Гидростатический парадокс и весы

[someniatko]

Предыстория: с недавних пор, после просмотра достаточного количества научпоп роликов и статей, я решил что хочу изучить физику на более глубоком уровне. Т.к. в школе учился откровенно плохо, решил начать со школьной программы по обычным учебникам. Сейчас прохожу тему 7го класса "гидростатика", в которой уже открыл для себя ряд интуитивно неочевидных (для полного профана в физике) феноменов. В задачнике по этому разделу была задача (повышенной трудности, но я их стараюсь не пропускать, т.к. на мой взгляд именно такие задачи учат думать, или как минимум глубже понимать тему) о погружении тела определенного объема из определенного материала в сосуд с водой (но без касания стенок и дна), необходимо было рассчитать изменение показаний весов, на которых сосуд с этой водой находится.

Немного поразмыслив над условием задачи, провел эксперимент, опустив в сосуд с водой на китайских электронных весах медный кубик на нитке так, чтобы он не касался стенок и дна сосуда, и действительно, изменение показаний весов было явно меньше, чем масса этого кубика. Поэтому я задумался, что именно измеряют такие весы? В интернете не смог найти внятного ответа на этот простой вопрос, не исключаю что плохо искал. Моё предположение, что весы измеряют силу давления на их площадку. Если это действительно так, то в таком случае ими должно быть невозможно измерить массу воды, находящуюся в сосуде неправильной формы. Например, если при равном объеме воды, у сосуда А донышко узкое, а горло широкое (срезанный конус "вершиной" вниз), а у сосуда Б — напротив, широкое дно, но сосуд постепенно сужается кверху, то сила давления на его дно, а значит и на площадку весов, согласно гидростатическому парадоксу, будет меньше. Следовательно весы должны показать разные значения? Но ведь по идее они покажут одно и то же значение. Что же измеряют весы?

Спасибо за внимание к этому, скорее всего для вас глупому, но для меня на данном этапе — достаточно занятному, вопросу.

[DimaM]

someniatko в сообщении #1537901 писал(а):

то сила давления на его дно, а значит и на площадку весов

Не значит. Сила давления на дно обычно как раз не равна силе давления на площадку весов.

[Dmitriy40]

someniatko в сообщении #1537901 писал(а):

Моё предположение, что весы измеряют силу давления на их площадку.

Нет, они измеряют просто силу, приложенную к их площадке. Не силу давления (силу на единицу площади). Ньютоны, а не паскали.
Проверяется легко: насыпьте горку чего-нибудь мелкого (соли, сахара, крупы), запомните показания, размажьте горку по площади, сравните показания.

[someniatko]

Dmitriy40 в сообщении #1537903 писал(а):

Не силу давления (силу на единицу площади). Ньютоны, а не паскали.

В школьном курсе физики, насколько я понимаю, различаются термины "давление" и "сила давления". Давление — это единица силы на единицу площади (Паскаль), а сила давления измеряется как раз в Ньютонах, и является той силой, что создает давление (её можно получить, умножив паскали обратно на площадь, т.е. $F = pS$).

[sergey zhukov]

someniatko
Поставьте медный кубик на весы и замерьте его массу. Теперь поставьте на весы стакан с водой и замерьте его массу. Теперь бросьте медный кубик в стакан с водой и замерьте общую массу. Она не равна сумме масс кубика и стакана с водой в отдельности? Такого, вообще-то, не может быть. Вряд ли вы такое получили.

Есть впрочем, один неочевидный эффект. Представьте себе невесомый и очень высокий сосуд, наполненный воздухом (по сути такой столб воздуха - столб атмосферного давления - всегда на весах). Ставим его на весы. Т.к. сосуд невесом, весы показывают ноль. Теперь сжимаем этот сосуд до малых размеров и снова ставим на весы. Воздух в сосуде имеет массу и теперь весы покажут практически массу этого воздуха. Почему же показания весов зависят не только от массы, но еще и от плотности взвешиваемого тела?

[wrest]

someniatko в сообщении #1537901 писал(а):

провел эксперимент, опустив в сосуд с водой на китайских электронных весах медный кубик, и действительно, изменение показаний весов было явно меньше, чем масса этого кубика.

Ищите ошибку в эксперименте.
Например. Положите кубик на чашу весов рядом со стаканом, а потом опустите в стакан. Будут разные показания?

[someniatko]

sergey zhukov в сообщении #1537905 писал(а):

someniatko
Теперь бросьте медный кубик в стакан с водой и замерьте общую массу. Она не равна сумме масс кубика и стакана с водой в отдельности? Такого, вообще-то, не может быть. Вряд ли вы такое получили.

Забыл упомянуть очень важную деталь, что кубик я опускал на нитке, и он не касался стенок и дна сосуда. Сейчас отредактирую изначальное сообщение.

[sergey zhukov]

someniatko
В таком случае ничего удивительного тут нет. Вы же тянете всю систему за нитку вверх, вот весы и показывают меньше. Перестанете тянуть, будут показывать точно сумму.

