Существование сумма ряда (-x)^n.

[Дмитрий С.]

На рисунке - графики функций $f(x)=\frac 1 {1+x}$ и $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n $, на интервале $[0.1;2]$. Собственно, если более-менее понятно, что $\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n = \frac 1 2$ (это действительно так?), то совсем уж не ясно, почему остальные ряды расходятся? И точно ли они расходятся? Или просто нет (в силу каких-то причин) способа определить это? Скажем, таковы соглашения, которые необходимо принять, для получения каких-то (каких?) конструктивных результатов в других задачах(например?)?

[ИСН]

Если Вы сходимость рядов более-менее прозреваете внутренним зрением, то Вам и карты в руки.
Если же соизволите воспользоваться общепринятым определением, то $\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n$ не сходится.

[antbez]

Цитата:

Если же соизволите воспользоваться общепринятым определением, то не сходится.

Расходится, но, возможно, его обобщённая сумма равна $\frac{1}{2}$ Надо проверить это где-то...

[ewert]

по Чезаро -- разумеется

-----------------------------------------------------------------------
хотя я, даже не будучи модератором, скажу, что это -- офтопик, который лишь сбивает аффтара темы с толку

[вздымщик Цыпа]

Дмитрий С. в сообщении #153338 писал(а):

Собственно, если более-менее понятно, что $\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n = \frac 1 2$ (это действительно так?),

Нет, не так.

Дмитрий С. в сообщении #153338 писал(а):

то совсем уж не ясно, почему остальные ряды расходятся? И точно ли они расходятся?

Они точно расходятся. На вопрос «почему» ответ простой: потому, что не сходятся.

Я понимаю то, о чем Вы говорите так. Есть функция

$$f(x)=\frac 1 {1+x}$$

, и есть бесконечная последовательность чисел (зависящая от параметра $x$) $A(x) = \{(-x)^n\}_0^{\infty}$. Между функцией и последовательностью явно есть какая-то связь. Эта связь при $|x| < 1$ выражается в том, что $\sum A(x) = f(x)$. При других $x$ она так не выражается, и это плохо.

Так вот, подумайте о том, что эту связь можно выразить иначе. Суммирование будет только частным случаем такой связи. И точка $x=1$ — не замый забавное место в этом, $x = -2$ гораздо забавнее

[Дмитрий С.]

вздымщик Цыпа писал(а):

Я понимаю то, о чем Вы говорите так. Есть функция

$$f(x)=\frac 1 {1+x}$$

, и есть бесконечная последовательность чисел (зависящая от параметра $x$) $A(x) = \{(-x)^n\}_0^{\infty}$. Между функцией и последовательностью явно есть какая-то связь. Эта связь при $|x| < 1$ выражается в том, что $\sum A(x) = f(x)$. При других $x$ она так не выражается, и это плохо.

Так вот, подумайте о том, что эту связь можно выразить иначе. Суммирование будет только частным случаем такой связи. И точка $x=1$ — не замый забавное место в этом, $x = -2$ гораздо забавнее

Так как это форум "помогите разобраться", можно просто попросить раскройте пожалуйста мысль..? Очень-очень-очень интересно.

[вздымщик Цыпа]

Дмитрий С. в сообщении #153419 писал(а):

можно просто попросить раскройте пожалуйста мысль..?

Мы можем поставить последовательности чисел $\{a_n\}$ в соответствие ($\sim$) некоторое число. Это соответствие обладает свойствами:

a) Если $\{a_n\} \sim a$, то $\{ka_n\} \sim ka$;
b) Если $\{a_n\} \sim a$, $\{b_n\} \sim b$, то $\{a_n + b_n\} \sim a+b$;
c) Если $\{a_0, a_1, a_2,\dots\} \sim a$, то $\{a_1, a_2,\dots\} \sim a-a_0$.

Суммирование бесконечных рядов — частный случай такого соответствия, определенный на очень небольшом классе числовых последователеностей. Однако, его можно продолжить и на другие.

[Дмитрий С.]

вздымщик Цыпа писал(а):

Дмитрий С. в сообщении #153419 писал(а):

можно просто попросить раскройте пожалуйста мысль..?

