Логика первого и второго порядка

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1558969 писал(а):

А в чем проблема?

Проблема в том, откуда вы знаете, существует ли множество Витали, или вот такое хитрое разбиение? Или представляется ли "на самом деле" $\mathbb R$ счетным объединением счетных множеств, или нет?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1558970 писал(а):

Проблема в том, откуда вы знаете, существует ли множество Витали, или вот такое хитрое разбиение? Или представляется ли "на самом деле" $\mathbb R$ счетным объединением счетных множеств, или нет?

Я там больше про множество Витали отвечал. По поводу разбиения. Если вопрос именно про существует ли разбиение $\mathbb R$ в более чем континуальное семейство попарно непересекающихся непустых подмножеств $\mathbb R$, то я не знаю, первый раз такую задачу слышу. На мой взгляд корректно поставленная задача с однозначным ответом "да" или "нет". Просто не очень понятно, как это с темой обсуждения соотносится.

mihaild в сообщении #1558970 писал(а):

существует ли множество Витали

На мой взгляд множество Витали - нормальное корректно определенное множество (точнее класс множеств).

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1558973 писал(а):

На мой взгляд корректно поставленная задача с однозначным ответом "да" или "нет". Просто не очень понятно, как это с темой обсуждения соотносится.

Такая возможность тоже зависит от аксиомы выбора (точнее с аксиомой выбора так точно не получится - попробуйте доказать, это несложно, а для лучшего понимания множеств полезно; а без аксиомы выбора может и получиться).

EminentVictorians в сообщении #1558973 писал(а):

На мой взгляд множество Витали - нормальное корректно определенное множество

Т.е. аксиому выбора вы, видимо, принимаете. А почему её, а не аксиому детерменированности?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1558974 писал(а):

Такая возможность тоже зависит от аксиомы выбора (точнее с аксиомой выбора так точно не получится - попробуйте доказать, это несложно, а для лучшего понимания множеств полезно; а без аксиомы выбора может и получиться).

Выберем из каждого множества по точке. Раз множества попарно непересекающиеся, все эти точки будут различными. Все это - точки множества $\mathbb R$, а значит их совокупность - подмножество $\mathbb R$. Это множество точек имеет мощность больше континуума. Таким образом, нашлось подмножество $\mathbb R$, имеющее мощность больше континуума, а такого быть не может. Получили противоречие, теорема доказана. (при первом чтении утверждение казалось сложнее )

mihaild в сообщении #1558974 писал(а):

Т.е. аксиому выбора вы, видимо, принимаете. А почему её, а не аксиому детерменированности?

А почему мы решили, что все подмножества $\mathbb R$ детерминированы? Вот утверждение из аксиомы выбора действительно интуитивно понятно, с ним я согласен. А тут странная ситуация - мы сделали абсолютно неинтуитивное заявление и объявили его аксиомой. С этой точки зрения аксиома детерминированности больше похожа на теорему (причем ложную).
Для меня все это похоже на историю с конструктивными действительными числами. На них можно смотреть с точки зрения Маркова: нет никаких чисел, кроме конструктивных. А можно смотреть с той точки зрения, что КДЧ - обычное подмножество $\mathbb R$. Которое еще и интересными свойствами обладает, например, все конструктивные функции, заданные на КДЧ непрерывны (в обычном смысле). (я конструктивный анализ не изучал, так что могу ошибаться, но вроде бы все так).
С аксиомой детерминированности похожая ситуация в том смысле, что все подмножества могут быть детерминированы только если мы собственным усилием воли перестанем рассматривать недетерминированные множества. Зачем это делать - непонятно. Что касается меня лично, то я считаю, что отсутствие неизмеримых подмножеств $\mathbb R$ - веский аргумент против аксиомы детерминированности. В общем, с какой стороны ни посмотреть -- аксиома детерминированности как-то не впечатляет.

