Сравнение двух кривых (функций). Поиск меры сравнения

[artful7]

Здравствуйте.

Ищу методику сравнения гибкости двух заданных плоских геометрических кривых (непрерывных и не замкнутых).
Кривые выражаются некоторыми заданными функциональными зависимостями, например это два сплайна - второй и третьей степени (или наоборот, кубический сплайн и ломаная линия), с отличающимся количеством точек, управляющих их формой.

Какую обобщенную меру их сравнения здесь можно предположить? Наведите, пожалуйста, меня на правильную мысль.

P.S. Эта мера должна учитывать линейность/нелинейность кривой, количество точек управления формой кривой и если возможно, то еще и учесть степень гладкости кривой. Полученная мера должна представлять некий коэффициент. За нулевую точку отсчета можно взять ТОЧКУ, как самую негибкую единицу.

Спасибо.

[worm2]

Например,
Гибкость(u)=

$$\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b (u'')^2 dx$$

.
(если кривая задана уравнением u=u(x)).
Такая мера гибкости минимальна для кубического сплайна. Однако она неинвариантна относительно поворотов системы координат.
Инвариантной будет среднеквадратичная кривизна:

$$\frac{1}{L}\int\limits_0^L (\kappa(s))^2 ds$$

,
где s --- естественная параметризация кривой (длиной), $\kappa(s)$ --- её кривизна, L --- длина всей кривой.
Как минимизировать такую величину, сказать затрудняюсь. Но у меня есть подозрения, что идеально гибкий и прут, который как-то закрепили, будет стремиться принять такую форму, чтобы его среднеквадратичная кривизна была минимальна.

[Алексей К.]

worm2 в сообщении #154442 писал(а):

(если кривая задана уравнением u=u(x)).
Такая мера гибкости минимальна для кубического сплайна. Однако она неинвариантна относительно поворотов системы координат.

Неинвариантность здесь как бы вторичный эффект --- при поворотах теряется сама возможность представления кривой в виде графика некой функции u(x) (если таковая возможность вообще случайно имелась).

Аналогом формулы

worm2 писал(а):

Гибкость(u) =

$$\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b (u'')^2 dx$$

было бы, видимо, Гибкость=$\int\limits_{t_1}^{t_2} (x''_{tt}^2+y''_{tt}^2) dt$ (если кривая задана уравнениями $x=x(t),\; y=y(t)$).
Такая мера гибкости минимальна для (двумерного) кубического сплайна. Однако она неинвариантна относительно перепараметризации.
Копию среднеквадратичной кривизны (для произвольной, необязательно натуральной параметризациии) тоже можно выписать... Чуть-чуть поднатужиться...

$$\dfrac{\int\limits_{t_1}^{t_2} \dfrac{(y''x'-x''y')^2}{(x'^2+y'^2)^{5/2}} dt}{\int\limits_{t_1}^{t_2}(x'^2+y'^2)^{1/2}dt}$$

Добавлено спустя 32 минуты 5 секунд:

То, что эта величина называется гибкостью, для меня новость (или забытое старое).

[artful7]

Цитата:

То, что эта величина называется гибкостью, для меня новость (или забытое старое).

А как она называется?

[Алексей К.]

Я не говорил, что название неверно. Только, что не встречал (при том, что вроде много читал). Т.е. не могу за него отвечать.
Кажется, эти штуки (функционалы от кривой) ассоциировались с энергией согнутой линейки (не просто согнутой, а типа закреплённой в нескольких промежуточных точках) и даже так, "энергетически", и назывались. Поиск кривой, на которой достигается минимум упругой энергии, приводил к сплайнам (по определению). Подменяя физичную формулу (с кривизной и длиной дуги) некой оценкой (сумма квадратов вторых производных), получали кубические сплайны.

Добавлено спустя 9 минут 45 секунд:

Буржуйская Википедия слегка заикается об этом (см. History).

