А как свернуты высшие измерения?

[Alastoros]

Если они есть, конечно. Но если электрический заряд имеет смысл 5-импульса, а они свернуты в сферу планковских масштабов, то электрические заряды вращаются и есть некая центростремительная сила, что обеспечивает периодичность по пятой координате, миросдерживающие 5-экраны или что-то в этом роде?

[Munin]

Alastoros в сообщении #1447179 писал(а):

А как свернуты высшие измерения?

По современным представлениям, в 6-мерное многообразие Калаби-Яу. В какое конкретно из многих возможных - неизвестно.

Alastoros в сообщении #1447179 писал(а):

что обеспечивает периодичность по пятой координате, миросдерживающие 5-экраны или что-то в этом роде?

Есть идея, что компактификация происходит за счёт натяжения струн, натянутых "поперёк" наших измерений.

[Утундрий]

Как много вопросов и как они забавно переплетены...

Действительно, как понять то, о чём мы понятия не имеем, а оно (если оно есть, конечно) внутре всего сидит и всем управляет? Наверное, его нужно заговорить и заспрашивать.

[Alastoros]

А как можно строго обосновать, что покинуть 3-пространство, используя взаимодействия только в нем, невозможно? Если, например, рассмотреть идеализированный случай точечных зарядов, лежащих строго на плоскости, и пренебречь всеми взаимодействиями, кроме электромагнитного, то оно будет оставлять эти точки на плоскости, электрическое поле будет только на их плоскости $XY$, а магнитное поле, которое могло бы выбрасывать их из их тюрьмы по третьему измерению, на плоскости будет отсутствовать, и они смогли бы прорваться в запределье только посредством взаимодействия с зарядами из параллельной плоскости.

И чему соответствовали бы орты осей координат, если бы их было четыре? В 3-случае это кватернионы $ijk = -1$, отсюда можно понять векторное произведение $(ij = k)$, а можно ли ввести для четырехмерного пространства свои особые мнимые числа такие, что $ijkt = -1$? Тогда было бы $ij = kt$, и формально такое понятно - если, например, для дрейфа скрещенные электрическое и магнитное поле создают движение заряженной частицы по направлению, перпендикулярному к их плоскости, то нет абсолютно никаких причин, которые заставляли бы реальность выбирать именно направление высоты, а не запределья.

Наверное, проще всего было бы постулировать, что четвертого измерения нет, - но если бы оно все-таки было (свернутое или нет, не имеет принципиального значения), как можно было бы обосновать, что из двух измерений дрейф всегда выбирает именно высоту этого мира? Понятно, что если оставаться в рамках теории Калуцы, где 5-компонента скорости пропорциональна электрическому заряду, выбор запредельного направления означал бы нарушение сохранения электрического заряда, а так как он сохраняется, значит, всегда выбирается высота, но это только доказывает такой выбор, но не объясняет его причин.

[bayak]

А почему вы так переживаете за высшие измерения? Ведь не исключено, что и пространственные измерения как-то свёрнуты. Например, для наблюдателя, находящегося на иррациональной обмотке тора, его собственная линия наблюдения это прямая, а для внешнего наблюдателя она свёрнута на торе.

[Alastoros]

Сравнил мои обобщенные кватернионы с октонионами, кроме $ijk$ там вводится элемент $l$, если каждому орту соответствует свой тип мнимой единицы и если пространство трехмерно, непонятно, зачем вообще нужен четвертый тип, но если пространство четырехмерно (и мнимых единиц на орты не хватает), очевидно, что они должны подчиняться таким правилам умножения, чтобы описывать свойства векторов в четырехмерном пространстве.

Нашел одну цитату (ссылку приводить не буду, там реклама выскакивает), очевидно, что автор опирался на какие-то книги по многомерной геометрии:

Цитата:

Когда векторное произведение определяют физики, они имеют ввиду обычное трехмерное пространство. Линия действия такого произведения перпендикулярна одновременно обоим сомножителям и определена однозначно. А если мы в 4-мерном пространстве попробуем определить прямую перпендикулярную двум данным ненулевым векторам, то обнаружим, что таких линий очень много и они образуют целую плоскость. В четырехмерном пространстве можно определить векторное произведение сразу трех векторов, взятых в определенном порядке. Аналогично для n-мерного пространства. Если в нем определено понятие перпендикулярности и определено понятие право-лево, то каждому набору из (n-1) векторов можно сопоставить их "векторное произведение", которое будет аналогом обычного векторного произведения, то есть перпендикулярно всем сомножителям, иметь длину равную (n-1)-объему паралеллепипеда, натянутого на сомножители и направленную так, что сомножители с добавленным произведением образуют правую систему векторов. Свойства линейности антисимметричности и многие другие хорошие свойства обычного векторного произведения сохраняются.