[Nemiroff]

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

Мне кажется, что дело здесь в том, что аксиомы Пеано - кастрированная версия здравого смысла (на каком уровне -- на уровне аксиом или на уровне всей логики первого порядка -- не знаю, собственно основной вопрос отчасти об этом), а натуральные числа здесь не при чем.

Не бывает "здравого смысла". Весь дальнейший текст об этом.

Любому человеку абсолютно очевидно, что если в множестве $B$ элементов больше, чем в множестве $A$, то и подмножеств в $B$ больше, чем в $A$.
Также любому человеку абсолютно очевидно, что если подмножество вещественных чисел таково, что его можно покрыть счётной системой интервалов любых наперёд заданных длин (у каждого интервала своё ограничение по длине), то это подмножество счётно.

И наконец тому же самому любому человеку с ярчайшей абсолютностью очевидно, что (обобщённая) континуум-гипотеза влечёт первое и отрицание второго.

Существует ли свободный ультрафильтр на натуральных числах? Ну конечно вы можете сказать "либо да, либо нет" -- но это не удовлетворительный ответ в том случае, когда этот самый ультрафильтр критически нужен для доказательства чего-нибудь. Вы не можете доказать его существование, предъявив его. Вы не можете доказать его несуществование, перебрав все подмножества и отвергнув их все. Вам нужно что-то другое -- вы привлекаете мощь аксиомы выбора и логики и говорите: "Ну да, он есть". Но в процессе вы опять-таки "очевидную абсолютность" заменили на весьма странный (что скажет здравый смысл?) принцип, так что теперь и не знаешь, верить вашим рассуждениям или нет.

Потому что не бывает здравого смысла, когда речь идёт о множествах, в которых много элементов.

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

Где надо что-то дифференцировать, интегрировать, исследовать асимптотики и тому подобное.

Вы думаете, что вы знаете, как себя ведут дифференцируемые функции -- но вы ошибаетесь.
Конечно же, вы знаете про них что-то. Но вот вопрос: можно ли придумать такую сюръекцию $f=(f_1,f_2): \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$, что в любой вещественной точке $x$ хотя бы одна из функций $f_1, f_2$ была бы дифференцируемой? Это кажется каким-то упражнением на непрерывность, может быть теорему Бэра или теорему о среднем. Однако этот вопрос эквивалентен континуум-гипотезе. Потому что чёрт его пойми, как устроены множества "на самом деле".

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

Иными словами, мы выйдем за рамки натуральных чисел в действительную (или даже комплексную) область, сделаем там необходимые аналитические и теоретико-вероятностные манипуляции и вернемся обратно к натуральным числам, доказав нужный нам результат.

Или вот ещё. Возьмём натуральные числа и будем их красить в конечное (наперёд заданное) число цветов. Верно ли, что существуют четыре различных числа $a,b,c,d$ одного цвета, что $a+b=c+d$? Ну конечно же верно, это абсолютно тривиально -- возьмём теорему Рамсея... ну ладно, может быть не абсолютно тривиально, но точно верно.
Ок, давайте поддадим жару, возьмём вещественные числа и будем красить их в счётное число цветов. Верно ли, что существуют четыре различных числа $a,b,c,d$ одного цвета, что $a+b=c+d$? Внезапно из-за угла выходит континуум-гипотеза.

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

а натуральные числа здесь не при чем.

Давайте проверим непротиворечивость теории множеств. Возьмём машину Тьюринга (куда уж проще объект -- он вообще конечный), и пусть она выводит всё, что выводится и проверяет, не вывелось ли двух противоречащих друг другу формул. Если остановится, то значит нашли противоречие, а не остановится, да и хорошо.
У этой машины $N$ состояний. А значит число $BB(N)$ не может быть получено средствами ZFC. При этом $BB(N)$ это какое-то вполне конкретное натуральное число. Просто мы не можем его найти "с помощью математики".

