Побег из эллипса

[lel0lel]

В центре эллипса, все параметры которого известны, находится королевство. Золушка решила совершить побег, так как её утомили притязания мачехи. Известно, что внутри эллипса скорость Золушки $v_1$, вне эллипса начинается лес и скорость становится $v_2<v_1$. Помогите Золушке найти геометрическое место точек, которого она потенциально может достичь спустя время $t>b/v_1$ после побега.

Задачу можно переформулировать в терминах волн. Требуется найти фронт волны, созданной вибрацией в центре эллипса.

[mihiv]

Рассмотрим точку на фронте волны с полярными координатами $r,\varphi $ (начало координат в центре эллипса). Пусть отрезок, соединяющий выбранную точку с центром, пересекается с эллипсом на расстоянии $r_1$ от центра.Тогда очевидно:

$$r=r_1+v_2(t-\frac {r_1}{v_1})$$или$$ r=r_1(1-\frac {v_2}{v_1})+v_2t, r_1(\varphi )=\dfrac {ab}{\sqrt {b^2\cos ^2\varphi +a^2\sin ^2\varphi }}(\text {уравнение эллипса в полярных координатах)}$$

То есть точки фронта волны получаем следующим образом: сжимаем исходный эллипс с коэффициентом подобия $k=1-\dfrac {v_2}{v_1}$, проводим из центра луч через точку на сжатом эллипсе и откладываем от точки пересечения луча с эллипсом на продолжении луча отрезок длины $v_2t$.

[kotenok gav]

mihiv в сообщении #1538257 писал(а):

откладываем от точки пересечения луча с эллипсом на продолжении луча отрезок длины $v_2t$.

А это разве не самое интересное в этой задаче? Требуется же найти форму получившегося фронта.

[mihiv]

kotenok gav

$$r=r_1(\varphi )(1-\dfrac {v_2}{v_1})+v_2t$$

Это и есть уравнение фронта волны в момент времени $t$ в полярных координатах.

[lel0lel]

Всё вполне конкретно, но только я покамест не согласен по-крайней мере с очевидностью этого утверждения

mihiv в сообщении #1538257 писал(а):

Тогда очевидно:

$$r=r_1+v_2(t-\frac {r_1}{v_1})$$

ведь оптимальный путь до фронта не прямолинейный, есть преломление на границе. А это выражение подразумевает, что оптимальный путь луча прямолинейный.

[zykov]

lel0lel
А вообще у задачи есть красивое олимпиадное решение? Или просто надо провести аналитические выкладки средней тяжести?

[lel0lel]

Думаю, что очень красивого нет, хотя это на любителя) Выкладки громоздкие, но мне было скучно и я сидел решал. Пользовался тем, что волновой фронт это огибающая вторичных волн. Но проверить себя можно используя геометрическую оптику, то есть закон преломления. Эта задачка пришла на ум из простенькой задачи в Кванте (там решение вполне олимпиадное), сейчас поищу её.

Нашёл http://kvant.mccme.ru/1995/04/geometricheskoe_mesto_tochek.htm смотреть задачу про человека в поле на прямолинейной дороге, ответ к задаче -- рис.12

[zykov]

Забил в wxMaxima вычисления используя закон преломления лучей (отношение синусов углов между лучами и нормалью равно отношению скоростей).
Получил параметрическую кривую $(x_2,y_2)$, от параметра $f$. При этом $a,b$ - полуоси эллипса, $t$ - время, $v_1, v_2$ - скорости.
Код Maxima:

Используется синтаксис Text

assume(v1>0,v2>0,cos(f)>0,sin(f)>0,b>a,a>0);
x1:b*cos(f);
y1:a*sin(f);
r2:x1^2+y1^2;
nx:diff(y1,f,1),ratsimp;
ny:-diff(x1,f,1),ratsimp;
n2:nx^2+ny^2;
sin2r:1-(x1*nx+y1*ny)^2/(r2*n2),ratsimp,factor;
sin2r1:sin2r*(v2/v1)^2;
r1:v2*(t-sqrt(r2)/v1),ratsimp;
kn:r1*sqrt((1-sin2r1)/n2),ratsimp,factor;
kl:-r1*sqrt(sin2r1/n2),ratsimp,factor;
x2:x1+kn*nx-kl*ny,radcan;
y2:y1+kn*ny+kl*nx,radcan;
 

Результат страшный:

[Geen]

Может быть волну пускать не из центра, а из фокуса?

[zykov]

Вот графики $(x_2,y_2)$ от $f$ при $a=1, b=2, v_1=3, v_2=1$ для времени $t=2/3, t=2, t=10$:

[lel0lel]

zykov в сообщении #1538308 писал(а):

Результат страшный:

Да, это проверять я не возьмусь) А параметрические графики имеет смысл строить в полярных координатах (желательно вместе с эллипсом), чтобы можно было обозревать фронт.
Geen надо будет попробовать

[Geen]

lel0lel в сообщении #1538312 писал(а):

надо будет попробовать

Только, кажется, не фокус надо брать (для получения "красивого" решения) - должно зависеть от отношения скоростей...

[zykov]

lel0lel в сообщении #1538312 писал(а):

чтобы можно было обозревать фронт

Вот параметрический график - эллипс и три фронта $t=2/3, t=2, t=5$:

Вообще при больших $t$ фронт будет на окружность похож.

[lel0lel]

Очень похоже, что решение верное. Да, на большом расстоянии фронт будет похож на окружность для любой колеблющейся пластины конечных размеров.

[zykov]

Фронт на эллипс не похож. Он лежит чуть-чуть внутри эллипса.