Мю-измеримость и B-измеримость

[artempalkin]

Колмогоров объясняет, что функция действительной переменной называется $\mu$-измеримой, если полный прообраз любого борелевского множества есть измеримое с точки зрения меры $\mu$ множество. В этом плане функция называется борелевской (или В-измеримой), если полный прообраз любого борелевского множества относительно нее - борелевское множество.

Также Колмогоров предлагает называть $\mu$-измеримость просто измеримостью.

И вот возникает вопрос: будет ли функция $f(x)=x$ измеримой на $\mathbb{R}$? к моему удивлению ответ "нет", потому что лучи отображаются в лучи, то есть неизмеримые с точки зрения меры Лебега множества!

Она, конечно, будет В-измеримой, но не измеримой. Я правильно понимаю?

[Nemiroff]

"Измеримое множество" и "множество конечной меры" -- это разные вещи.

[mihaild]

О какой книге речь? В "Элементах теории функций" Колмогорова, Фомина, издании 1976 года, лучи измеримы по Лебегу.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1544699 писал(а):

О какой книге речь? В "Элементах теории функций" Колмогорова, Фомина, издании 1976 года, лучи измеримы по Лебегу.

"Элементы теории функций и функционального анализа" 2019 года

В том-то и дело, что я не нашел ясного указания, кроме только Теоремы 6 на стр. 292, которая утверждает:


При любой исходной мере $m$ система множеств $\mathfrak{M}$, измеримых по Лебегу, является $\delta$-кольцом; измеримость множества $A=\cup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$ при измеримых $A_n$ имеет место в том и только в том случае, если меры $\mu\left(\cup\limits_{n=1}^{N}A_n\right)$ ограничены некоторой константой, не зависящей от $N$.

Луч можно представить объединением множеств, суммарная мера которых ничем не ограничена, очевидно.

С другой стороны вот сейчас я нашел на предыдущей странице 291: "Определение измеримости сохраняется без всяких изменений". Если измеримость определяется как и раньше (для $\forall \varepsilon$ найдется $B$: $\mu(A\bigtriangleup B)<\varepsilon$), то луч будет измерим, конечно

[Otta]

artempalkin в сообщении #1544694 писал(а):

к моему удивлению ответ "нет", потому что лучи отображаются в лучи, то есть неизмеримые с точки зрения меры Лебега множества!

А почему вдруг они стали неизмеримы?

artempalkin в сообщении #1544700 писал(а):

В том-то и дело, что я не нашел ясного указания, кроме только Теоремы 6 на стр. 292, которая утверждает:

При любой исходной мере $m$ система множеств $\mathfrak{M}$, измеримых по Лебегу, является $\delta$-кольцом; измеримость множества $A=\cup\limits_{n=1}^{\infty}A_n$ при измеримых $A_n$ имеет место в том и только в том случае, если меры $\mu\left(\cup\limits_{n=1}^{N}A_n\right)$ ограничены некоторой константой, не зависящей от $N$.

Если честно, я не очень понимаю, зачем эта теорема в Вашем случае.
Есть два факта: измеримые по Лебегу множества образуют сигма-кольцо.
Измеримые по Лебегу конечной меры - образуют дельта-кольцо.

Функция $f(x)=x$ измерима по Лебегу для стандартной меры-продолжения с полукольца одномерных брусов.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1544700 писал(а):

В том-то и дело, что я не нашел ясного указания, кроме только Теоремы 6 на стр. 292

Посмотрите внимательно - эта теорема про продолжение меры, заданной на полукольце без единицы, и получающееся продолжение тоже, вообще говоря, определено только на некотором $\delta$-кольце. Определение $\mu$-измеримости дается для меры, определенной на $\sigma$-алгебре.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1544706 писал(а):

Если честно, я не очень понимаю, зачем эта теорема в Вашем случае.

mihaild в сообщении #1544707 писал(а):

Посмотрите внимательно - эта теорема про продолжение меры, заданной на полукольце без единицы, и получающееся продолжение тоже, вообще говоря, определено только на некотором $\delta$-кольце.

С теоремой я что-то не понимаю, давайте пока ее оставим, я попробую разобраться (пока что тщетно ищу определение $\delta$-кольца хотя бы, гугл рассказывает о ювелирных украшениях).

Otta в сообщении #1544706 писал(а):

Есть два факта: измеримые по Лебегу множества образуют сигма-кольцо.

mihaild в сообщении #1544707 писал(а):

Определение $\mu$-измеримости дается для меры, определенной на $\sigma$-алгебре.