Но по таблице умножения элементов октавы свойство $ij = k$, а четвертая мнимая единица вообще в таблице просто механически комбинируется с другими, как будто введена искусственно и чужеродна первым трем, и если установить соответствие каждого типа мнимой единицы орту, неоднозначность векторного произведения из-за $ij = k$ и т.п. не получится, в отличие от $ij = kt$.

Но, может, есть какие-то математические законы, по которым создание таких кватернионов невозможно? (Нашел только https://www.rxiv.org/pdf/1907.0395v1.pdf , но там квадрат одного типа мнимой единицы установлен равному $+1$, да и неоднозначность векторного произведения двух векторов такие числа также учесть не смогут, к тому же если сказанное в цитате справедливо, то антикоммутация также должна быть).

[Someone]

Alastoros в сообщении #1538806 писал(а):

обобщенные кватернионы

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. Наука, Москва, 1973.

[Alastoros]

Просмотрел книгу, в § 14 дается требование к таблице умиожения
${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}} = {{k_{{\alpha}{\beta},1}}{i_1}} + {{k_{{\alpha}{\beta},2}}{i_2}} + ... + {{k_{{\alpha}{\beta},n}}{i_n}}$
, а откуда оно берется?

В § 7 таблица умножения мнимых единиц дается как
${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}} = {p_{{\alpha}{\beta},0}} + {{p_{{\alpha}{\beta},1}}{i_1}} + ... + {{p_{{\alpha}{\beta},n}}{i_n}}$
, а в § 5 говорится, что каждое произведение ${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}}$ должно снова представлять собой выражение вида ${a_0} + {{a_1}{i_1}} + {{a_2}{i_2}} + ... + {{a_n}{i_n}}$, а откуда вообще берется это требование, чтобы произведение двух типов мнимых единиц равнялось именно какой-то одной мнимой единице, а не более общее ${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}} = {{i_{\gamma}}{i_{\delta}}}$? Из обобщения от однозначности в низших размерностях что ли, но при $dim = 4$ это не выполняется.

Впрочем, формально это можно представить так, что три из произведений типов мнимых единиц (которые описывают плоскости в 4-пространстве, задаваемые векторными произведениями двух 3-векторов), в силу несводимости к какой-то одной из четырех основных типов (которые соотносятся с ортами), сами являются "мнимыми единицами", по свойствам их можно выбрать три штуки и тогда по определению это будет гиперкомплексная система размерностью 8.

В самом начале книги прочитал главное требование, предъявляемое к комплексным числам, что модуль произведения двух чисел должен быть равен произведению их модулей, проверил с учетом несводимых произведений пар и их свойств и это выполняется.

[пианист]

Alastoros в сообщении #1538871 писал(а):

откуда оно берется?

Прямо из определения.

Alastoros в сообщении #1538871 писал(а):

произведение двух типов мнимых единиц равнялось именно какой-то одной мнимой единице

А где Вы взяли, что "одной мнимой единице"? Линейной комбинации всех (мнимых и не) единиц, Вы же сами выше выписали.

Alastoros в сообщении #1538871 писал(а):

а не более общее ${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}} = {{i_{\gamma}}{i_{\delta}}}$?

Если Ваше "более общее" не элемент пространства, натянутого на $1, i_k$, то это не будет алгебра - в алгебре произведение двух элементов снова элемент алгебры и, значит, разлагается по базису.

[Mikhail_K]

Alastoros в сообщении #1538871 писал(а):

откуда вообще берется это требование, чтобы произведение двух типов мнимых единиц равнялось именно какой-то одной мнимой единице, а не более общее ${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}} = {{i_{\gamma}}{i_{\delta}}}$?

Это одно и то же. Если ${{i_{\alpha}}{i_{\beta}}} = {{i_{\gamma}}{i_{\delta}}}$, то ничего не мешает это произведение назвать "ещё одной мнимой единицей", например $i_\varepsilon$.

Alastoros в сообщении #1538806 писал(а):

Но по таблице умножения элементов октавы свойство $ij = k$, а четвертая мнимая единица вообще в таблице просто механически комбинируется с другими, как будто введена искусственно и чужеродна первым трем

Никакой разницы тут нет, это исключительно вопрос удобства. Решили для произведения $ij$ придумать отдельное обозначение $k$, а для $il$ придумывать не стали. Захотели бы - могли бы сделать наоборот, $ij$ так и писать $ij$, не вводя обозначение $k$, а для произведения, например, $il$ придумали бы отдельное обозначение. Нет такого разделения, что вот это - "настоящая мнимая единица", а вот это - "не настоящая", а только "произведение настоящих мнимых единиц".