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

А если в моем наивном представлении о натуральных числах уже заложено, что они вложены в действительные числа. Иными словами, Вы ставите знак равенства между "наивные представления о натуральных числах" = аксиомы Пеано.

Действительные числа "слабее" натуральных. В том смысле, что вам хватит аксиоматики Пеано и каких-то простых понятий о множествах, чтоб построить вещественные числа. Так что не велика добавка.
Я не ставлю знак равенства, я говорю, что человеческая интуиция не справляется с бесконечными объектами.

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

Если эта презумпция не будет выполняться в некоторой формальной системе, то -- опять же -- вина не презумпции, а формальной системы.

Эта презумпция не выполняется не в какой-то системе (тут же даже строгих определений хорошести нет), она не выполняется по факту. Она интуитивно не выполняется. Если числа я ещё как-то могу понять, то функции над вещественными числами ведут себя столь патологически, что существует куча утверждений вида "существует функция с такими-то свойствами", про которые заранее чёрт пойми вообще что можно сказать.

Не бывает здравого смысла.

Студентам на первом курсе вполне очевидно, что функция, непрерывная в точке, непрерывна в окрестности этой точки. Потому что непрерывность -- это интуитивно "возможность нарисовать линию без отрыва", а вот эти хренэпсилонты -- это от лукавого, чтоб злой преп завалил.
Но это не студенты плохие -- это естественное интуитивное понимание непрерывности. Если у вас его нет, значит вы его переросли -- но не значит, что оно не является "абсолютно очевидным вследствие здравого смысла".

Студенты видят функцию Дирихле и верят, что она разрывна всюду -- это очевидно. Студенты видят вот такую функцию и верят, что она разрывна всюду -- и это очевидно. Всё потому, что на самом деле ничерта студенты не видят -- график этих функций нельзя нарисовать даже примерно.

А ещё абсолютно истинным выглядит следующее рассуждение. Возьмём $ZFC+\neg Con(ZFC)$. Поскольку в этой теории выводимо $\neg Con(ZFC)$, то $Con(ZFC)$ ложно в любой модели, значит в $ZFC$ есть противоречие. Если в $ZFC$ есть противоречие, то существует формула $\varphi$, такая, что выводится она и её отрицание. Поскольку вывод -- это конечный набор строк, то его можно предъявить, значит тогда $ZFC$ и вправду противоречива, тогда и $ZFC+\neg Con(ZFC)$ противоречива. Затем мы открываем учебник, в котором написано, что $ZFC$ непротиворечива тогда и только тогда, когда $ZFC+\neg Con(ZFC)$ непротиворечива и окончательно убеждаемся, что либо в учебнике ошибка, либо эти матлогики сами не понимают ничего и работают в противоречивых теориях.

Если что-то в математике кажется вам очевидным, то вы просто слишком долго на это смотрели. Вам наверняка кажется очевидным, что к каждому натуральному числу можно прибавить единицу. Но с чего вы взяли, что это и правда "общефилософски" очевидно?

Вы уверены, что люди понимают математические конструкции не слишком большой сложности одинаково.
Можно полазить по этому форуму и найти достаточно ожесточенные споры по специфическим математическим "парадоксам". Вроде бы логика безупречна -- но некоторые люди не хотят принимать логику, потому что они интуитивно чувствуют, что что-то не так. Вот пример viewtopic.php?t=13643 и его продолжение topic13718.html

Потому что не бывает здравого смысла.

Ещё я окончательно перестал понимать, причём тут логика.
Если вопрос "нафига ZFC" -- так там полезные аксиомы, которые позволяют доказывать полезные теоремы.
Если "нафига PA" -- то это модель, интересная прежде всего сама по себе для целей "foundation math". Тут я могу согласиться, что по-видимому, PA плохо описывает интуитивное понимание натуральных чисел людьми. Но что уж поделать.
Если "нафига логика" -- то логика -- это способ рассуждения и доказательства для перехода от предположений к следствиям.

