Задача по квантовой механике

[Dedekind]

Помогите, пожалуйста, с задачей.

Условие. Частица находится в потенциале $V(x) = -\alpha_1\delta (x)$, $\alpha_1>0$ в своем основном состоянии. Сила потенциала изменяется мгновенно, так что он становится равным $V(x) = -\alpha_2\delta (x)$, $\alpha_2>\alpha_1$. Какова вероятность найти частицу в новом основном состоянии после такого изменения?

Попытка решения. Энергия основного (и единственного) состояния в первой дельта-яме $E_1 = -\dfrac{m\alpha_1^2}{2\hbar^2}$. Соответствующая собственная функция:

$$\psi_{E_1}(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{m\alpha_1}{\hbar^2}}e^{\frac{m\alpha_1}{\hbar^2} x}, & x \le 0, \\ \sqrt{\frac{m\alpha_1}{\hbar^2}}e^{-\frac{m\alpha_1}{\hbar^2} x}, & x \ge 0. \end{cases}$$

Для второго потенциала будет аналогично, с точностью до замены $\alpha_1$ на $\alpha_2$.

Но я не понимаю, как посчитать вероятность. То есть, если я правильно понял задачу, мы по сути запустили частицу с энергией $E_1<0$ в яму с единственным разрешенным уровнем энергии $E_2<0$. Тогда вероятность, что она займет этот уровень будет равна 1, разве нет? Или она будет в суперпозиции $\psi(x) = A\psi_{E_1}(x) + B\psi_{E_2}(x)$? Но это сомнительно, так как $\psi_{E_1}(x) $ не является собственной функцией Гамильтониана для второй ямы, поэтому по ней раскладывать волновую функцию нельзя.

[lel0lel]

Изменение потенциала это мгновенное возмущение. В таких задачах нужно просто найти квадрат модуля скалярного произведения состояния, в котором частица была, и состояния, в котором она может оказаться, поскольку волновая функция просто не успевает существенно измениться.

[Dedekind]

lel0lel
Большое спасибо! А есть ли какое-то теоретическое обоснование тому, почему ВФ не может измениться скачком? Ведь когда говорят о непрерывности ВФ обычно имеют в виду ее пространственную непрерывность. А как доказать непрерывность во времени?

[Nemiroff]

Dedekind в сообщении #1531969 писал(а):

в яму с единственным разрешенным уровнем энергии

Dedekind в сообщении #1531969 писал(а):

Тогда вероятность, что она займет этот уровень будет равна 1, разве нет?

Частица не обязана остаться в связанном состоянии.

[lel0lel]

Поскольку гамильтониан изменяется мгновенно, то ВФ просто не успевает эволюционировать. Это, конечно, модель, но в некоторых случаях она имеет применения. Так, по-моему, в Давыдове разобрана задачка про бета распад атома, находящегося в основном состоянии, в результате которого изменяется заряд ядра и появляются новые собственные состояния гамильтониана. Нужно посчитать вероятности переходов. Если бы изменение потенциала было плавным (протяжённым во времени), то нужно использовать методы нестационарной теории возмущений, то есть фактически мы бы учитывали эволюцию системы.

Nemiroff в сообщении #1532051 писал(а):

Частица не обязана остаться в связанном состоянии.

Это так, вероятность остаться в основном получится, конечно, меньше единицы.

[amon]

Dedekind в сообщении #1531969 писал(а):

Какова вероятность найти частицу в новом основном состоянии после такого изменения?

Эта задача аналитически решается и для формулировки:"Какова вероятность найти частицу в новом основном состоянии через время $t$ после такого изменения?"

[lel0lel]

Тогда уж лучше так: потенциал мгновенно включают, а через $t$ секунд мгновенно выключают, какова вероятность, что частица окажется в старом основном. Иначе ответ очевиден.

[amon]

lel0lel в сообщении #1532124 писал(а):

Иначе ответ очевиден.

IMHO, в "моей" формулировке ответ простой, но не очевидный.