[wrest]

someniatko в сообщении #1537908 писал(а):

Забыл упомянуть очень важную деталь

Эх, Семён Семёныч... Ну вы идёте по стопам Архимеда, в общем-то, скоро будет момент "Эврика!"

По теме: бытовые весы меряют силу, которая действует на чашу весов, и показывают эту силу в так называемых "килограмм-силах" (или грамм-силах). Численно эти показания равны массе лежащего на чаше весов груза в килограммах (граммах) если измерение происходит на Земле, весы расположены горизонтально и плотность груза существенно больше плотности воздуха.

[someniatko]

Спасибо за дельные замечания. Думаю, наверное, вопрос можно переформулировать так:

Что является силой, которая действует на площадку весов?

Если представить, например, снова два срезанных невесомых конуса, с одинаковым объёмом воды, один вершиной вниз, другой вершиной вверх. Пускай оба будут без дна, но стенки плотно прилегают к площадке весов, чтобы исключить то, что писал тов. DimaM:

Цитата:

Cила давления на дно обычно как раз не равна силе давления на площадку весов.

Теперь у нас по сути на площадку весов действует только вода, без посредничества сосуда. Будет ли сила рассчитываться по формуле $mg$ (1), или по формуле $\rho ghS$ (2) (сила гидростатического давления воды)? Я так понимаю, что всё же по формуле (1), и весы покажут одинаковые "грамм-силы", но почему?

[DimaM]

someniatko в сообщении #1537913 писал(а):

Теперь у нас по сути на площадку весов действует только вода, без посредничества сосуда.

Опять же неверно. Конус вершиной вниз будет давить на площадку весов, а из-под конуса вершиной вверх вода просто выльется.

[sergey zhukov]

someniatko
Ок, возьмем конус без дна узким концом вниз. Для простоты представим, что он ступенчатый (т.е. состоит из цилиндрических сегментов, радиус который линейно уменьшается сверху вниз). Наливаем воду. Каждый столбик воды давит прямо вниз. Так что часть воды давит прямо на площадку весов, а часть - на горизонтальные поверхности ступенчатого конуса. А конус передает все это давление тоже на весы.

А теперь возьмем перевернутый конус без дна и попытаемся налить в него воду. Сразу заметим, что это невозможно (конус поднимается, вода выливается). Приклеим конус к дну и нальем воду. Теперь по аналогии расскажите, куда и как давит вода и что измерят весы?

[wrest]

someniatko в сообщении #1537913 писал(а):

Если представить, например, снова два срезанных невесомых конуса, с одинаковым объёмом воды, один вершиной вниз, другой вершиной вверх.

Тут будет зависеть от конструкции конусов. Важна не весомость/невесомость конуса, а то что он твердое тело, и нет никаких внешних сил на него действующих кроме силы воды и реакции опоры (чаши весов), а также что вертикальная компонента силы давления воды на стенки будет передаваться на чашу весов (в случае сужения вниз -- добавляться к давлению воды на дно, в случае сужения вверх - отниматься). В итоге сила, которую стенки конуса оказывают на чашу весов просуммируется с силой дваления воды на чашу весов, и она (сумма) окажется равной $mg$ где $m$ масса воды.
Выше подразумевается что "срезанный" = усеченный, и без дна (т.е. труба, рупор).

[someniatko]

sergey zhukov в сообщении #1537917 писал(а):

someniatko
А теперь возьмем перевернутый конус без дна и попытаемся налить в него воду. Сразу заметим, что это невозможно (конус поднимается, вода выливается). Приклеим конус к дну и нальем воду. Теперь по аналогии расскажите, куда и как давит вода и что измерят весы?

Если взять такой же ступенчатый конус, получается по закону Паскаля вода будет давить во все стороны, в том числе вверх на горизонтальные поверхности конуса, т.е. получается часть сил давления будет брошена на попытки приподнять приклеенный конус. И я так понял, что если это как-то проинтегрировать (чего я пока не умею), то как раз разность сил будет равна $mg$.

[sergey zhukov]

someniatko
Верно. Тут все еще проще можно понимать. Возьмем нормальный сосуд с дном любой формы (допустим для простоты, что он невесомый). Нальем в него воду. Вода как-то давит на все участки поверхности сосуда, причем ее давление переменно с глубиной, а направление силы давления зависит от ориентации участка поверхности. Все это кажется, да и на самом деле является, довольно сложным.

Но мы знаем одно: силы давления воды на стенки сосуда и стенок сосуда на воду - это внутренние силы в системе "сосуд-вода". Т.е. они возникают между частями системы (сосуд и вода), а не между системой и внешней средой (скажем, водой и земным шаром). Вес - это сила взаимодействия между водой и земным шаром. Что там происходит между частями системы, которую мы взвешиваем - это нас вообще не волнует. Внутренние силы в системе могут быть очень сложными, но их просто можно проигнорировать.