Мы можем поставить последовательности чисел $\{a_n\}$ в соответствие ($\sim$) некоторое число. Это соответствие обладает свойствами:

a) Если $\{a_n\} \sim a$, то $\{ka_n\} \sim ka$;
b) Если $\{a_n\} \sim a$, $\{b_n\} \sim b$, то $\{a_n + b_n\} \sim a+b$;
c) Если $\{a_0, a_1, a_2,\dots\} \sim a$, то $\{a_1, a_2,\dots\} \sim a-a_0$.

Суммирование бесконечных рядов — частный случай такого соответствия, определенный на очень небольшом классе числовых последователеностей. Однако, его можно продолжить и на другие.

Ну идея ясна, но суммирование бесконечных рядов не является частным случаем такого соответствия... А мне интересны именно свойства бесконечных сумм, ну или более общих объектов, очевидно у них иные свойства.

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Re: Существование сумма ряда (-x)^n.

ИСН писал(а):

Если Вы сходимость рядов более-менее прозреваете внутренним зрением, то Вам и карты в руки.
Если же соизволите воспользоваться общепринятым определением, то $\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n$ не сходится.

Я не против, даже с радостью, просто пытаюсь понять - почему. Есть же в этом какой-то здравый смысл?

[вздымщик Цыпа]

Дмитрий С. в сообщении #153587 писал(а):

Ну идея ясна, но суммирование бесконечных рядов не является частным случаем такого соответствия...

Правда? И каким из свойств (a-c) не обладает суммирование бесконечных рядов?

[ewert]

Дмитрий С. писал(а):

ИСН писал(а):

Если Вы сходимость рядов более-менее прозреваете внутренним зрением, то Вам и карты в руки.
Если же соизволите воспользоваться общепринятым определением, то $\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n$ не сходится.

Я не против, даже с радостью, просто пытаюсь понять - почему. Есть же в этом какой-то здравый смысл?

Тут нужен не здравый смысл, а просто формальное определение сходимости ряда (основанное, впрочем, именно на здравом смысле). По определению, ряд называется сходящимся, если его частичные суммы имеют конечный предел. Т.е. если эти суммы стабилизируются с ростом количества слагаемых. Так вот, для этого ряда частичные суммы ведут себя совершенно безобразным образом -- постоянно прыгают между нулём и единичкой.

[вздымщик Цыпа]

Дмитрий С. в сообщении #153587 писал(а):

Есть же в этом какой-то здравый смысл?

Здравый смысл протестует уже при бесконечном суммировании в обычном понимании, поскольку результат бывает зависим от порядка суммирования.

Если же Вы будете привлекать его к анализу «бесконечной суммы» $1 -1 + 1 - ...$, и на основании его подсказок заключать, что это $1/2$, то Вам также придется согласиться с тем, что $1 -1 + 0 + 1 - 1 + 0 -...$ — это $1/3$. А это еще один удар по здравому смыслу, который считает, что сложение с нулем не должно менять суммы.

[Someone]

Довольно много о суммировании расходящихся рядов есть у Фихтенгольца во втором томе (глава одиннадцатая).

В частности, этот фокус со степенным рядом в первом сообщении называется у Фихтенгольца методом суммирования Пуассона - Абеля.

[Сомик]

Дмитрий С. в сообщении #153587 писал(а):

Я не против, даже с радостью, просто пытаюсь понять - почему. Есть же в этом какой-то здравый смысл?

Здравый смысл в этом, конечно же, есть. И его по-разному можно объяснять. Есть объяснение с помощью комплексного анализа. И и тут дело в том что функция $f(z)=\frac{1}{1+z}$ голоморфна в области $|z| < 1$. Расширена эта область быть не может т.к. не определено значение $f(-1)$ и функция там не дифференцируема. Внутри области голоморфности функция представляется сходящейся к ней рядом Тейлора $f(z) = \sum_{n=1}^{\infty}(-z)^n$.

[ewert]

Ну, как раз область голоморфности (не круг сходимости) на единичку запросто расширяется, и получается именно одна вторая.

[Сомик]

ewert в сообщении #153861 писал(а):

Ну, как раз область голоморфности (не круг сходимости) на единичку запросто расширяется, и получается именно одна вторая.

Хм... а мне казалось, что в области голоморфности функция представляется сходящимся к ней рядом Тейлора. Таким образом, $z=1$ не принадлежит этой области, иначе радиус сходимости был бы равен $r=1$, и поэтому точка $z=-1$ должна быть точкой сходимость ряда

Хотя может я и ошибаюсь... комплан у меня дааавно был...