А вот это

EminentVictorians в сообщении #1558920 писал(а):

А если в формальная система каждому множеству ставит его "степень определенности" из $[0, 1]$.

я не понял совершенно.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1558969 писал(а):

Нестандартные действительные числа - это же не действительные числа, а другие объекты теории множеств?

Что значит — "другие"? А какие должны быть? Это действительные числа. Элементы поля действительных чисел. Все аксиомы поля и линейного порядка для них выполняются. Более того, основоположники математического анализа прямо использовали бесконечно малые числа в своих рассуждениях. Позже от них отказались и заменили пределами, потому что были проблемы с логическим обоснованием. Эти проблемы удалось преодолеть только в XX веке.

[EminentVictorians]

Nemiroff, я понял в чем проблема. Мы по разному понимаем смысл словосочетания "здравый смысл". Объясню, как я его понимаю. Я первоначально стал использовать это выражение в первой теме. Я делал противопоставление доказательств, основанных на обычной человеческой логике и доказательств, сделанных формально в рамках какой-то формальной системы, в частности формальной ZFC. Другими словами. Берем любую теорему из учебника матанализа, смотрим на ее доказательство. Это доказательство будет из категории "здравый смысл". Парадокс Банаха-Тарского из категории "здравый смысл". Нигде не дифференцируемая непрерывная функция из категории "здравый смысл". Во всех этих утверждениях для их доказательств используется обычная человеческая логика. Не формальная логика. То, что функция, непрерывная в точке, может быть разрывной в окрестности этой точки -- это здравый смысл. Здравый смысл = нормальная человеческая логика.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Любому человеку абсолютно очевидно, что если в множестве $B$ элементов больше, чем в множестве $A$, то и подмножеств в $B$ больше, чем в $A$.

Если множества конечные, то сравниваем $2^x$ и $2^y$ и тем самым, утверждение верно. Для бесконечных множеств - это уже другое утверждение. Здравый смысл говорит нам, что не всегда утверждения, справедливые в конечном случае, справедливы и в бесконечном. Так что утверждение для бесконечного случая совсем не очевидно и нуждается в доказательстве или опровержении. Пока никакого выхода за рамки здравого смысла не было.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Также любому человеку абсолютно очевидно, что если подмножество вещественных чисел таково, что его можно покрыть счётной системой интервалов любых наперёд заданных длин (у каждого интервала своё ограничение по длине), то это подмножество счётно.

Не могу однозначно интерпретировать написанное, нужна точная формулировка. Я понял это утверждение так. Если для любого $\varepsilon > 0$ существует счетное покрытие $\Omega$ интервалами некоторого множества $M \subset \mathbb R$ такое, что длина каждого интервала меньше $\varepsilon$, то множество $M$ не более, чем счетное. Утверждение в такой формулировке ложное. Выбираем $\varepsilon > 0$. Берем счетную систему интервалов длины $\frac{\varepsilon}{2}$ и благополучно покрываем ей всю действительную ось, про которую известно, что она несчетная. Но мне кажется, Вы не это имели в виду, потому что в такой формулировке слишком просто получается. Если Вы имели в виду формулировку: Если для любого $\varepsilon > 0$ существует не более чем счетное покрытие $\Omega$ интервалами некоторого множества $M \subset \mathbb R$ такое, что сумма длин этих интервалов меньше $\varepsilon$, то множество $M$ не более, чем счетное. Такое утверждение тоже ложное. Берем любое несчетное множество меры ноль и оно будет контрпримером, например канторово множество. Замечу, что ни в одном из этих случаев выхода за рамки здравого смысла в рассуждениях не последовало. Все в рамках обычной человеческой логики.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Существует ли свободный ультрафильтр на натуральных числах? Ну конечно вы можете сказать "либо да, либо нет"

Именно так. Причем ответ, насколько я понимаю "да". Но так отвечать могут лишь те, кто считает аксиому выбора однозначно верной. Я считаю. Поэтому и этот ультрафильтр есть.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Вы не можете доказать его существование, предъявив его.