[artful7]

worm2 писал(а):

Инвариантной будет среднеквадратичная кривизна:

$$\frac{1}{L}\int\limits_0^L (\kappa(s))^2 ds$$

Здесь L обозначает длину кривой, следовательно, чем больше длина кривой, тем меньше ее кривизна - это логично. Но этим критерием характризовать гибкость кривой не получится.
Например, если взять 2 сплайна с одинаковым количеством параметров настройки (формы), то интуитивно понятно, что возможности настройки у них одинаковы. Но если значения соответствующих параметров настройки у этих сплайнов задать различными (т.е. сплайны на вид будут взаимно отличаться), то получится, что значения кривизны у них также будут различны. Но ведь ВОЗМОЖНОСТИ настройки (параметры, управляющие формой) у этих сплайнов - равны.

И интеграла в критерии оценки гибкости не должно быть, т.к. интегрирование - это неизбежная привязка к значениям параметров функции (форме функции). Кроме того, критерий гибкости не должен зависеть от значения аргумента.

Я склоняюсь к некоторой шкале, согласно которой коэффициент гибкости k равен:
а) k=0 - для точки, т.к. точка, как геометрический объект, не имеет формы;
б) k=1 - для прямой, выражаемой линейной функцией;

эти первые два пункта надо принять как аксиому, а далее уже действовать по формуле

$$k = z \cdot G$$

, где

$$z$$

-количество звеньев (сегментов), из которых состоит кривая,

$$G$$

-гибкость одного звена.

Вопрос теперь в том, как считать

$$G$$

...

[Алексей К.]

artful7 в сообщении #154600 писал(а):

Здесь L обозначает длину кривой, следовательно, чем больше длина кривой, тем меньше ее (среднеквадратичная? --- АК) кривизна - это логично.

Это неверно. В числителе длина кривой тоже незримо присутствует. Возьмите периодическую кривую: обсуждаемая величина будет с затухающими колебаниями стремиться в некоторой положительной константе, не к нулю. Ещё проще --- окружность.

artful7 в сообщении #154600 писал(а):

Но этим критерием характризовать гибкость кривой не получится.

Мне (даже для себя) трудно формализовать привычное бытовое понятие гибкости. Наверное, надо отказаться от сидящего там смысла "способность к чему-то". С, например, "изогнутостью" было бы проще.

Добавлено спустя 11 минут 14 секунд:

artful7 в сообщении #154397 писал(а):

Эта мера должна учитывать линейность/нелинейность кривой, количество точек управления формой кривой

Стало быть, Вы говорите о неком подклассе кривых, в определениях которых имеется понятие контрольных точек (про веса пока умалчиваем)...

[artful7]

Не могу поверить, что вопрос гибкости настолько несущественен, что о нем никто не знает...

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Алексей К. в сообщении #154622 писал(а):

artful7 в сообщении #154600 писал(а):
Здесь L обозначает длину кривой, следовательно, чем больше длина кривой, тем меньше ее (среднеквадратичная? --- АК) кривизна - это логично.
Это неверно.

Не думаю...

Добавлено спустя 48 секунд:

Алексей К. в сообщении #154622 писал(а):

Ещё проще --- окружность.

Я уже отметил, что кривая - незамкнутая.

[Алексей К.]

artful7 в сообщении #154600 писал(а):

И интеграла в критерии оценки гибкости не должно быть, т.к. интегрирование - это неизбежная привязка к значениям параметров функции (форме функции). Кроме того, критерий гибкости не должен зависеть от значения аргумента.

Не понял. Всюду стоят определённые интегралы.

Добавлено спустя 59 секунд:

artful7 в сообщении #154629 писал(а):

Я уже отметил, что кривая - незамкнутая.

Берите любую дугу окружности --- результат $1/R^2$.

Добавлено спустя 9 минут 57 секунд:

artful7 в сообщении #154629 писал(а):

Не могу поверить, что вопрос гибкости настолько несущественен, что о нем никто не знает...

Ну почему же? worm2, похоже, что-то знает. Да и в своей статье я нашёл тексты ---

Цитата:

Так, в статье J.M.~Ali и др., "The generalised Cornu spiral and its application to span generation", сетуя на недостаточную гибкость спирали Корню, авторы наделяют её дополнительной степенью свободы.

