Существование сумма ряда (-x)^n.

[ewert]

Сомик писал(а):

Хм... а мне казалось, что в области голоморфности функция представляется сходящимся к ней рядом Тейлора.

В окрестности каждой точки области голоморфности, но не во всей области. Иначе любая область голоморфности была бы кругом, а это неправда. (Ну и дальше с радиусом тоже путаница.)

[Сомик]

ewert в сообщении #154218 писал(а):

Ну и дальше с радиусом тоже путаница.

Ну а верно то, что из сходимости в точке $z=1$ должна следовать сходимость в точке $z=-1$ ?

[ИСН]

Хрен-то.
(Я привёл бы иллюстрацию, но простейшей и очевиднейшей иллюстрацией является сам этот случай.)

[AD]

У степенного ряда есть открытый круг сходимости. Внутри круга ряд сходится, снаружи - расходится. А на границе (на окружности) может быть фиг знает что. Вот, например, в нашем примере, точки $1$ и $-1$ лежат на границе, и в одной точке ряд суммируется методом Абеля, а в другой расходится во всех разумных смыслах (вроде бы). Хотя ясно, что здесь расходится в обычном смысле всюду на границе.

[GAA]

В книге Фихтенгольца суммирование расходящихся рядов изложено очень кратко. В книге Харди Г. Расходящиеся ряды, 1951 (можно скачать с EqWorld), помимо теории, приведены приложения.
Отмечу, что во введении (с.19) к этой книге приведены указанные выше свойства

вздымщик Цыпа писал(а):

Это соответствие обладает свойствами:
a) Если $\{a_n\} \sim a$, то $\{ka_n\} \sim ka$;
b) Если $\{a_n\} \sim a$, $\{b_n\} \sim b$, то $\{a_n + b_n\} \sim a+b$;
c) Если $\{a_0, a_1, a_2,\dots\} \sim a$, то $\{a_1, a_2,\dots\} \sim a-a_0$.