И пусть, какая проблема то? Там где я использую метод от противного, я тоже доказываю что-то без явного предъявления. Другими словами, чтобы доказать существование объекта - иногда строить его явно не обязательно.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Вам нужно что-то другое -- вы привлекаете мощь аксиомы выбора и логики и говорите: "Ну да, он есть".

Не так. Я не привлекаю мощь логики. И даже мощь аксиомы выбора не привлекаю, т.к. обладать какой-то мощью она может только для тех, кто в ней сомневается и пытается строить теорию без нее. Я то не сомневаюсь. Я ничего не привлекаю, а просто рассуждаю как обычно.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Но в процессе вы опять-таки "очевидную абсолютность" заменили на весьма странный (что скажет здравый смысл?) принцип, так что теперь и не знаешь, верить вашим рассуждениям или нет.

А это уже совсем нет. С этим ультрафильтром я рассуждал как обычно. Да, использовал аксиому выбора. И ничего, все нормально. На какой странный принцип я что-то заменял?

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Действительные числа "слабее" натуральных. В том смысле, что вам хватит аксиоматики Пеано и каких-то простых понятий о множествах, чтоб построить вещественные числа. Так что не велика добавка.

Но я то говорил про аппарат матанализа и теории вероятностей. Влезет ли он в PA + простые понятия о множествах? Мне совсем не очевидно, что влезет.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Эта презумпция не выполняется не в какой-то системе (тут же даже строгих определений хорошести нет), она не выполняется по факту. Она интуитивно не выполняется. Если числа я ещё как-то могу понять, то функции над вещественными числами ведут себя столь патологически, что существует куча утверждений вида "существует функция с такими-то свойствами", про которые заранее чёрт пойми вообще что можно сказать.

Это потому что мы презумпцию по разному понимаем. Смотрите: даже про обычные натуральные числа, если они "действительно большие", черт пойми что вообще можно сказать. Я говорю про числа и их свойства такие, что, чтобы эти свойства выловить, нужны триллионы математиков, живущих по 1000 лет и работающих со дня появления Вселенной. Вообще странно, что нету горы просто формулируемых вопросов о натуральных числах, на которые заведомо не получится найти ответ в ближайшие 1000 лет (а может просто я не знаю -- это был бы самый приятный для меня сценарий, если бы они были). Короче говоря, я верю, что существуют структуры на обычных натуральных числах, которые настолько сложные, что даже самое компактное их описание неподвластно человеческому обществу в принципе. Но не стоит из-за этого считать натуральные числа "плохо определенными". Нормально они определены, просто никто не гарантировал, что хорошо определенные объекты должны иметь тривиальные свойства. С вещественными числами и их подмножествами аналогично.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Вам наверняка кажется очевидным, что к каждому натуральному числу можно прибавить единицу. Но с чего вы взяли, что это и правда "общефилософски" очевидно?

Вы правы, мне действительно так кажется и я действительно считаю это верным (не хочу использовать слово "очевидно", т.к. оно не в ту сторону смещает коннотации). Но не "общефилософски", а просто верным. Исходя из обычной человеческой логики. Я кстати как то читал текст, не помню кого, про то, что якобы пора искать замену натуральным числам, т.к. они "слишком регулярны", а нам хотелось бы иметь нечто, на них похожее, но обладающее некоторой размытостью в дали от маленьких чисел. Идея замечательная, я бы с радостью посмотрел бы на такие числа. В них действительно может случиться так, что если к какому-то большому числ прибавить единицу, то оно не изменится. Но это уже будет какой-то другой математический объект, а не натуральные числа.

Nemiroff в сообщении #1558978 писал(а):

Если "нафига логика" -- то логика -- это способ рассуждения и доказательства для перехода от предположений к следствиям.