Так тем более функция $f(x)=x$ не будет измерима, ведь множество измеримых множеств не является $\sigma$-алгеброй, потому что исходное полукольцо не имеет единицы!

Я пытаюсь понять.
Исходное полукольцо "брусьев" (я так понял, это значит "числовые промежутки") ведь не имело единицы? Вся числовая прямая же не входит в полукольцо? Вроде бы речь идет только о конечных числовых промежутках.
Минимальное кольцо, построенное на этом полукольце, тоже не имеет единицы, так ведь? Для этого потребовались бы счетные объединения, а минимальное кольцо их не предполагает.
Измеримые же множества являются $\sigma$-кольцом, и, как допускающие счетные объединения, вдруг начинают содержать единицу? С этой точки зрения множество измеримых множеств на прямой можно назвать как $\sigma$-кольцом, так и $\sigma$-алгеброй. Правильно я понимаю?

[Otta]

artempalkin в сообщении #1544709 писал(а):

С теоремой я что-то не понимаю, давайте пока ее оставим, я попробую разобраться (пока что тщетно ищу определение $\delta$-кольца хотя бы, гугл рассказывает о ювелирных украшениях).

Кольцо, замкнутое относительно операции счетного пересечения.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1544709 писал(а):

пока что тщетно ищу определение $\delta$-кольца хотя бы

Воспользуйтесь алфавитным указателем)

artempalkin в сообщении #1544709 писал(а):

Так тем более функция $f(x)=x$ не будет измерима, ведь множество измеримых множеств не является $\sigma$-алгеброй, потому что исходное полукольцо не имеет единицы!

Какое "исходное"?
В любом случае, чтобы говорить об измеримости функции, нам нужна сигма-алгебра на её домене (на самом деле конечно нет, но формально по определению из К-Ф да).

Еще можете попробовать посмотреть построение меры Лебега в "Основах математического анализа" Рудина - по существу всё то же самое, но чуть менее общее и за счет этого сложнее запутаться.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1544712 писал(а):

Воспользуйтесь алфавитным указателем)

Дык я пытался, искал на букву "д" и "к", но мне в голову не пришло, что там в конце есть еще греческие буквы :)

-- 30.12.2021, 20:47 --

mihaild в сообщении #1544712 писал(а):

Какое "исходное"?

На исходном полукольце числовых промежутков.

Я там повыше написал размышления об этом. Кажется, в этом вопросе разобрался.

artempalkin в сообщении #1544709 писал(а):

Исходное полукольцо "брусьев" (я так понял, это значит "числовые промежутки") ведь не имело единицы? Вся числовая прямая же не входит в полукольцо? Вроде бы речь идет только о конечных числовых промежутках.
Минимальное кольцо, построенное на этом полукольце, тоже не имеет единицы, так ведь? Для этого потребовались бы счетные объединения, а минимальное кольцо их не предполагает.
Измеримые же множества являются $\sigma$-кольцом, и, как допускающие счетные объединения, вдруг начинают содержать единицу? С этой точки зрения множество измеримых множеств на прямой можно назвать как $\sigma$-кольцом, так и $\sigma$-алгеброй. Правильно я понимаю?

[artempalkin]

Дорогие друзья! И все-таки КФ утверждает, что лучи и вся прямая неизмеримы по Лебегу.

Рассмотрим определение измеримости множества (О2 стр 289 изд 2019), если исходная мера была определена на полукольце с единицей:

Цитата:

Множество $A$ называется измеримым (по Лебегу), если, каково бы ни было $\varepsilon>0$, найдется такое $B\in\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$, что

$$\mu^*\left(A\bigtriangleup B\right)<\varepsilon$$

Обратим здесь внимание, что в случае меры Лебега на прямой $\mathfrak{S}_m$ - множество конечных числовых промежутков (с некоторым промежутком, который содержит все остальные), а $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$ - множество конечных объединений попарно непересекающихся числовых промежутков (элементов из $\mathfrak{S}_m$).

Теперь перейдем к определению измеримости множества, если исходная мера была определена на полукольце БЕЗ единицы (стр 291, ближе к концу страницы):

Цитата:

Определение измеримости сохраняется без всяких изменений

При этом, как вы понимаете, $\mathfrak{S}_m$ - множество конечных числовых промежутков (но нет промежутка, который содержит все остальные, то есть все конечные числовые промежутки на прямой) и $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$ - множество конечных объединений попарно непересекающихся числовых промежутков (элементов из $\mathfrak{S}_m$).