-- 12.11.2021, 22:37 --

пианист в сообщении #1538911 писал(а):

Если Ваше "более общее" не элемент пространства, натянутого на $1, i_k$, то это не будет алгебра

Дело не в этом; Alastoros тут смотрит вот в эту таблицу умножения, верхнюю там, и думает, будто там только четыре мнимые единицы $i,\,j,\,k,\,l$, а $il,\,jl,\,kl$ ему "мнимыми единицами" не кажутся, вот он и недоумевает, почему при умножении $i$ на $j$ получается "настоящая" мнимая единица $k$, а при умножении $i$ на $l$ только "произведение" $il$. Конечно, дело тут только в обозначениях.

[Alastoros]

Mikhail_K в сообщении #1538914 писал(а):

почему при умножении $i$ на $j$ получается "настоящая" мнимая единица $k$, а при умножении $i$ на $l$ только "произведение" $il$

Нет, мне казалось другое - что это аналогично правилу умножения кватернионов, а если размерность больше трех и орты соответствуют типам мнимых единиц, такая однозначность $ij = k$ не даст правильного описания для векторного произведения. Я и сейчас считаю, что так как в случае 3-пространства векторное произведение описывалось кватернионами правильно, а в 4-пространстве оно неоднозначно и лежит в плоскости, то одновременно с переходом к 4-пространству должен быть и переход от кватернионов к чему-то еще - к математическому аппарату, который будет давать правильное описание векторного произведения - учитывать его неоднозначность.

[пианист]

Alastoros в сообщении #1538928 писал(а):

если размерность больше трех и орты соответствуют типам мнимых единиц, такая однозначность $ij = k$ не даст правильного описания для векторного произведения

Векторное произведение есть только в трехмерном пространстве.

[lek]

Alastoros в сообщении #1538928 писал(а):

должен быть и переход от кватернионов к чему-то еще - к математическому аппарату, который будет давать правильное описание векторного произведения - учитывать его неоднозначность.

Оправдать необходимость введения новой математической конструкции исключительно сложно. Тем более, что для ваших целей достаточно стандартной тензорной алгебры. См. например Ландау-Лифшиц (Том 2. Теория поля, 1988), где приведен "аналог" векторного произведения в размерности 4 (параграф 6, формула 6.11). Если использовать язык дифференциальных форм, то эту конструкцию легко обобщить на произвольную размерность.

[Alastoros]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1538967 писал(а):

Векторное произведение есть только в трехмерном пространстве.

Математические запреты вещь довольно условная, когда я читаю, что какое-то действие выполнить нельзя, я никогда не принимаю это как факт или как рамки, произвольно установленные кем-то на границы моего математического мышления, а хочу понять, почему именно нельзя, да и очень часто то, что раньше было нельзя, становилось можно в более общей модели, те же отрицательные числа, дроби и т.п. Если, например, "нельзя" найти ${\sin{\infty}}$, для меня это не запрет как правило, а только констатация бесконечного периодического изменения синуса при стремлении к такому пределу, и если его нельзя "найти" как обычный синус, то можно хотя бы пытаться выявить его связь с другими математическими выражениями с аналогичными свойствами, такими как $0^i$, ${\infty}^i$ , $i^{\infty}$ и $(-1)^{\infty}$. Или как запрет $0/0$, а почему нельзя делить $0$ на $0$? Да потому что этому выражению соответствуют многие числа, если к обычным числам предъявляется требование однозначности, то по такому определению это не число, но все поменяется, если обобщить такое определение, например если множество - это элементы, обладающие общим свойством, то числа, могущие быть результатом такой операции, будут элементами такого множества, и опять же, если эти числа - изменяющиеся функции, об истории которых можно что-то сказать, неопределенность можно раскрыть по правилу Лопиталя. Так и векторное произведение в 4-пространстве, если Вы говорите, что его нет == такую операцию сделать нельзя, я сразу спрошу - а почему нельзя? Если потому, что результат операции должен быть однозначно одним вектором, как и результат операции деления должен быть по определению только одним числом, то в этом и только в этом смысле Вы правы, что это не существует - но "не существует" только потому, что у него есть неприемлемое для такого определения свойство многозначности, и вот возможность описания такой многозначности для меня и является критерием корректности конкретной системы гиперкомплексных чисел для пространства такой размерности.

[пианист]

(Оффтоп)

Alastoros в сообщении #1539030 писал(а):

Так и векторное произведение в 4-пространстве, если Вы говорите, что его нет == такую операцию сделать нельзя, я сразу спрошу - а почему нельзя?

Да все просто, по построению так. Определение векторного произведения существенно использует трехмерность.

Alastoros в сообщении #1539030 писал(а):

возможность описания такой многозначности для меня и является критерием корректности конкретной системы гиперкомплексных чисел для пространства такой размерности

Видимо, Вы подразумеваете какой-то аналог векторного произведения, их может быть много.
Можно поступить, как предлагает уважаемый lek. А можно заметить что, векторное произведение это алгебра Ли ($so(3)$), соответственно, считать другие алгебры Ли аналогами. Ну и так далее.
Вопрос, какая цель этих манипуляций, "от фонаря" можно сколько угодно "векторных произведений" напридумывать.