Группа изометрий квадрата

[sour]

Решаю сейчас одну задачу, надо задать группу изометрий квадрата с помощью порождающих и соотношений. Я знаю, что любая изометрия квадрата может быть получена с помощью композиции двух отражений, одно из которых - отражение относительно оси, проходящей через центры противоположениях рёбер, а другое - отражение относительно оси, проходящей через противоположением вершины квадрата. Я думаю, что в моем задании должно быть две образующих a и b и такие соотношения: $a^2$, $b^2$ и $(ab)^4$. Но как доказать, что группа, задаваемая таким образом, действительно изоморфна группе изометрий квадрата?

Я думаю, что надо доказать, что фактор свободной группы по нормальному замыканию этих соотношений содержит 8 смежных классов и таблица Кэли для этих классов такая же, как и для симметрий квадрата. Но как мне доказать, что этих классов будет действительно 8? Вот, например, $abab$. Как мне понять, что этот элемент не принадлежит нормальному замыканию?(в группе изометрий квадрата это поворот на 180).

[Slav-27]

Докажите, что если изометрия квадрата фиксирует все вершины, то она тождественное отображение. Из этого следует, что изометрия квадрата однозначно определяется действием на вершины, то есть группа изометрий вкладывается в $S_4$. Остаётся выяснить, какие перестановки вершин продолжаются до изометрий квадрата.

[sour]

Slav-27
Но ведь мне надо определить не то, какие элементы группы изометрий квадрата образуют всю группу, а какая система образующих и соотношений образуют группу, изоморфную группе изометрий квадрата.

[Slav-27]

sour
Докажите, что каждое слово в свободной группе, порождённой $a,b$, можно заменить словом "канонического вида", переходящим при факторизации по соотношениям туда же, куда и исходное, а "канонических видов" ровно 8.

-- 17.06.2022, 01:24 --

Говоря иначе: придумайте такие 8 слов, что любое слово можно превратить в одно из этих 8 с помощью соотношений.

[sour]

Slav-27
Да, я их уже давно придумал. Вот они, слева направо: $e$, $a$, $b$, $ab$, $aba$, $abab$... $abababa$.
Проблема в том, что я не уверен, что, например, элемент $abab$ действительно будет каноническим представителем какого-то смежного класса. Ведь в определении задания группы речь идет о факторе по нормальному замыканию, а как это нормальное замыкание выглядит мне непонятно. Ведь вполне может быть так, что $abab$ ему принадлежит. Может даже быть так, что вся группа с ним совпадает. Вот этот момент мне непонятен.

Вернее, я понимаю, что, например, $abab$ не принадлежит замыканию, что мой выбор канонических представителей верен. Но я не знаю, как это доказать.

[Slav-27]

sour
У вас есть сюръективный гомоморфизм из свободной группы с 2 образующими в группу изометрий квадрата, который соотношения переводит в 1, а эти 8 слов -- не в 1, значит, они не принадлежат нормальному замыканию соотношений.

[svv]

sour в сообщении #1557650 писал(а):

Вот они, слева направо: $e$, $a$, $b$, $ab$, $aba$, $abab$... $abababa$.

$abababa=abababab^2=(ab)^4b=b$

[sour]

svv
Ну да, $abababa$ и $b$ лежат в одном смежном классе, это я знаю.
Slav-27
Спасибо.

[Slav-27]

Пожалуйста (а svv, думаю, имеет в виду, что $b$ в ваш список слов попало по недосмотру).

[sour]

Slav-27
Все же я чего-то недопонял. Есть эпиморфизм из свободной группы из двух элементов в группу изометрий квадрата. Есть у него ядро. Нормальное замыкание будет подгруппой этого ядра. Но вот как может оказаться: замыкание меньше ядра, а значит фактор по замыканию гомоморфен но не изоморфен фактору по ядру. Т.е., например, фактор по ядру имеет порядок 8 и изоморфен группе изометрий квадрата, а вот фактор по замыканию имеет порядок 16.

Чтобы все было как надо, надо чтобы замыкание совпадало с ядром эпиморфизма. Понятно, что всякий элемент замыкание является элементом ядра, значит надо доказать, что всякий элемент ядра тоже принадлежит замыканию. Но как это сделать я пока не понимаю. Есть подсказка какая-нибудь?

[Slav-27]

sour в сообщении #1557790 писал(а):

а вот фактор по замыканию имеет порядок 16

В факторе по нормальному замыканию соотношений не больше 8 элементов, потому что каждое слово можно с помощью соотношений превратить в одно из слов 8-элементного списка.