Прямую, очевидно, нельзя покрыть никаким конечным объединением непересекающихся конечных числовых промежутков. Тогда $\mathbb{R}$ будет неизмеримо.

Чего я здесь принципиально не понимаю? :(

[mihaild]

Издания 2019 не нашел, смотрю по 2004, может быть немного другая нумерация.

artempalkin в сообщении #1544745 писал(а):

а $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$ - множество конечных объединений попарно непересекающихся числовых промежутков (элементов из $\mathfrak{S}_m$)

Где это написано? На странице 288 сказано "Пусть на некотором полукольце множеств $\mathfrak S_m$ ...", и дальнейшие рассуждения явно ведутся в этом предположении, т.е. для произвольного полукольца.

Собственно для случая плоскости (который очевидным образом обобщается на $\mathbb R^n$) мера Лебега рассмотрена в первом параграфе, и случай множеств бесконечной меры рассмотрен в 3 пункте на странице 278. И на странице 280 явно прописано "при любом выборе $F$ открытые и замкнутые множества, а следовательно, и все их счетные суммы и пересечения заведомо будут измеримы".

Вообще кажется в книге нигде в явном виде не написано, что такое мера Лебега для $\mathbb R^n$ - только что такое лебегово продолжение меры, и что такое лебегова мера на ограниченных подмножествах плоскости. Просто тут нужно договориться, что для $\mathbb R^n$ мы начинаем с полукольца, содержащего и неограниченные множества.

[Otta]

Рудин и вправду прозрачней в этой части.

mihaild в сообщении #1544753 писал(а):

Где это написано?

ТС ссылается на главу 5, параграф 3, п. 2.
artempalkin
Прочитайте, как уже посоветовали, первый параграф той же главы. И главу 5, параграф 3, п. 3. До того авторы постоянно подразумевают меру конечной, но оговаривают это явно крайне редко или между строк.

-- 31.12.2021, 14:14 --

mihaild в сообщении #1544753 писал(а):

Просто тут нужно договориться, что для $\mathbb R^n$ мы начинаем с полукольца, содержащего и неограниченные множества.

Не, ну это совсем необязательно. Полукольца интервалов (с границей или без) вполне достаточно.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1544753 писал(а):

Где это написано? На странице 288 сказано "Пусть на некотором полукольце множеств $\mathfrak S_m$ ...", и дальнейшие рассуждения явно ведутся в этом предположении, т.е. для произвольного полукольца.

Да, конечно, в том параграфе для произвольного. Но если мы применяем это содержание к прямой, то о какой $\mathfrak S_m$ может идти речь? $\mathfrak S_m$ - это в любом случае полукольцо с мерой (что подчеркивается буковкой $m$), определенной на этом полукольце, то есть ставящей в соответствие каждому элементу неотрицательное число. Такое полукольцо не может содержать никаких бесконечных числовых промежутков, т.к. им не получится придать никакой адекватной меры.

Если речь о $\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)$, то про то, что это множество конечных объединений элементов полукольца говорится многократно и даже доказывается как отдельная теорема (на стр. 51 в теме про системы множеств).

Итого ни исходное полукольцо (на котором задана мера, а значит оно не может содержать множеств бесконечной меры), ни минимальное кольцо, построенное на нем (которое есть множество объединений элементов полукольца) не содержит множеств, которыми можно покрыть прямую или луч!

-- 31.12.2021, 12:22 --

Otta в сообщении #1544754 писал(а):

Прочитайте, как уже посоветовали, первый параграф той же главы. И главу 5, параграф 3, п. 3. До того авторы постоянно подразумевают меру конечной, но оговаривают это явно крайне редко или между строк.

Проблема в том, что там то же самое.

Стр. 268

Цитата:

Назовем плоское множество элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников

(выделение, конечно, мое)
Стр. 273

Цитата:

Множество $A$ называется измеримым (в смысле Лебегу), если, каково бы ни было $\varepsilon>0$, найдется такое элементарное множество $B$, что

$$\mu^*\left(A\bigtriangleup B\right)<\varepsilon$$

Итого плоскость или, скажем, квадранты, неизмеримы, т.к. покрыть насколько-то близко КОНЕЧНЫМ числом прямоугольников их не получится

[Otta]

artempalkin
сигма-конечные меры ищите, ну. Я же Вам даже раздел сказала.