Не "нафиг логику", а "нафиг формальную логику". Точнее даже ее, возможно, не нафиг, а просто честно признаться - формальная логика - это модель обычной человеческой логики. Одна из. И как любая модель, она может терять некоторые свойства оригинала. И точно так же - формальные доказательства в рамках каких-то формальных теорий (например, ZFC) - это не математические доказательства, а лишь модели математических доказательств, тусклые тени от реальных человеческих рассуждений.

[Nemiroff]

EminentVictorians в сообщении #1559052 писал(а):

Во всех этих утверждениях для их доказательств используется обычная человеческая логика. Не формальная логика.

Ну вот я считаю наоборот. Во всех этих утверждениях используется формальная логика -- потому что "обычной" логики не бывает. То, что при доказательстве не пишут $\vdash$ -- это мишура. От этого логика не становится "обычной". В конце концов, для более удобного восприятия многие учебники пишут "для любого вещественного $x$" вместо "$\forall x\in\mathbb{R}$".

EminentVictorians в сообщении #1559052 писал(а):

Не могу однозначно интерпретировать написанное, нужна точная формулировка.

Я ж написал, у каждого интервала своё ограничение. Для любой последовательности положительных чисел $\{a_n\}$ существует покрытие интервалами, что длина интервала номер $n$ меньше $a_n$.

EminentVictorians в сообщении #1559052 писал(а):

Влезет ли он в PA + простые понятия о множествах?

Не знаю. PA это (почти) ZFC без C, без аксиомы бесконечности и с добавленным отрицанием этой самой аксиомы. С другой стороны, ну и что.

EminentVictorians в сообщении #1559052 писал(а):

тусклые тени от реальных человеческих рассуждений

Несомненно это тени реальных рассуждений. Ну и что? Натуральные числа -- это тени реальных кучек камней. Непрерывные функции -- это тени физических процессов. Математика изучает тени, которые возникли в психике человека. Геометрия изучает тени реальных пространственных объектов. Алгебра -- тени операций над другими тенями. Формальная логика -- тени способов получить из одной мысли другую мысль.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1558975 писал(а):

А тут странная ситуация - мы сделали абсолютно неинтуитивное заявление и объявили его аксиомой. С этой точки зрения аксиома детерминированности больше похожа на теорему

Ну не знаю, на мой взгляд утверждение о том, что в игре с полной информацией у одного из игроков есть выигрышная стратегия - тоже довольно интуитивно.

[EminentVictorians]

Nemiroff в сообщении #1559057 писал(а):

Ну вот я считаю наоборот. Во всех этих утверждениях используется формальная логика -- потому что "обычной" логики не бывает. То, что при доказательстве не пишут $\vdash$ -- это мишура. От этого логика не становится "обычной".

"Обычная" логика предполагает и "обычную" теорию множеств (т.е. наивную). Мне совсем не очевидно, что любое нормальное рассуждение в рамках канторовской теории множеств формализуется в рамках какой-то формальной теории множеств. Как пример: рассматриваются какие-нибудь категории и функторы между ними, естественные преобразования и т.д. Я не уверен, влезут ли такие рассуждения в какую-нибудь широкоизвестную формальную теорию множеств.

Nemiroff в сообщении #1559057 писал(а):

Я ж написал, у каждого интервала своё ограничение. Для любой последовательности положительных чисел $\{a_n\}$ существует покрытие интервалами, что длина интервала номер $n$ меньше $a_n$.

Теперь понял, интересная задача. "Интуитивно" кажется, что канторово множество подошло бы. Но повторюсь, то что кажется интутивно не обязано входить в категорию "здравый смысл". Вот если будет обычное доказательство этого факта на естественном языке, то войдет. Пока это "интуитивно" ни о чем не говорит. Но я посчитал, что поделиться ощущениями не будет лишним. Доказать или опровергнуть сам факт не могу.

mihaild в сообщении #1559074 писал(а):

Ну не знаю, на мой взгляд утверждение о том, что в игре с полной информацией у одного из игроков есть выигрышная стратегия - тоже довольно интуитивно.

