задача по основам топологии

[vlad239]

Придумалась задача по топологии.

Все подмножества топологического пространства - либо открыты, либо замкнуты, причем и то и другое одновременно - только для двух тривиальных подмножеств. Обязательно ли найдется точка такая, что открытые множества - это в точности те, которые ее не содержат+все пространство?

[Mikhail_K]

(решение)

$X=\{x,y,z\}$, $\tau=\{\varnothing,\{x,y\},\{y\},\{y,z\},X\}$.
Ответ: неверно

[ИСН]

(Оффтоп)

vlad239 в сообщении #1531127 писал(а):

Все подмножества топологического пространства - либо открыты, либо замкнуты

Я слыхал, что пространство с таким свойством называется "дверь".

[Mikhail_K]

Напрашивается следующая модификация первоначальной задачи.

Все подмножества топологического пространства - либо открыты, либо замкнуты, причем и то и другое одновременно - только для двух тривиальных подмножеств. Обязательно ли найдется точка такая, что открытые множества - это либо в точности те, которые ее не содержат + все пространство, либо в точности те, которые её содержат + пустое множество?

Сходу ответа на этот вопрос не нашёл.

ИСН в сообщении #1531178 писал(а):

Я слыхал, что пространство с таким свойством называется "дверь".

Не "дверь", а "дверное пространство". "Двери" - это, типа, нетривиальные множества в нём: либо уж открыты, либо уж замкнуты.

[g______d]

Вроде, неглавный ультрафильтр над бесконечным множеством подходит (нужно ещё добавить пустое множество).

Для его существования нужна лемма Цорна.