Противоречие

-- 31.07.2022, 15:07 --

Итак. Для степени $n=3$ решение уравнения $2x^2+1=y^3$разобрано.
Возможны два случая, когда $y\vdots3$ и когда $x\vdots3$.

Было показано, что 1-ый случай решения не имеет (кроме, быть может, тривиальных)
Во втором случае решение потребовало, чтобы
решения уравнения $y_1^2+y_1+1=3b^2$, что оказалось возможным только в случае $y_1=b$ (решения все находятся, но исходное уравнение налагает дополнительные требования)
Таким образом получаем следующее уравнение:
$y^3-1=(y-1)\cdot 3\cdot y^2$
и $y-1=6c^2$
Предпоследние уравнение справа и слева должно делиться на $y^2$, что возможно, только если $y=\pm1$
Таким образом, кроме тривиального решения для степени $n=3$ наше уравнение $2x^2+1=y^3$ не имеет.
Тривиальное решение (0,1).

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1561549 писал(а):

решения уравнения $y_1^2+y_1+1=3b^2$, что оказалось возможным только в случае $y_1=b$

Еще раз: уравнение $y_1^2+y_1+1=3b^2$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах (и, следовательно, разрешимо не только в случае $y_1=b$).

-- Вс июл 31, 2022 19:35:48 --

Mitkin в сообщении #1561549 писал(а):

Таким образом, кроме тривиального решения для степени $n=3$ наше уравнение $2x^2+1=y^3$ не имеет.

Это так, но Вы этого не доказали.

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1561552 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561549 писал(а):

решения уравнения $y_1^2+y_1+1=3b^2$, что оказалось возможным только в случае $y_1=b$

Еще раз: уравнение $y_1^2+y_1+1=3b^2$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах (и, следовательно, разрешимо не только в случае $y_1=b$).

-- Вс июл 31, 2022 19:35:48 --

Mitkin в сообщении #1561549 писал(а):

Таким образом, кроме тривиального решения для степени $n=3$ наше уравнение $2x^2+1=y^3$ не имеет.

Это так, но Вы этого не доказали.

Приведите пример ещё одного решения. Мне так проще будет проверить, что я упустил.

-- 31.07.2022, 16:39 --

я мог ошибиться, когда решил, что $a\vdots3$

-- 31.07.2022, 16:45 --

может быть $a+1\vdots3$

-- 31.07.2022, 16:48 --

для такого случая надо рассмотреть уравнение:
$12y^2-4y+1=b^2$

-- 31.07.2022, 16:58 --

оно не сильно изменилось

[nnosipov]

Mitkin
Уравнение $y^2+y+1=3b^2$ имеет, например, решение с $y=22$. В принципе, Вы сами можете с помощью компьютера найти еще решения.

[Mitkin]

Да, здесь есть варианты

-- 31.07.2022, 17:04 --

nnosipov в сообщении #1561555 писал(а):

Mitkin
Уравнение $y^2+y+1=3b^2$ имеет, например, решение с $y=22$. В принципе, Вы сами можете с помощью компьютера найти еще решения.

я нашёл ошибку у себя, сейчас проверяю

-- 31.07.2022, 17:18 --

nnosipov в сообщении #1561555 писал(а):

Mitkin
Уравнение $y^2+y+1=3b^2$ имеет, например, решение с $y=22$. В принципе, Вы сами можете с помощью компьютера найти еще решения.

спасибо, потерял знак "минус" в решении

-- 31.07.2022, 17:30 --

Вот здесь не верно:

$$2a_1a_2+1=2a_2^2-a_1^2$$

должно быть:

$$2a_1a_2+1=-2a_2^2+a_1^2$$

-- 31.07.2022, 17:35 --

я получал уравнение:

$$(a_1+a_2)^2+1=3a_2^2$$

а должно быть

$$(a_1-a_2)^2-1=3a_2^2$$

-- 31.07.2022, 17:36 --

Откуда получаем уравнение:
$y^2-1=3b^2$

-- 31.07.2022, 17:40 --

Решения подбираются сразу, но лучше проанализировать
$y$, как видим, не делится на 3
$(y-1)(y+1)=3b_1^2b_2^2$, где
$b=b_1b_2$ и $b_1$, $b_2$ не имеют общих делителей, кроме, быть может, числа 2.

-- 31.07.2022, 17:44 --

пусть $y-1=3b_1^2$, тогда
$2y=3b_1^2+b_2^2$
$2=b_2^2-3b_1^2$

-- 31.07.2022, 17:59 --

положим $b_2=b_1+c$, тогда
$2=2b_1c+c^2-2b_1^2$
или
$2b_1^2-2cb_1+2-c^2$

-- 31.07.2022, 18:02 --

$b_1=\frac{c}{2}\pm\sqrt{\frac{c^2}{4}+\frac{c^2-2}{2}}$