[sour]

Slav-27
У меня есть идея получше. Но я в ней до конца не уверен.

Допустим у нас есть наперед заданная группа $G$, мы нашли множество ее образующих $S$. Можно построить эпиморфизм $\varphi \colon \mathcal F_S \mapsto G$. По теореме о гомоморфизме $\mathcal F_S / \operatorname{Ker} \varphi \simeq G$. $\operatorname{Ker} \varphi$ состоит из слов, которые отображаются в элементы $G$, в степени их порядка, а так же из всех сопряженных с ними слов и всевозможных композиций всех этих слов. Теперь возьмем множество слов $R$, которые отражаются в элементы попарно различных классов сопряженности, в степенях, равных их порядку. Возьмем замыкание $N=R^{\mathcal F_S}$, оно будет содержать слова, сопряженные со словами из $R$, а значит все слова, которые отображаются в элементы $G$, в степени их порядка, а так же из всех сопряженных с ними слов и всевозможных композиций всех этих слов.

Из всего вышенаписанного с учетом минимальности замыкания получаем, что $N = \operatorname{Ker} \varphi$, а значит $\mathcal F_S / \operatorname{Ker} \varphi = \mathcal F_S / N \simeq G$.

Верны ли мои рассуждения?

[Slav-27]

sour
Может быть, там всё и правильно, но лично я ничего не понял (что вы доказываете, зачем и каким образом).

[vpb]

sour в сообщении #1557873 писал(а):

Верны ли мои рассуждения

Мутные. Видно, что путаница в голове.

Это, прямо скажем, место скользкое. Допустим, у нас есть символы $x_1,\ldots,x_m$ и групповые слова от них $R_1,\ldots,R_n$ от них (групповые значит, что это слова от символов $x_i$ и $x_i^{-1}$). Пусть $R$ --- еще одно слово. Спрашивается, что означает фраза "равенство $R=1$ следует из равенств $R_1=1,\ldots,R_n=1$" ? Это можно понимать тремя способами:

(1) слово $R$ можно переписать в пустое слово, некоторой процедурой, используя соотношения $R_i=1$ ;

(2) слово $R$ лежит в нормальном замыкании, в свободной группе, слов $R_i$ ;

(3) в любой группе, в которой для некоторых элементов верны соотношения $R_i=1$, верно также и соотношение $R=1$.

Вот, надо четко понимать и знать доказательство (!) того, что эти три условия эквивалентны.

Есть такие две книжки:
Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах;
Каррас, Магнус, Солитэр, Комбинаторная теория групп.

Рекомендуется из Ольшанского прочитать внимательно первую главу, особенно в ней последний параграф.
А также можно почитать начало первой главы из второй книжки. У меня когда-то после первой главы Ольшанского (не только его одного, правда) многое в голове встало на место. Может, и вам поможет.

-- 18.06.2022, 23:17 --

Какая, вообще, более-менее стандартная процедура доказательство того, что

$$\langle x_1,\ldots,x_m \mid R_1=1,\ldots,R_n=1\rangle$$

есть копредставление для группы $G$ ?

1) Найти в группе $G$ элементы $x_i$, для которых выполняются соотношения $R_j=1$ ;

2) Доказать, что $x_i$ порождают $G$ ;

3) найти некоторое множество $W$ групповых слов от $x_1,\ldots, x_m$ такое, что любое групповое слово от $x_i$ можно переписать, используя соотношения $R_j=1$, в слово из множества $W$ ;

4) Проверить, что различные слова из $W$ представляют (т.е. отображаются в ) различные элементы из $G$
(это можно сделать, например, посчитав слова из $W$ и показав, что их число не более чем порядок группы $G$.

-- 18.06.2022, 23:52 --

Наконец, еще одно замечание. Вы, как я понимаю, занимаетесь самообразованием. В этой связи полезно иметь в виду, что изучение групп с точки зрения образующих и соотношений (комбинаторная теория групп) --- это относительно специальный раздел. А ему должно предшествовать знание общей теории групп. Например, знание основной теоремы о конечнопорожденных (а для начала просто конечных) абелевых группах, или там теорем Силова.

[Nartu]

Мне как раз тоже не помешает узнать о комбинаторном представлении груп симметрий правильного многоугольника.
Но я видел формулу для одного, и предположил, что оно обобщается на остальное.
Да и тем более - пример был чётного порядка. Я прикинул в уме и понял, что это вполне верно, так что я оставлю догадку в спойлере:

(Оффтоп)

$\left\langle \, a,\,t\;|\;a^n=1,\, t^2=1, \, tat=a^{-1}\,\right\rangle$