[lel0lel]

Если я правильно понял, то в ВФ разложенной по новому базису появятся в результате эволюции фазовые множители, но скалярное произведение оставит в живых только ту экспоненту, которая появилась у нового основного состояния, а квадрат модуля даст такой же результат как и для вероятности обнаружить частицу в новом основном сразу после изменения потенциала. В ответе даже не появится время. А вот если спрашивать про старое основное, то фазы сыграют свою роль.

[amon]

lel0lel в сообщении #1532127 писал(а):

Если я правильно понял, то в ВФ разложенной по новому базису появятся в результате эволюции фазовые множители, но скалярное произведение оставит в живых только ту экспоненту, которая появилась у нового основного состояния

Нам надо решить нестационарное уравнение Шредингера $i\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi$ с начальным условием $\Psi\lvert_{t=0}=\Psi_0.$ При этом $\Psi_0$ не является собственной функцией $H.$ По мне, так проще всего найти функцию Грина (пропагатор) частицы в $\delta$-образном потенциале $G(x,x',t)$, который в одну строчку находится из уравнения Дайсона (потенциал $V=\alpha\delta(x),\,G_0$ - функция Грина свободной частицы)

$$G(x,x',t)=G_0(x,x',t)+\alpha G_0(x,0,t)G(0,x',t)$$

Извиняюсь, тут у меня cultural background сказывается, но и без Дайсона это достаточно просто делается. Отсюда

$$G(x,x',t)=G_0(x,x',t)+\frac{\alpha G_0(x,0,t)G_0(0,x',t)}{1-\alpha G_0(0,0,t)},\,G_0=\sqrt{\frac{m}{2\pi i t}}e^{i\frac{m(x-x')^2}{2t}},$$

а искомая амплитуда вероятности будет

$$\int dx\,dx'\Psi_0(x)G(x,x',t)\Psi_{E_1}(x').$$

Интегралы мне считать лень, но что-то мне подсказывает, что фазой дело не ограничится.

[lel0lel]

Можно, конечно, и функцию Грина использовать. Результат должен быть таким же как если бы мы подействовали унитарным оператором эволюции, отсюда и возникнут комплексные экспоненты как множители, стоящие при стационарных состояниях. В скалярном же произведении останется одна экспонента, которая на вероятность не повлияет. Да и просто нет причин вероятностям переходов зависеть от времени, вначале есть некоторое приготовленное состояние и под действием постоянного гамильтониана происходит эволюция системы, вероятности обнаружить систему в том или ином состоянии от времени зависеть не будут, хотя фазы, конечно, появятся. Другое дело если бы возмущение было зависящим от времени, но в этой задаче этого нет.

[amon]

lel0lel в сообщении #1532145 писал(а):

вероятности обнаружить систему в том или ином состоянии от времени зависеть не будут

От времени будет зависеть "расплывание" исходного пакета, и, соответственно, интеграл перекрытия.

[lel0lel]

Так мы явно находим зависимость ВФ от времени, если под интегралом перекрытия понимается интеграл от произведения старой ВФ основного состояния и новой ВФ основного состояния то он от времени не зависит.

Рассмотрим задачку о расплывании волнового пакета при свободном движении, дисперсия координаты как известно увеличивается, но вот набор волновых векторов остаётся тем же, то есть импульсы и энергии отдельных волн не меняются, как и вероятности поймать эти волны.

[amon]

lel0lel в сообщении #1532147 писал(а):

Рассмотрим задачку о расплывании волнового пакета

Так я ее и рассмотрел, написал точное решение. Сосчитайте интегралы и убедите меня, что Ваши рассудюшки совпадают с точными формулами. Либо, укажите на ошибку в моем решении. Я сразу соглашусь, а философскими рассуждениями мне скучно заниматься

[lel0lel]

Так всё считается в уме и выше уже посчитано. Впрочем, я не хочу ни в чём никого убеждать, так хорошо иногда, когда есть собственный взгляд на мир.

На всякий случай вспомню про параграф 41 в Ландау и Лифшице. Там есть про внезапное возмущение, а также рассмотрен случай малого возмущения, которое "не выключается".