В предлагаемом решении мы компенсируем недостаточную гибкость практически любой известной спирали тем, что ...

Но здесь была гибкость в бытовом смысле --- способность изогнуться так, чтобы удовлетворить неким гр. условиям (не приобретя при этом новых вершин), ничего общего с Вашей трактовкой. Простейшая мера такой гибкости --- количество параметров в определении кривой.

[artful7]

Алексей К. в сообщении #154633 писал(а):

Простейшая мера такой гибкости --- количество параметров в определении кривой.

Да, нечто похожее. Но параметр параметру - рознь.

[Алексей К.]

artful7 в сообщении #154642 писал(а):

Но параметр параметру - рознь.

Ну да... Один за гомотетию отвечает (забудем про лог. спираль, где такового нет), другие за всякие выкрутасы...

Добавлено спустя 2 минуты 9 секунд:

artful7 в сообщении #154629 писал(а):

Не думаю...

В смысле, сейчас не думаете, а завтра, например, сможете подумать? И согласиться?

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

artful7 писал(а):

Алексей К. в сообщении #154633 писал(а):

Простейшая мера такой гибкости --- количество параметров в определении кривой.

Да, нечто похожее.

Но тогда точка и прямая, которым Вы приписали крайние значения гибкости, по этой мере неразличимы.

[artful7]

Алексей К. в сообщении #154655 писал(а):

Но тогда точка и прямая, которым Вы приписали крайние значения гибкости, по этой мере неразличимы.

Вот это непонятно... Почему Вы говорите о крайних значениях гибкости? Параметр гибкости разве должен укладываться в интервал [0, 1]?

[Алексей К.]

Так я проинтерпретировал Ваше замечание

artful7 в сообщении #154600 писал(а):

Я склоняюсь к некоторой шкале, согласно которой коэффициент гибкости k равен:
а) k=0 - для точки, т.к. точка, как геометрический объект, не имеет формы;
б) k=1 - для прямой, выражаемой линейной функцией;

Возможно, не то, что имели в виду Вы.
То есть --- я по-прежнему не знаю, каким смыслом Вы наполняете понятие "гибкость кривой". И worm2 молчит...
То есть, в частности, я не приемлю утверждение, что "точка, как геометрический объект, не имеет формы;"
Легко соглашусь, что точка, как и прямая, не имеют параметра формы.

Добавлено спустя 9 минут 11 секунд:

Кстати, безьюхи, NURBSы от того такие "гибкие", что в них до хрена параметров. Каждая (внутренняя) котнрольная точка --- пара дополнительных параметров формы (о весах не говорю).

[artful7]

Алексей К. в сообщении #154661 писал(а):

Так я проинтерпретировал Ваше замечание
artful7 в сообщении #154600 писал(а):
Я склоняюсь к некоторой шкале, согласно которой коэффициент гибкости k равен:
а) k=0 - для точки, т.к. точка, как геометрический объект, не имеет формы;
б) k=1 - для прямой, выражаемой линейной функцией;

эти первые два пункта надо принять как аксиому, а далее уже действовать по вышеприведенной формуле.
Поэтому оценки гибкости точки и прямой - это только начало шкалы, а не крайние значения.

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Алексей К. в сообщении #154661 писал(а):

Кстати, безьюхи, NURBSы от того такие "гибкие", что в них до хрена параметров. Каждая (внутренняя) котнрольная точка --- пара дополнительных параметров формы (о весах не говорю).

Вот, вот! Об этом то я и толкую! Ведь это - явные параметры, управляющие формой этих кривых. Как сравнивать кривые между собой? Ну не тупым пересчетом количества параметров! Нужен количественный показатель, а не качественный.

[Алексей К.]

artful7 в сообщении #154664 писал(а):

Ну не тупым пересчетом количества параметров! Нужен количественный показатель, а не качественный

Пересчёт количества параметров (тупой ли, сдобренный ли каким-то наукообразием) есть именно показатель количественный. Ну, дискретный, но никак не качественный (о переходе количества в качество я здесь не рассуждаю).