Я не изучал теорию игр, поэтому не могу говорить с пониманием дела. Но интуитивно кажется так, будто строгое понятие стратегии совсем не тривиально.

Someone в сообщении #1559019 писал(а):

Что значит — "другие"? А какие должны быть? Это действительные числа. Элементы поля действительных чисел.

Действительные числа я понимаю как конкретное множество. Берем натуральные числа (известная конструкция с пустыми множествами), далее строим целые числа (не помню как там строго это делается, вроде бы пары натуральных), далее строим рациональные числа (сначала берем множество пар целых чисел, затем берем его фактормножество по известному отношению эквивалентности), далее уже строим действительные из рациональных (например, как классы эквивалентности сечений Дедекинда). Иными словами, мы построили конкретное множество -- оно и только оно называется вещественными числами. Потом, как я понимаю, средствами, которые изобрел Робинсон, строится уже другое множество, которое сохраняет все свойства первого множества, выразимые в логике первого порядка (а значит и аксиомы поля и порядка). Но это "новое" множество уже другое.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1559093 писал(а):

"Интуитивно" кажется, что канторово множество подошло бы.

Попробуйте покрыть его последовательностью интервалов, у $i$-го из которых длина равна $3^{-i-3}$.

[Padawan]

Someone в сообщении #1559019 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1558969 писал(а):

Нестандартные действительные числа - это же не действительные числа, а другие объекты теории множеств?

Что значит — "другие"? А какие должны быть? Это действительные числа. Элементы поля действительных чисел. Все аксиомы поля и линейного порядка для них выполняются. Более того, основоположники математического анализа прямо использовали бесконечно малые числа в своих рассуждениях. Позже от них отказались и заменили пределами, потому что были проблемы с логическим обоснованием. Эти проблемы удалось преодолеть только в XX веке.

А аксиома полноты (аксиома непрерывности) в каком варианте для них выполнена? Если потребовать, чтобы любое не пустое ограниченное сверху множество имело точную верхнюю грань, то ничего, кроме обычных действительных чисел не существует. С точностью до единственного изоморфизма.

[Nemiroff]

Padawan в сообщении #1559097 писал(а):

А аксиома полноты (аксиома непрерывности) в каком варианте для них выполнена? Если потребовать, чтобы любое не пустое ограниченное сверху множество имело точную верхнюю грань, то ничего, кроме обычных действительных чисел не существует. С точностью до единственного изоморфизма.

Как я понимаю, это и есть основная претензия ТС к логике первого порядка.

Что "на самом деле" множество действительных чисел уникально, а логика первого порядка этого не понимает

[Nemiroff]

Padawan в сообщении #1559097 писал(а):

А аксиома полноты (аксиома непрерывности) в каком варианте для них выполнена?

Каждое определимое формулой первого порядка множество $X$ в $\mathbb{R}$ будет иметь свой аналог $\phantom{.}^*X$ в $\phantom{.}^*\mathbb{R}$. Если $X$ было непустым ограниченным сверху, то у $\phantom{.}^*X$ есть точная верхняя грань.

[EminentVictorians]

Nemiroff в сообщении #1559124 писал(а):

Каждое определимое формулой первого порядка множество $X$ в $\mathbb{R}$ будет иметь свой аналог $\phantom{.}^*X$ в $\phantom{.}^*\mathbb{R}$. Если $X$ было непустым ограниченным сверху, то у $\phantom{.}^*X$ есть точная верхняя грань.

А рассуждая в рамках нестандартного анализа можно использовать обычную человеческую логику (как в обычном матане)? А то откуда я наперед знаю, какие подмножества определимы в логике первого порядка, а какие - нет. Не заниматься же непосредственной формализацией.